专题三 几何图形的变化与探究
直线型问题
例1 (2018，沈阳，导学号5892921)已知△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上(点M，N不与所在线段端点重合)，BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE.
(1)如图，当∠ACB＝90°时．
①求证：△BCM≌△ACN；
②求∠BDE的度数；
(2)当∠ACB＝α，其他条件不变时，∠BDE的度数是 α或180°－α ；(用含α的代数式表示)
(3)若△ABC是等边三角形，AB＝3，N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．
例1题图
【思路分析】 (1)①根据SAS证明即可．②根据三角形全等得∠MBC＝∠NAC，结合AG∥BC进行角之间的转换即可得∠BDE的度数．(2)根据①的结论，根据AN与BC的位置关系分类讨论，结合平行线的性质，得∠BDE与∠ACB的数量关系．(3)根据等边三角形的性质和AB的长，结合全等三角形与相似三角形的性质，可求出线段CF的长．
(1)①证明：∵CA＝CB，BN＝AM，
∴CB－BN＝CA－AM，即CN＝CM.
∵∠ACN＝∠BCM，
∴△BCM≌△ACN.
②解：由①知△BCM≌△ACN，
∴∠MBC＝∠NAC.
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA.
∵AG∥BC，
∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC.
∴∠ADB＝∠NAC.
∴∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD.
∵∠NAC＋∠EAD＝180°－90°＝90°，
∴∠ADB＋∠EDA＝90°.
∴∠BDE＝90°.
(2)解：α或180°－α
(3)解：CF的长为或4.
针对训练1 (2018，邢台三模，导学号5892921)E是正方形ABCD的边CD
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所在直线上一点，连接AE，过点A作AF⊥EA，且AF＝AE，连接CF交AD于点G.
(1)当点E在CD边上时，过点F作FM⊥AD于点M，连接MC，FD，如图①.求证：
①△AFM≌△EAD；
②四边形FMCD是平行四边形；
(2)当点E在CD的延长线上时，如图②，请直接写出AG，DG，DE之间的数量关系．
训练1题图
【思路分析】 (1)①判断出∠FAM＝∠AED，即可得出结论．②先判断出FM∥DC，再判断出FM＝CD，即可得出结论．(2)过点F作FM⊥DA的延长线于点M.先判断出AM＝DE，FM＝CD，再判断出△FMG≌△CDG，即可得出结论．
(1)证明：①∵∠FAE＝90°，
∴∠FAM＋∠DAE＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°.
∴∠AED＋∠DAE＝90°.
∴∠FAM＝∠AED.
∵FM⊥AD于点M，
∴∠FMA＝90°.
∵AF＝AE，
∴△AFM≌△EAD.
②∵∠FMD＝∠ADC＝90°，
∴FM∥DC.
由①知△AFM≌△EAD，
∴FM＝AD.
∵AD＝DC，
∴FM＝CD.
∴四边形FMCD是平行四边形．
(2)解：DG＝AG＋DE.
针对训练2 (2018，邯郸二模，导学号5892921)如图①，在等边三角形ABC和等边三角形ADP中，AB＝2，点P在△ABC的高CE上(点P不与点C重合)，点D在点P的左侧，连接BD，ED.
(1)求证：BD＝CP；
(2)当点P与点E重合时，延长CE交BD于点F，请你在图②中作出图形，并求出BF的长；
(3)直接写出线段DE长度的最小值．
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训练2题图
【思路分析】 (1)根据SAS证明两个三角形全等．(2)先根据题意画图，可得AE＝BE＝DE，∠BCE＝30°，再求得∠DBC＝90°，根据特殊角的三角函数值可得BF的长．(3)先确定最小值时点P的位置，由(1)知△DAB≌△PAC，取AC的中点M，连接PM，则PM＝DE，PM长度的最小值就是DE长度的最小值，利用三角形中位线定理可得结论．
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
∵△ADP是等边三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝60°.
∴∠DAB＋∠BAP＝∠BAP＋∠PAC.
∴∠DAB＝∠PAC.
∴△DAB≌△PAC(SAS)．
∴BD＝CP.
(2)解：作图如答图．
∵△ADP是等边三角形，
∴当点P与点E重合时，
AE＝DE，∠AED＝60°.
∵CE⊥AB，∴AE＝BE.
∴DE＝BE.
∴∠ABD＝∠BDE＝∠AED＝30°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.
∴∠DBC＝90°.
在Rt△BCF中，∵BC＝2，tan∠BCF＝，
∴BF＝2·tan 30°＝.
(3)解：.
训练2答图
例2 (2018，唐山路北区三模，导学号5892921)(1)如图①，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D，F分别在边AB，AC上，请直接写出线段BD，CF的数量关系和位置关系；
(2)如图②，当正方形ADEF绕点A逆时针旋转锐角θ时，上述结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图③，在(2)的条件下，延长BD交直线CF于点G.当AB＝3，AD＝，θ＝45°时，直接写出线段BG的长．
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例2题图
【思路分析】 (1)根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质解答即可．(2)根据△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF.根据全等三角形的性质得BD＝CF，∠ABM＝∠GCM，进而证明出BD⊥CF.(3)根据正方形和等腰直角三角形的性质利用相似三角形的判定和性质解答即可．
解：(1)BD＝CF，BD⊥CF.
(2)成立．
证明：如答图，延长BD，分别交直线AC，CF于点M，G.
∵△ABC是等腰直角三角形，
四边形ADEF是正方形，
∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°.
∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，
∠CAF＝∠DAF－∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF.
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF(SAS)．
∴BD＝CF，∠ABM＝∠GCM.
∵∠BMA＝∠CMG，
∴∠BGC＝∠BAC＝90°.
∴BD⊥CF.
(3)BG＝.
例2答图
针对训练3 (2018，廊坊模拟，导学号5892921)如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，S△ABC＝18，动点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，以相同的速度在线段AC上由点C向点A运动，当点Q运动到点A时，P，Q两点同时停止运动．以PQ为边作正方形PQEF(P，Q，E，F按逆时针排序)．设点P运动时间为t s.
(1)求tan A的值；
(2)若正方形PQEF的面积为17，求出t的值；
(3)当t为何值时，正方形PQEF有三个顶点落在△ABC的边所在直线上？请直接写出t的值．
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训练3题图
【思路分析】 (1)过点B作BM⊥AC于点M.利用三角形面积公式求出BM的长，再利用勾股定理求出AM的长即可解决问题．(2)在Rt△PQN中，利用PQ2＝NQ2＋PN2，构建方程即可解决问题．(3)分四种情形分别求解即可解决问题．
解：(1)如答图，过点B作BM⊥AC于点M.
∵AC·BM＝18，
∴BM＝4.
∴在Rt△ABM中，AM＝＝3.
∴tan A＝＝.
(2)如答图，过点P作PN⊥AC于点N.
∴PN∥BM.
∴△APN∽△ABM.
∴＝＝.
∴＝＝.
∴AN＝3t，PN＝4t.
∴QN＝AC－CQ－AN＝9－8t.
∵在Rt△PQN中，PQ2＝NQ2＋PN2，
∴(9－8t)2＋(4t)2＝17.
解得t＝1或t＝.
∴当t为1或时，正方形PQEF的面积为17.
(3)当t为或或时，正方形PQEF有三个顶点落在△ABC的边所在直线上．
训练3答图
与圆有关的问题
例3 (2018，石家庄新华区二模，导学号5892921)如图，过半径为2的⊙O外一点P，作⊙O的切线PA，切点为A，连接PO，交⊙O于点C，过点A作⊙O的弦AB，使AB∥PO，连接PB，BC.
(1)当C是PO的中点时．
①求证：四边形PABC是平行四边形；
②求△PAB的面积；
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(2)当AB＝2时，请直接写出PC的长度．
例3题图
【思路分析】 (1)①连接OA，OB，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证．②过点O作OE⊥AB，垂足为E.由AB∥OP，得△PAB的面积与△OAB的面积相等，求出△OAB的面积即可．(2)先判断△OAB为等腰直角三角形，再证四边形ABOP为平行四边形，最后求出PC的长．
(1)①证明：如答图，连接OA，OB，则有OA＝OB＝OC.
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA.
∵C是PO的中点，
∴PC＝OC＝PO.
∴OA＝PO.
∴在Rt△OAP中，sin∠APO＝＝.
∴∠APO＝30°.
∴∠POA＝60°.
∵AB∥PO，
∴∠BAO＝∠POA＝60°.
∴△OAB是等边三角形．
∴AB＝OA.
∴AB＝PC.
∴四边形PABC是平行四边形．
②解：如答图，过点O作OE⊥AB，垂足为E.
在Rt△OAE中，
OE＝OA·sin 60°＝2×＝.
∴S△OAB＝AB·OE＝×2×＝.
∵AB∥PO，
∴S△PAB＝S△OAB＝.
(2)解：PC＝2－2.
例3答图
针对训练4 (2018，邯郸模拟，导学号5892921)如图①，点O在线段AB上(不与端点A，B重合)，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，线段BP与这条弧相切于点P，直线CD垂直平分线段PB，交PB于点C，交AB于点D，在射线DC上截取DE，使DE＝DB.已知AB＝6，设OA＝r.
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(1)求证：OP∥ED；
(2)当∠ABP＝30°时，求扇形AOP的面积，并证明四边形PDBE是菱形；
(3)过点O作OF⊥DE于点F，如图②所示，线段EF的长度是否随r的变化而变化？若不变，直接写出EF的值；若变化，直接写出EF与r的关系．
训练4题图
【思路分析】 (1)由BP为⊙O的切线知OP⊥BP，结合CD⊥BP即可得证．(2)由∠OPB＝90°，∠ABP＝30°得∠AOP＝120°.根据OP＝OB 求得r＝2，利用扇形的面积公式计算可得．证△EDB是等边三角形得BD＝BE，结合CD⊥PB知CD＝CE，据此得DE与PB互相垂直平分，从而得证．(3)证△DBC∽△OBP得＝＝＝，据此知CD＝OP＝r，BD＝BO＝(6－r)＝3－r.根据DB＝DE知CE＝3－r，再证四边形OFCP为矩形得CF＝OP＝r，由EF＝CF＋CE可得答案．
(1)证明：∵BP为⊙O的切线，
∴OP⊥BP.
∵CD⊥BP，
∴OP∥ED.
(2)解：∵在Rt△OBP中，∠OPB＝90°，∠ABP＝30°，
∴∠AOP＝120°.
∵在Rt△OBP中，OP＝OB，
∴r＝(6－r)．
解得r＝2.
∴S扇形AOP＝＝.
∵CD⊥PB，∠ABP＝30°，
∴∠EDB＝60°.
∵DE＝BD，
∴△EDB是等边三角形．
∴BD＝BE.
∵CD⊥PB，
∴CD＝CE.
∵直线CD垂直平分线段PB，
∴DE与PB互相垂直平分．
∴四边形PDBE是菱形．
(3)解：线段EF的长度不随r的变化而变化，且EF＝3.
针对训练5 (2013，河北，导学号5892921)如图，在△OAB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝80°，以点O为圆心，6为半径的优弧MN分别交OA，OB于点M，N.
(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.求证：AP＝
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BP′；
(2)点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；
(3)设点Q在优弧MN上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．
训练5题图
【思路分析】 (1)首先根据已知得出∠AOP＝∠BOP′，进而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案．(2)连接OT，过点T作TH⊥OA于点H.利用切线的性质得出∠ATO＝90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长．(3)当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．
(1)证明：∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP， ∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，
∴∠AOP＝∠BOP′.
在△AOP和△BOP′中，
∴△AOP≌△BOP′(SAS)．
∴AP＝BP′.
(2)解：如答图，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H.
∵AT与弧MN相切，
∴∠ATO＝90°.
∴AT＝＝＝8.
∵OA·TH＝AT·OT，
∴×10·TH＝×8×6.
解得TH＝，即点T到OA的距离为.
(3)解：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大．
训练5答图
例4 (2015，河北，导学号5892921)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K按图①摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD的位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．
【发现】
(1)当α＝0°，即初始位置时，点P__在__直线AB上(填“在”或“不在”)．求当α
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是多少时，OQ经过点B；
(2)在OQ旋转过程中，求α是多少时，点P，A之间的距离最小，请指出这个最小值；
(3)如图②，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影．
【拓展】
如图③，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x>0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
【探究】
当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin α的值．
例4题图
【思路分析】 【发现】(1)利用三角函数可以确定出点P在直线AB上．当OQ经过点B时，在Rt△OAB中，AO＝AB，利用等边对等角得出∠DOQ＝45°，从而得出结论．(2)连接AP，在OQ旋转过程中，有OA＋AP≥OP，利用三角形三边关系可以得出当α＝60°时，OA＋AP＝OP，此时AP最小，最小值为1.(3)过点P作PH⊥AD于点H，在Rt△OPH中，利用三角函数可以求出∠POH＝30°，所以α＝60°－30°＝30°.设半圆K与PC的交点为R，连接RK，有 S阴影＝ S扇形RKQ＋ S△RKP，从而得出结论．【拓展】由AD∥BC，得△AON∽△BMN，利用对应边成比例可以求出BN的长．当点Q落在BC上时，x取得最大值，作QF⊥AD于点F，利用勾股定理可以求出OF的长，进一步求出x的最大值．【探究】半圆K与矩形ABCD的边相切，有三种情况：①半圆K与边BC相切；②半圆K与边AD相切；③半圆K与边CD相切．
解：【发现】(1)在
当OQ经过点B时，在Rt△OAB中，AO＝AB，
∴∠DOQ＝∠ABO＝45°.
∴α＝60°－45°＝15°.
(2)如答图①，连接AP，有OA＋AP≥OP，
当OP过点A，即α＝60°时，取等号，
∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.
∴当α＝60°时，点P，A间的距离最小，最小值为1.
(3)如答图①，设半圆K与PC的交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E.
在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，
∴∠POH＝30°.
∴α＝60°－30°＝30°.
∵AD∥BC，
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∴∠RPQ＝∠POH＝30°.
∴∠RKQ＝2×30°＝60°.
∴S扇形RKQ＝＝.
在Rt△RKE中，RE＝RK·sin 60°＝，
∴S△RKP＝PK·RE＝.
∴S阴影＝＋.
【拓展】∵AD∥BC，
∴△AON∽△BMN.
∴＝，即＝.
∴BN＝.
如答图②，当点Q落在BC上时，x取得最大值，作QF⊥AD于点F.
此时BQ＝AF＝－AO＝－1＝2－1.
∴x的取值范围是0＜x≤2－1.
【探究】半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况．
①如答图③，当半圆K与边BC相切于点T时，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于点S，O′，则∠KSO＝∠KTB＝90°.
作KG⊥OO′于点G.
在Rt△OSK中，OS＝＝＝2.
在Rt△OSO′中，SO′＝OS·tan 60°＝2，
∴KO′＝2－.
在Rt△KGO′中，∠O′＝30°，
∴KG＝KO′＝－.
∴在Rt△OGK中，sin α＝＝＝.
②如答图④，当半圆K与边AD相切于点T时，
同①可得sin α＝＝＝＝
＝＝.
③当半圆K与边CD相切时，点Q与点D重合，且为切点．
∴α＝60°.
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∴sin α＝sin 60°＝.
综上所述，sin α的值为或或.
例4答图
针对训练6 (2016，河北，导学号5892921)如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中点P在弧AQ上且不与点A重合，但点Q可与点B重合．
【发现】
弧AP的长与弧QB的长之和为定值l，求l.
【思考】
点M与AB间的最大距离为 ，此时点P与点A间的距离为 2 ；点M与AB间的最小距离为（ ），此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形的面积为（ － ）.
【探究】
当半圆M与AB相切时，求弧AP的长．
训练6题图
【思路分析】 【发现】用弧长公式求得弧PQ，进而求得l.【思考】当PQ∥AB时，点M到AB的距离最大，当点Q与点B重合时，点M到AB的距离最小．【探究】分两种情况：(1)切点在AO上；(2)切点在BO上．
解：【发现】如答图①，连接OP，OQ，
则OP＝OQ＝PQ＝2.
∴∠POQ＝60°.
∴弧PQ的长为＝.
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∴l＝π·4－＝.
【思考】 2 －
【探究】半圆M与AB相切，分两种情况．
①如答图②，当半圆M与AO相切于点T时，连接PO，MO，TM，则MT⊥AO，OM⊥PQ.
在Rt△POM中，sin∠POM＝，
∴∠POM＝30°，OM＝.
在Rt△TOM中，TO＝＝，
∴cos∠AOM＝＝，即∠AOM＝35°.
∴∠POA＝35°－30°＝5°.
∴弧AP的长为＝.
②如答图③，当半圆M与BO相切于点S时，连接QO，MO，SM.
由对称性，得弧BQ的长为.
由l＝，得弧AP的长为－＝.
综上所述，弧AP的长为或.
训练6答图
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