单元测试(五)
[范围:四边形 限时:45分钟 满分:100分]
一、选择题(每题4分,共28分)
1.依次连结菱形的各边中点,得到的四边形是 ( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.梯形
2.如图D5-1所示,在菱形ABCD中,两条对角线AC=6,BD=8,则此菱形的边长为 ( )
图D5-1
A.5 B.6 C.8 D.10
3.如图D5-2所示,把一矩形纸片沿MN折叠后,点D,C分别落在D',C'的位置,若∠AMD'=36°,则∠NFD'= ( )
图D5-2
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A.144° B.126° C.108° D.72°
4.下列说法正确的是 ( )
A.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
C.矩形的对角线互相垂直平分
D.六边形的内角和是540°
5.如图D5-3,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BE∥DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长度是 ( )
图D5-3
A. B. C. D.
6.如图D5-4,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是 ( )
图D5-4
A.AB B.DE C.BD D.AF
7.图D5-5中正六边形ABCDEF与正三角形FCG的面积比为 ( )
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图D5-5
A.2∶1 B.4∶3 C.3∶1 D.3∶2
二、填空题(每题4分,共20分)
8.若一个正多边形的每个外角都是36°,则这个正多边形的边数是 .
9.如图D5-6,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 .
图D5-6
10.如图D5-7,▱ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果△CDM的周长为8,那么▱ABCD的周长是 .
图D5-7
11.如图D5-8,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点G落在矩形ABCD的边CD上,连结CE,则CE的长是 .
图D5-8
12.如图D5-9,M,N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连结AC交BN于点E,连结DE交AM于点F,连结CF,若正方形的边长为6,则线段CF的最小值是 .
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图D5-9
三、解答题(共52分)
13.(12分)如图D5-10,在6×6的网格中,每个小正方形的边长为1,点A在格点(小正方形的顶点)上.试在各网格中画出顶点在格点上,面积为6,且符合相应条件的图形.
图D5-10
14.(12分)如图D5-11,已知E,F分别是▱ABCD的边BC,AD上的点,且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长.
图D5-11
15.(14分)已知矩形ABCD中,E是AD边上一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:△BGF≌△FHC;
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(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
图D5-12
16.(14分)【问题解决】
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图D5-13①,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连结PP',求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连结PP',求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
【类比探究】
如图②,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.
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图D5-13
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参考答案
1.A
2.A [解析] 由菱形的性质可知对角线互相垂直平分,利用勾股定理得AB=5.
3.B [解析] 由折叠的性质可求得∠DMD'=144°,∠NMD'=∠NMD=∠MNF=72°,而∠D'=90°,所以∠NFD'=126°.故选B.
4.B [解析] A选项,三角形的其中两条边对应相等,且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等,故错误;
B选项,正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,故正确;
C选项,矩形的对角线互相平分且相等,不垂直,故错误;
D选项,六边形的内角和为720°,故错误.故选B.
5.C [解析] 作EG⊥DF于G,
因为BE∥DF,所以∠BEG=90°,
所以∠AEB+∠DEG=90°.
又∠AEB+∠ABE=90°,
所以∠DEG=∠ABE.
因为AB=EG=3,所以△ABE≌△GED,所以ED=BE.
在Rt△ABE中,AE2+AB2=BE2=(4-AE)2,
解得AE=,故选C.
6.D [解析] 取CD中点E',连结AE',PE',
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由正方形的轴对称的性质可知EP=E'P,AF=AE',
∴AP+EP=AP+E'P,
∴AP+EP的最小值是AE',
即AP+EP的最小值是AF.
故选D.
7.D [解析] 连结AD,BE,设△EDG的面积为a,则正六边形ABCDEF的面积为6a,正三角形FCG的面积为4a,故所求面积比为3∶2.
8.10 [解析] 任意多边形的外角和均为360°,而正多边形的每个外角都相等,故360÷36=10.
9.(-5,4) [解析] 由A(3,0),B(-2,0),得AO=3,AB=5.
在菱形ABCD中,CD=AD=AB=5.
在Rt△AOD中,由勾股定理得,OD==4,
所以C(-5,4).
10.16 [解析] 在▱ABCD中,AD=BC,AB=CD,
∵点O为AC的中点,OM⊥AC,
∴MO为AC的垂直平分线,∴MC=MA,
∴△CDM的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8,
∴平行四边形ABCD的周长=2(AD+CD)=16.
11. [解析] 根据“图形旋转的性质,相似三角形性质”,连结AG,在Rt△BCG中,根据勾股定理求出CG=4,所以DG=1.
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在Rt△ADG中,根据勾股定理求出AG=,再利用△ABG∽△CBE,得对应边成比例,可得CE=.
12.3-3 [解析] 连结BD交AC于O,取AD中点P,由于AM=BN,∠ADM=∠BCN=90°,AD=BC,所以△ADM≌△BCN,所以DM=CN,当点M与点D重合时CF=CD=6,当点M与点C重合时CF=CO=3,观察图形可以确定点F在以AD为直径的圆弧上运动,CF的最小值为CP与圆弧的交点.由勾股定理得CP=3,CF的最小值为3-3.
13.解:如图所示.(答案不唯一)
14.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC,∴AF∥EC.
∵BE=DF,∴AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵四边形AECF是菱形,
∴AE=CE,∴∠BCA=∠EAC.
∵∠BAC=90°,∴∠EAB=90°-∠EAC,∠B=90°-∠BCA,∴∠EAB=∠B,
∴AE=BE,∴BE=AE=CE=BC=5.
15.解:(1)证明:∵点F是BC边上的中点,∴BF=FC.
∵点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,
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∴GF,FH是△BEC的中位线,∴GF=HC,FH=BG.
在△BGF和△FHC中,
∴△BGF≌△FHC(SSS).
(2)当四边形EGFH是正方形时,
∠BEC=90°,FG=GE=EH=FH.
∵FG,FH是△BEC的中位线,
∴BE=CE,∴△BEC是等腰直角三角形,连结EF,
∴EF⊥BC,EF=BC=AD=a,
∴S矩形ABCD=AD·EF=a×a=a2.
∴矩形ABCD的面积为a2.
16.[解析] 将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△P'BA,连结PP',得到等腰直角三角形BP'P,从而得到PP'=2,∠BPP'=45°,又AP'=CP=3,AP=1,∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,∴根据勾股定理的逆定理得∠APP'=90°,从而求出∠APB=45°+90°=135°.
将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连结PP',方法和上述类似,求出∠APB=45°.
解:【问题解决】如图①,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连结PP'.
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①
∵P'B=PB=2,∠P'BP=90°,
∴PP'=2,∠BPP'=45°.
又AP'=CP=3,AP=1,
∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,
∴∠APP'=90°,∴∠APB=45°+90°=135°.
【类比探究】如图②,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连结PP'.
②
∵P'B=PB=1,
∠P'BP=90°,
∴PP'=,∠BPP'=45°.
又AP'=CP=,AP=3,
∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2,
∴∠APP'=90°,
∴∠APB=90°-45°=45°.
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