单元测试(四)
[范围:三角形 限时:45分钟 满分:100分]
一、选择题(每题5分,共30分)
1.下列各组数可能是一个三角形的三边长的是 ( )
A.1,2,4 B.4,5,9
C.4,6,8 D.5,5,11
2.若△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的面积比为 ( )
A.1∶3 B.1∶9 C.3∶1 D.1∶
3.如图D4-1,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sin α-cos α= ( )
图D4-1
A. B.- C. D.-
4.如图D4-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'
12
恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为 ( )
图D4-2
A.12 B.6 C.6 D.6
5.如图D4-3,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,有下列说法:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的垂直平分线上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中正确说法的个数是 ( )
图D4-3
A.1 B.2 C.3 D.4
6.矩形ABCD与CEFG如图D4-4放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连结AF,取AF的中点H,连结GH,若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH= ( )
图D4-4
A.1 B. C. D.
二、填空题(每题5分,共30分)
12
7.我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k,若k=,则该等腰三角形的顶角为 度.
8.如图D4-5,∠A=∠D,AC=DF,则需要补充条件 (写出一个即可),才能使△ABC≌△DEF.
图D4-5
9.如图D4-6,在五角星中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 .
图D4-6
10.如图D4-7,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为
图D4-7
11.如图D4-8,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F分别为AC,CD的中点,∠D=α,则∠BEF的度数为 .(用含α的式子表示)
图D4-8
12.已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P,若点P到AB所在直线的距离是1,点P到AC所在直线的距离是2,则点P到BC所在直线的最小距离和最大距离分别是 .
12
三、解答题(共40分)
13.(8分)如图D4-9,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的结论.
图D4-9
14.(8分)如图D4-10,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°,此时教学楼顶端G恰好在视线DH上,再向前走7米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°,A,B,C三点在同一水平线上.
(1)计算古树BH的高;
(2)计算教学楼CG的高.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
12
图D4-10
15.(12分)随州市新蹶水一桥(如图D4-11①)设计灵感来源于市花——兰花,采用蝴蝶兰斜拉桥方案,设计长度为258米,宽32米,为双向六车道,2018年4月3日通车.斜拉桥又称斜张桥,主要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图D4-11②所示,索塔AB和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC)均在同一水平面内,BC在水平桥面上.已知∠ABC=∠DEB=45°,∠ACB=30°,BE=6米,AB=5BD.
(1)求最短的斜拉索DE的长;
(2)求最长的斜拉索AC的长.
图D4-11
12
16.(12分)如图D4-12,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点,且PD⊥AD.
(1)证明:∠BDC=∠PDC;
(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE∶CP=2∶3,求AE的长.
图D4-12
12
参考答案
1.C
2.B [解析] 相似三角形的面积比等于相似比的平方.
3.D [解析] 根据大正方形面积为169得到直角三角形斜边为13,小正方形面积为49得直角边的差为7,想到直角边为12和5,得到sinα-cosα=-=-,故选D.
4.D [解析] 连结B'B.
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,
∴CA=CA'.
又∵∠A=60°,∴△AA'C为等边三角形,
∴∠ACA'=60°,即旋转角为60°,
∴∠BCB'=∠ACA'=60°,
∴△BB'C为等边三角形,∴BB'=BC.
又∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,
∴BB'=BC=6.
5.D
6.C [解析] 过点H作HM垂直于CG于点M,设AF交CG于点O.
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根据题意可知△GOF∽△DOA,∴===,
所以OF=OA=AF,即AF=3OF,
因为点H是AF的中点,所以OH=AF-AF=AF,
即AF=6OH,所以OH=OF.
根据已知条件可知△HOM∽△FOG,可以推出HM=;
同理,通过△HOM∽△AOD,可以推出DM=DG,即GM=DG=.
在Rt△GHM中,GH==.
故选C.
7.36 [解析] 设顶角为α,则其底角为(180°-α),由k=,可得(180°-α)=2α,解得α=36°.
8.答案不唯一,如∠BCA=∠EFD或AB=DE
9.180°
10.4
11.270°-3α [解析] ∵∠ACD=90°,
∴∠CAD=90°-∠D=90°-α,
∵E,F分别为AC,CD的中点,
∴EF∥AD,∴∠CEF=∠CAD=90°-α.
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∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=90°-α,
∵∠ABC=90°,E为AC的中点,
∴AE=BE,∴∠EBA=∠BAC=90°-α,
∴∠BEC=180°-2α,∴∠BEF=270°-3α.
12.1,7 [解析] 根据题意画出相应的图形,直线DM与直线NF与AB的距离都为1,直线NG与直线ME与AC的距离都为2,当P与N重合时,HN为P到BC的最小距离;当P与M重合时, MQ为P到BC的最大距离.
根据题意得△NFG与△MDE都为等边三角形,
∴DB=FB==,CE=CG==,
∴DE=DB+BC+CE=++=,
FG=BC-BF-CG=,
∴NH=FG=1,MQ=DE=7.
故点P到BC所在直线的最小距离和最大距离分别是1,7.
13.解:DF=AE.
证明:∵AB∥CD,
∴∠B=∠C.
∵CE=BF,
12
∴CE-EF=BF-EF,即CF=BE.
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF.
∴DF=AE.
14.解:(1)在Rt△DEH中,
∵∠DEH=90°,∠HDE=45°,
∴HE=DE=7米.∴BH=HE+BE=7+1.5=8.5(米).
(2)设EF=x米,在Rt△GEF中,
∵∠GFE=90°,∠GEF=60°,
∴GF=EF·tan60°=x.
在Rt△GDF中,∵∠GFD=90°,∠GDF=45°,
∴DF=GF.
∴7+x=x.
将≈1.7代入上式,解得x≈10.GF=x≈17.
∴GC=GF+FC=18.5(米).
15.解:(1)∵∠ABC=∠DEB=45°,
∴∠BDE=90°,BD=DE,
在Rt△BDE中,DE=BE·sin∠ABC=6×sin45°=3(米).
即最短斜拉索DE的长为3米.
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(2)过点A作AM⊥BC于点M,
由(1)知,BD=DE=3,AB=5BD=5×3=15.
在Rt△ABM中,AM=AB·sin∠ABC=15×sin45°=15(米).
∵∠ACB=30°,∠AMC=90°,
∴AC=2AM=2×15=30(米).
即最长斜拉索AC的长为30米.
16.[解析] (1)利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC;
(2)过点C作CM⊥PD于点M,由相似的证明方法,得出△CPM∽△APD,利用对应边成比例的关系,求出EC的长即可得出答案.
解:(1)证明:∵AB=AD,AC平分∠BAD,
∴AC⊥BD,∴∠ACD+∠BDC=90°.
∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.
∵PD⊥AD,∴∠ADC+∠PDC=90°,
∴∠BDC=∠PDC.
(2)如图,过点C作CM⊥PD于点M,
∵∠BDC=∠PDC,∴CE=CM.
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∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P,
∴△CPM∽△APD,
∴=.
设CM=CE=x,
∵CE∶CP=2∶3,
∴PC=x.
∵AB=AD=AC=1,
∴=,
解得x=或x=0(舍去),
∴AE=1-=.
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