专题五 函数图象的变化
例1 (2013，河北，导学号5892921)如图，已知点A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t s.
(1)当t＝3时，求l的解析式；
(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．
例1题图
【思路分析】 (1)利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式．(2)分别求出直线l经过点M，N时的t值，即可得到t的取值范围．(3)找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点．求出对称点的坐标，然后分别求出对称点与点M连线的中点的坐标，最后分别求出时间t的值．
解：(1)直线y＝－x＋b交y轴于点P(0，b)．
由题意，得b＞0，t≥0，b＝1＋t.
当t＝3时，b＝4.
故l的解析式为y＝－x＋4.
(2)当直线y＝－x＋b过点M(3，2)时，
2＝－3＋b.
解得b＝5.
由5＝1＋t，得t＝4.
当直线y＝－x＋b过点N(4，4)时，
4＝－4＋b.
解得b＝8.
由8＝1＋t，得t＝7.
故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围为4＜t＜7.
(3)当t＝1时，点M关于l的对称点落在y轴上；
当t＝2时，点M关于l的对称点落在x轴上.
针对训练1 (2017，河北，导学号5892921)如图，在直角坐标系xOy中，A(0，5)，直线x＝－5与x轴交于点D，直线y＝－x－与x轴及直线x＝－5分别交于点C，E.点B，E关于x轴对称，连接AB.
(1)求点C，E的坐标及直线AB的解析式；
(2)设面积的和S＝S△CDE＋S四边形ABDO，求S的值；
(3)在求(2)中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．
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训练1题图
【思路分析】 (1)由直线y＝－x－与x轴和直线x＝－5的交点求得点C，E的坐标，再求得点B的坐标，最后用待定系数法求直线AB的解析式．(2)分别求△CDE和四边形ABDO的面积，再求和即可．(3)点C不在直线AB上．
解：(1)在直线y＝－x－中，令y＝0，
则有0＝－x－，
∴x＝－13.
∴C(－13，0)．
令x＝－5，则有y＝－×(－5)－＝－3，
∴E(－5，－3)．
∵点B，E关于x轴对称，
∴B(－5，3)．
∵A(0，5)，
∴设直线AB的解析式为y＝kx＋5.
∴－5k＋5＝3.
∴k＝.
∴直线AB的解析式为y＝x＋5.
(2)由(1)，知E(－5，－3)．
∴DE＝3.
∵C(－13，0)，
∴CD＝－5－(－13)＝8.
∴S△CDE＝CD·DE＝12.
由题意，知OA＝5，OD＝5，BD＝3.
∴S四边形ABDO＝(BD＋OA)·OD＝20.
∴S＝S△CDE＋S四边形ABDO＝12＋20＝32.
(3)由(2)，知S＝32.
在△AOC中，OA＝5，OC＝13，
∴S△AOC＝OA·OC＝＝32.5.
∴S△AOC≠S.
理由：由(1)知，直线AB的解析式为y＝x＋5.
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令y＝0，则0＝x＋5，∴x＝－≠－13.
∴点C不在直线AB上，即点A，B，C不在同一条直线上．
∴S△AOC≠S.
针对训练2 (2018，保定竞秀区二模，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的解析式为y＝kx＋x－k＋1.若将直线l绕点A旋转，当直线l旋转到l1的位置时，k＝2且l1与y轴相交于点B，与x轴相交于点C；当直线l旋转到l2的位置时，k＝－且l2与y轴相交于点D.
(1)求点A的坐标；
(2)直接写出B，C，D三点的坐标，连接CD，计算△ADC的面积；
(3)已知坐标平面内一点E，其坐标满足E(a，a)，当点E与点A的距离最小时，直接写出a的值．
训练2题图
【思路分析】 (1)将k＝2和k＝－分别代入直线的解析式，得到关于x，y的方程组，然后解方程组可求得点A的坐标．(2)先求得点B，C，D的坐标，然后根据S△ADC＝S△ADB－S△BDC求解即可．(3)过点A作直线y＝x的垂线，垂足为E，此时点E与点A的距离最小．求得点E的坐标，可得到a的值．
解：(1)当k＝2时，
y＝3x－1.
当k＝－时，
y＝x＋.
解方程组
得
∴点A的坐标为(1，2)．
(2)B(0，－1)，C，D.
∴BD＝，OC＝.
∴S△ADC＝S△ADB－S△BDC
＝××1－××
＝.
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(3)a＝.
例2 (2018，石家庄长安区一模，导学号5892921)如图，在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝tx－t(t≠0)分别与x轴、y轴相交于A，B两点，与双曲线l2：y＝(k≠0)相交于点D(2，2)，点B，C关于x轴对称，连接AC.将Rt△AOC沿AD方向平移，使点A移动到点D，得到Rt△DEF.
(1)k的值是__4__，点A的坐标是__(1，0)__；
(2)判断点F是否在l2上，并验证你的结论；
(3)在ED的延长线上取一点M(4，2)，过点M作MN∥y轴，交l2于点N，连接ND，求直线ND的解析式；
(4)直接写出线段AC扫过的面积．
例2题图
【思路分析】 (1)利用待定系数法和x轴上点的坐标的特征即可得出结论．(2)先确定出点B的坐标，进而得出点C的坐标，利用平移求出点F的坐标，判断即可．(3)先确定出点N的坐标，利用待定系数法即可得出结论．(4)先判断出AC扫过的部分是▱ACFD，再判断出点C，D，E在同一条直线上，点A，E，F也在同一条直线上，即可得出结论．
解：(1)4 (1，0)
(2)点F在l2上．
∵直线l1过点D(2，2)，
∴2＝2t－t.
解得t＝2.
∴直线l1的解析式为y＝2x－2.
∴B(0，－2)．
∵点B，C关于x轴对称，
∴C(0，2)．
∵平移后，DE＝AO＝1，EF＝CO＝2，
∴E(1，2)，F(1，4)．
∵双曲线l2的解析式为y＝，
∴点F(1，4)的坐标满足解析式y＝.
故点F在l2上．
(3)∵M(4，2)，MN∥y轴，交l2于点N，
∴点N的横坐标为4，且在y＝上．
∴N(4，1)．
设直线ND的解析式为y＝ax＋b(其中a，b为常数，且a≠0)．
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把点N(4，1)，D(2，2)的坐标分别代入y＝ax＋b，
得
解得
∴直线ND的解析式为y＝－x＋3.
(4)4.
针对训练3 (2018，泰州，导学号5892921)在平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝(x＞0)的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx＋n的图象经过点A′.
(1)设a＝2，点B(4，2)在函数y1，y2的图象上．
①分别求函数y1，y2的解析式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的取值范围；
(2)如图①，设函数y1，y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA′B的面积为16，求k的值；
(3)设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
训练3题图
【思路分析】 (1)由已知代入点的坐标即可．(2)先进行面积转化，再用a，k表示面积可解．(3)设出点A，A′的坐标，依次表示AD，AF及点P的坐标即可解决问题．
解：(1)①由已知，得点B(4，2)在y1＝(x＞0)的图象上，
∴k＝8.
∴y1＝.
∵a＝2，且点A在y1＝上，
∴点A的坐标为(2，4)．
∴点A′的坐标为(－2，－4)．
把B(4，2)，A′(－2，－4)的坐标代入y2＝mx＋n，得
解得
∴y2＝x－2.
②2＜x＜4.
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(2)如答图，分别过点A，B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接BO.
训练3答图
∵O为AA′的中点，
∴S△AOB＝S△AA′B＝8.
∵点A，B在双曲线上，
∴S△AOC＝S△BOD.
∴S△AOB＝S四边形ACDB＝8.
由已知，得点A，B的坐标可以表示为，.
∴··2a＝8.
解得k＝6.
(3)由A，得点A′的坐标为.
把点A′的坐标代入y＝x＋n，
得－＝－a＋n.
∴n＝a－.
∴A′D的解析式为y＝x＋a－.
当x＝a时，点D的纵坐标为a－.
∴AD＝－a.
∵AD＝AF,
∴点F和点P的横坐标为a＋－a＝.
∴点P的纵坐标为·＋a－＝a.
∵·a＝k，
∴点P在y1＝(x＞0)的图象上．
例3 (2018，衡水模拟，导学号5892921)如图，直线y＝x＋2与y轴相交于点A
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，与直线y＝－x相交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝(x－h)2＋k的顶点在直线y＝－x上移动．若抛物线与菱形的边AB，BC都有公共点，则h的取值范围是( A )
例3题图
A. －2≤h≤ B. －2≤h≤1
C. －1≤h≤ D. －1≤h≤
【解析】 将y＝x＋2与y＝－x联立，得解得∴点B的坐标为(－2，1)．由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(h，k)．将x＝h，y＝k代入y＝－x，得－h＝k，∴抛物线的解析式为y＝(x－h)2－h.如答图①所示，当抛物线经过点C且顶点在C的右侧时，将(0，0)代入y＝(x－h)2－h，得h2－h＝0，解得h1＝0(舍去)，h2＝.如答图②所示，当抛物线的顶点经过点B时，h＝－2.综上所述，h的范围是－2≤h≤.
例3答图
针对训练4 (2011，河北，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动t s(t＞0)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)．
(1)求c，b(用含t的代数式表示)；
(2)当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N.
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的度数；
②求△MPN的面积S与t之间的函数关系，并求当t为何值时，S＝；
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(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．
训练4题图
【思路分析】 (1)由抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，将点O与点P的坐标分别代入方程即可求得c，b.(2)①当x＝1时，y＝1－t，求得点M的坐标，则可求得∠AMP的度数．②由S＝S四边形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值．(3)根据图形，找出临界点算出答案．
解：(1)把x＝0，y＝0代入y＝x2＋bx＋c，得c＝0.
把x＝t，y＝0代入y＝x2＋bx，得t2＋bt＝0.
∵t＞0，
∴b＝－t.
(2)①不变．
∵抛物线的解析式为y＝x2－tx，点M的横坐标为1，
∴当x＝1时，y＝1－t.∴M(1，1－t)．
∴AM＝|1－t|＝t－1.
∵OP＝t，
∴AP＝t－1.∴AM＝AP.
∵∠PAM＝90°，∴∠AMP＝45°.
②S＝S四边形AMNP－S△PAM
＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM
＝(t－4)(4t－16)＋[(4t－16)＋(t－1)]×3－(t－1)(t－1)
＝t2－t＋6.
∵t2－t＋6＝，
∴t1＝，t2＝.
∵4＜t＜5，∴t＝.
(3)＜t＜.
例4 (2016，河北，导学号5892921)如图，抛物线L：y＝－(x－t)(x－t＋4)(常数t＞0)与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝(k＞0，x＞0)于点P，且OA·MP＝12.
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(1)求k的值；
(2)当t＝1时，求AB的长，并求直线MP与抛物线L的对称轴之间的距离；
(3)把抛物线L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G，用t表示图象G最高点的坐标；
(4)设抛物线L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．
例4题图
【思路分析】 (1)设点P(x，y)，只要求出xy即可解决问题．(2)先求出点A，B的坐标，再求出对称轴以及点M的坐标即可解决问题．(3)根据对称轴的位置即可判断：当对称轴在直线MP左侧时，L的顶点就是最高点；当对称轴在MP右侧时，L与MP的交点就是最高点．(4)求出两个临界点的纵坐标，再利用二次函数的性质即可解决问题．
解：(1)设点P(x，y)，
则MP＝y.
由OA的中点为M，
可知OA＝2x.
由OA·MP＝12，
得2x·y＝12.
∴xy＝6.
∴k＝xy＝6.
(2)当t＝1时，令y＝0，则0＝－(x－1)(x＋3)．
解得x＝1或x＝－3.
∵点B在点A的左边，
∴B(－3，0)，A(1，0)．∴AB＝4.
∵抛物线L的对称轴是x＝＝－1，且M为，
∴直线MP与抛物线L的对称轴之间的距离为.
(3)∵A(t，0)，B(t－4，0)，
∴抛物线L的对称轴为x＝t－2.
∵OM为x＝，
∴当t－2≤，即t≤4时，
顶点(t－2，2)就是G的最高点．
当t＞4时，L与MP的交点就是G的最高点．
(4)5≤t≤8－或7≤t≤8＋.
针对训练5 (2018，保定一模，导学号5892921)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 是由抛物线y＝－x2先向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，抛物线与x轴相交于A，
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B两点，与y轴相交于点C.点D在线段OC上且OD＝OB.
(1)写出此抛物线的解析式；
(2)求线段AD所在直线的解析式；
(3)若P是第二象限内抛物线上一点，其横坐标为t，是否存在一点P，使△PAD的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PAD的面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(4)若P仍为第二象限内抛物线上一点，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接PE交AD于点F，当△AEF与△AOD相似时，请直接写出点P的坐标．
训练5题图
【思路分析】 (1)根据平移的特点直接得出结论．(2)先求出点A，B的坐标，进而得出点D的坐标，再利用待定系数法即可得出结论．(3)过点P作PM⊥x轴于点M，交AD于点N.设出点P的坐标，得出点N的坐标，进而表示出PN的长，得出S△PAD＝－＋，即可得出结论．(4)分两种情况，利用相似三角形的性质即可得出结论．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c是由抛物线y＝－x2先向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
∴此抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋＝－x2－x＋4.
(2)令y＝0，则－x2－x＋4＝0.
∴x＝－4或x＝2.
∴A(－4，0)，B(2，0)．
∴OB＝2.
∵OD＝OB，
∴OD＝2.
∴D(0，2)．
设线段AD所在直线的解析式为y＝kx＋2.
∵点A(－4，0)在线段AD所在的直线上，
∴－4k＋2＝0.
∴k＝.
∴线段AD所在直线的解析式为y＝x＋2.
(3)存在．设点P.
如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，交AD于点N，连接PA，PD.
∴N.
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∴PN＝－t2－t＋4－＝－t2－t＋2.
∴S△PAD＝S△PAN＋S△PND
＝PN·OA
＝－t2－3t＋4
＝－＋.
∴当t＝－时，S△PAD最大，最大值为，
此时点P的坐标为.
(4)点P的坐标为或(1－，2－4)．
训练5答图
针对训练6 (导学号5892921)如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(－3，－3)．
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；
(2)把直线OA向上平移后与反比例函数的图象交于点B(－6，m)，与x轴相交于点C，求m的值和直线BC的解析式；
(3)在(2)的条件下，直线BC与y轴相交于点D，求以点A，B，D为顶点的三角形的面积；
(4)在(3)的条件下，点A，B，D在二次函数的图象上，试判断该二次函数在第三象限内的图象上是否存在一点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足S1＝S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
训练6题图
【思路分析】 (1)利用待定系数法即可求得函数的解析式．(2)根据直线平移的性质即可求解．(3)作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N，根据S四边形ABDM＝S梯形ABNM＋S△BDN，S△ABD＝S四边形ABDM－S△ADM即可求解．(4)首先求得点D的坐标，然后利用待定系数法求得二次函数的解析式，根据S1＝S△OCD＋S△OCE＝S即可求得点E的纵坐标，根据点E(x0，y0)在二次函数的图象上，即可求得x0的值，进而求得点E的坐标．
解：(1)设正比例函数的解析式为y＝kx.
把点A(－3，－3)的坐标代入解析式，得－3k＝－3.
解得k＝1.
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∴正比例函数的解析式为y＝x.
设反比例函数的解析式为y＝.
把点A(－3，－3)的坐标代入解析式，得k1＝9.
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)∵m＝＝－，
∴点B的坐标是.
设直线BC的解析式为y＝k3x＋n.
∵y＝k3x＋n的图象是由y＝x的图象平移得到的，
∴k3＝1，即y＝x＋n.
∴－＝－6＋n.解得n＝.
故直线BC的解析式为y＝x＋.
(3)∵y＝x＋的图象交y轴于点D，
∴点D的坐标是.
如答图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，连接AB，AD.
∵点A的坐标是(－3，－3)，
点B的坐标是，
∴点M的坐标是(0，－3)，点N的坐标是.
∴OM＝3，ON＝.
∴MD＝3＋＝，DN＝＋＝6，
MN＝3－＝.
∴S△ADM＝×3×＝，S△BDN＝×6×6＝18，S梯形ABNM＝×(3＋6)×＝.
∴S四边形ABDM＝S梯形ABNM＋S△BDN＝＋18＝，
S△ABD＝S四边形ABDM－S△ADM＝－＝.
(4)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋，
则解得
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这个二次函数的解析式为y＝x2＋4x＋.
易得点C的坐标是.
∴S＝S四边形ABDM－S△OAM
＝－×3×3
＝－＝.
假设存在点E(x0，y0)，使S1＝S＝×＝.
∵四边形OECD的顶点E只能在x轴的下方，
∴y0＜0.
∴S1＝S△OCD＋S△OCE
＝××＋×|y0|
＝＋|y0|.
∴y0＝－.
∵点E(x0，y0)在二次函数y＝x2＋4x＋的图象上，
∴x＋4x0＋＝－.
解得x0＝－2或x0＝－6.
当x0＝－6时，点E与点B重合，这时OECD不是四边形，故x0＝－6(舍去)．
∴点E的坐标是.
训练6答图
13
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