单元测试(六)
[范围:圆 限时:45分钟 满分:100分]
一、选择题(每题5分,共35分)
1.若正三角形的外接圆半径为,则这个正三角形的边长是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.如图D6-1,☉O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为 ( )
图D6-1
A.2π B.
C. D.
3.如图D6-2,AB是☉O的直径,C是☉O上的点,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,若∠A=30°,则sinE的值为( )
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图D6-2
A. B.
C. D.
4.如图D6-3,AB是圆锥的母线,BC为底面直径,已知BC=6 cm,圆锥的侧面积为15π cm2,则sin∠ABC的值为 ( )
图D6-3
A. B. C. D.
5.[2018·重庆A卷] 如图D6-4,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为 ( )
图D6-4
A.4 B.2 C.3 D.2.5
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6.如图D6-5,已知圆内接正三角形的面积为,则该圆的内接正六边形的边心距是 ( )
图D6-5
A.2 B.1 C. D.
7.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图D6-6所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是8 cm,水的最大深度是2 cm,则杯底有水部分的面积是 ( )
图D6-6
A.(π-4) cm2 B.(π-8) cm2
C.(π-4) cm2 D.(π-2) cm2
二、填空题(每题5分,共30分)
8.如图D6-7,四边形ABCD内接于☉O,E为BC延长线上一点,若∠A=n°,则∠DCE= .
图D6-7
9.一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形,若该圆锥的底面圆的半径为4 cm,则圆锥的母线长为 .
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10.如图D6-8,☉O是△ABC的外接圆,∠A=45°,BC=4,则☉O的直径为 .
图D6-8
11.如图D6-9,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为 .
图D6-9
12.已知△ABC的三边a,b,c满足a+b2+|c-6|+28=4+10b,则△ABC的外接圆半径= .
13.如图D6-10,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点,点D在OB上,点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时,阴影部分的面积为 .
图D6-10
三、解答题(共35分)
14.(11分)在一次数学活动课中,某数学小组探究求环形花坛(如图D6-12①所示)面积的方法.现有以下工具:
①卷尺;②直棒EF;③T型尺(CD所在的直线垂直平分线段AB).
(1)在图D6-12中,请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图(保留画图痕迹,不写画法);
(2)如图D6-11,小华说:“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积,具体做法如下:
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将直棒放置到与小圆相切,用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M,N之间的距离,就可求出环形花坛的面积.”如果测得MN=10 cm,请你求出这个环形花坛的面积.
图D6-11
图D6-12
15.(12分)如图D6-13,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,作ED⊥EB交AB于点D,☉O是△BED的外接圆.
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)已知☉O的半径为2.5,BE=4,求BC,AD的长.
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图D6-13
16.(12分)如图D6-14,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.
(1)求∠A+∠C的度数;
(2)连结BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.
图D6-14
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参考答案
1.B
2.D [解析] 连结OC,∵∠BAC=50°,∴∠AOC=80°,
∴==,故选D.
3.A [解析] 连结OC,
∵CE是☉O的切线,
∴OC⊥CE.
∵∠A=30°,
∴∠BOC=2∠A=60°,
∴∠E=90°-∠BOC=30°,
∴sinE=sin30°=.
故选A.
4.C [解析] ∵圆锥侧面积为15π,则母线长L=2×15π÷6π=5,利用勾股定理可得OA=4,故sin∠ABC=.
5.A [解析] 如图,连结OD.
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∵PC切☉O于点D,
∴OD⊥PC.
∵☉O的半径为4,
∴PO=PA+4,PB=PA+8.
∵OD⊥PC,BC⊥PD,
∴OD∥BC,∴△POD∽△PBC,
∴=,即=,解得PA=4.
故选A.
6.B [解析] 如图,设△ABC的边长为a,则S△ABC=a2,
∴a2=,
解得a=2或a=-2(舍),∴BC=2.
∵∠BAC=60°,BO=CO,
∴∠BOC=120°,则∠BCO=30°.
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∵OH⊥BC,∴BH=BC=1,
在Rt△BOH中,BO=BH÷cos30°=,
∴圆的半径r=.
如图,正六边形内接于圆O,且半径为,可知∠EOF=60°,OF=.
在△EOF中,OE=OF,OD⊥EF,∴∠FOD=30°.
在Rt△DOF中,OD=OF·cos30°=×=1,
∴边心距为1.
7.A [解析] 连结OA,OB,作OD⊥AB于C,交☉O于点D,则CD=2,AC=BC,
∵OA=OD=4,CD=2,
∴OC=2,
在Rt△AOC中,sin∠OAC==,
∴∠OAC=30°,∴∠AOB=120°,
AC==2,
∴AB=4,
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∴杯底有水部分的面积=S扇形AOB-S△AOB=-×4×2=π-4(cm2).
故选A.
8.n° [解析] 圆内接四边形的对角互补,所以∠BCD=180°-∠A,而B,C,E三点在一条直线上,则∠DCE=180°-∠BCD,所以∠DCE=∠A=n°.
9.12 cm [解析] 设母线长为R,由“圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长”得,=2π×4,解得R=12,即圆锥的母线长为12 cm.
10.4 [解析] 解法一:如图①,过点B作直径BD,连结DC,则∠BCD=90°.
∵∠A=45°,∴∠D=45°,∴△BDC是等腰直角三角形.
∵BC=4,∴根据勾股定理得直径BD=4.
解法二:如图②,连结OB,OC.
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∵∠A=45°,∴∠O=90°,∴△OBC是等腰直角三角形.
∵BC=4,∴根据勾股定理得半径OB=2,
∴☉O的直径为4.
11.(2,6) [解析] 过点M作MN⊥CD,垂足为点N,连结CM,过点C作CE⊥OA,垂足为点E,
因为点A的坐标是(20,0),所以CM=OM=10.
因为点B的坐标是(16,0),所以CD=OB=16.
由垂径定理可知,CN=CD=8,
在Rt△CMN中,CM=10,CN=8,
由勾股定理可知MN=6,
所以CE=MN=6,OE=OM-EM=10-8=2,
所以点C的坐标为(2,6).
12. [解析] 原式整理得:b2-10b+25+a-1-4+4+|c-6|=0,
(b-5)2+()2-4+4+|c-6|=0,
(b-5)2+(-2)2+|c-6|=0.
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∵(b-5)2≥0,(-2)2≥0,|c-6|≥0,
∴b=5,c=6,a=5,∴△ABC为等腰三角形.
如图所示,作CD⊥AB,
设O为外接圆的圆心,则OA=OC=R.
∵AC=BC=5,AB=6,
∴AD=BD=3,∴CD==4,
∴OD=CD-OC=4-R,
在Rt△AOD中,R2=32+(4-R)2,
解得R=.
13.2π-4 [解析] 连结OC,∵在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点,
∴∠COD=45°,
∴OC==4,
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积,
即S阴影=×π×42-×(2)2=2π-4.
14.解:(1)如图①,点O即为所求.
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(2)如图②,设切点为C,连结OM,OC.
∵MN是切线,
∴OC⊥MN,
∴CM=CN=5,
∴OM2-OC2=CM2=25,
∴S圆环=π·OM2-π·OC2=25π.
∴这个环形花坛的面积是25π cm2.
15.[解析] (1)连结OE,利用圆的半径相等得到∠OEB=∠OBE,利用BE平分∠ABC交AC于点E得到∠CBE=∠OBE,进而得到∠OEB=∠CBE,最后利用OE∥BC得到∠OEA=90°,从而得到AC是☉O的切线;
(2)由(1)知∠CBE=∠OBE,可以证明△BCE∽△BED,利用相似三角形的对应边成比例可以得到BC的长,再由OE∥BC得到△AOE∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例可以得到AD的长.
解:(1)证明:如图所示,连结OE,
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE.
∵BE平分∠ABC交AC于点E,
∴∠CBE=∠OBE,
∴∠OEB=∠CBE,
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∴OE∥BC,
∴∠OEA=∠C=90°,
∴OE⊥AC,
∴AC是☉O的切线.
(2)∵ED⊥EB,∠C=90°,
∴∠BED=∠C=90°,
由(1)知∠CBE=∠OBE,
∴△BCE∽△BED,∴=.
∵☉O的半径为2.5,BE=4,
∴=,∴BC=.
∵OE∥BC,∴△AOE∽△ABC,∴=,
∵OE=2.5,BC=,AO=AD+OD=AD+2.5,AB=AD+BD=AD+5,
∴=,∴AD=.
16.[解析] (1)根据四边形内角和为360°,结合已知条件即可求出答案;(2)将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAD',连结DD'(如图),由旋转的性质和等边三角形的判定得△BDD'是等边三角形,由旋转的性质根据角的计算可得△DAD'是直角三角形,根据勾股定理得AD2+AD'2=DD'2,即AD2+CD2=BD2;(3)将△BCE绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE',连结EE'(如图),由等边三角形的判定得△BEE'是等边三角形,结合已知条件和等边三角形的性质可得AE2=EE'2+AE'2,即
∠AE'E=90°,从而得出∠BE'A=∠BEC=150°,从而得出点E是在以O为圆心,OB为半径的圆周上运动,运动轨迹为,根据弧长公式即可得出答案.
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解:(1)∵在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,
∴∠A+∠C=360°-∠B-∠D=270°.
(2)AD2+CD2=BD2.
理由:如图,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得△BAD',连结DD'.
∵BD=BD',CD=AD',∠DBD'=60°,∠BAD'=∠C,∴△BDD'是等边三角形,∴DD'=BD.
又∠BAD+∠C=270°,
∴∠BAD'+∠BAD=270°,
∴∠DAD'=90°.
∴AD2+AD'2=DD'2,即AD2+CD2=BD2.
(3)如图,将△BEC绕点B逆时针旋转60°得△BE'A,连结EE'.
∵BE=BE',∠EBE'=60°,∠BEC=∠BE'A,
∴△BEE'是等边三角形.∴∠BE'E=60°,BE=EE'.
∵AE2=BE2+CE2,CE=AE',
∴AE2=EE'2+AE'2.
∴∠AE'E=90°.∴∠BE'A=150°.∴∠BEC=150°.
∴点E在以BC为弦,优弧BC所对的圆心角为300°的圆弧上.
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以BC为边在BC下方作等边三角形BCO,则O为圆心,半径BO=1.
∴点E的运动路径为,的长==.
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