专题六 运 动 问 题
例1 (2018，唐山路北区二模，导学号5892921)把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与点E重合)，点B，C(E)，F在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，EF＝9 cm.如图②，△DEF从图①的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动．在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t s(0＜t＜4.5)．
例1题图
解答下列问题：
(1)当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
(2)连接PE，设四边形APEC的面积为y cm2，求y与t之间的函数关系式．是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，请求出y的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)是否存在某一时刻t，使P，Q，F三点在同一条直线上？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【思路分析】 (1)因为点A在线段PQ的垂直平分线上，所以AP＝AQ，用含t的式子表示出这两条线段的长解方程即可得解．(2)过点P作PM⊥BC，将四边形APEC的面积表示为S△ABC－S△BPE即可求解．(3)由相似三角形的性质即可求解．
解：(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP＝AQ.
∵∠DEF＝45°，∠ACB＝90°，
∠DEF＋∠ACB＋∠EQC＝180°，
∴∠EQC＝45°.
∴∠DEF＝∠EQC.
∴CE＝CQ.
由题意，知CE＝t，BP＝2t.
∴CQ＝t.∴AQ＝8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝10.
∴AP＝10－2t.
∴10－2t＝8－t.
解得t＝2.
∴当t＝2时，点A在线段PQ的垂直平分线上．
(2)如答图①，过点P作PM⊥BE，交BE于点M.
∴∠BMP＝90°.
在Rt△ABC和Rt△PBM中，sin B＝＝，
∴＝.∴PM＝t.
∵BC＝6，CE＝t，∴BE＝6－t.
13
∴y＝S△ABC－S△BPE
＝BC·AC－BE·PM
＝×6×8－×(6－t)×t
＝t2－t＋24
＝(t－3)2＋.
∵a＝，∴抛物线开口向上．
∴当t＝3时，y最小＝.
∴存在一个t值，且当t＝3时，四边形APEC的面积最小，最小面积为 cm2.
(3)存在某一时刻t，使P，Q，F三点在同一条直线上．
如答图②，过点P作PN⊥AC，交AC于点N.
∴∠ANP＝∠ACB＝∠PNQ＝90°.
∵∠PAN＝∠BAC，
∴△PAN∽△BAC.
∴＝＝.
∴＝＝.
∴PN＝6－t，AN＝8－t.
∵NQ＝AQ－AN，
∴NQ＝8－t－＝t.
∵∠ACB＝90°，B，C，E，F四点在同一条直线上，
∴∠QCF＝90°.∴∠QCF＝∠PNQ.
∵∠FQC＝∠PQN，∴△QCF∽△QNP.
∴＝.
∴＝.
解得t＝1.
∴存在一个t值，且当t＝1时，P，Q，F三点在同一条直线上．
例1答图
针对训练1 (2018，黄冈，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC
13
的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C＝120°，边长OA＝8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，点N从点A出发沿边AB→BC→CO以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于点P，交对角线OB于点Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．
(1)当t＝2时，求线段PQ的长；
(2)求t为何值时，点P与点N重合；
(3)设△APN的面积为S，求S与t之间的函数关系式及t的取值范围．
训练1题图
【思路分析】 (1)解直角三角形求出PM，QM即可解决问题．(2)根据点P，N的路程之和等于24，构建方程即可解决问题．(3)分四种情况考虑问题即可．
解：(1)当t＝2时，OM＝2.
在Rt△OPM中，易知∠POM＝60°，
∴PM＝OM·tan 60°＝2.
在Rt△OMQ中，∠QOM＝∠POM＝30°，
∴QM＝OM·tan 30°＝.
∴PQ＝PM－QM＝2－＝.
(2)当t≤4时，点P在OC上，点N在AB上，
∴点P，N在边BC上相遇，t>4.
由题意，得8＋(t－4)＋2t＝8×3.
解得t＝.
(3)①当0＜t＜4时，S＝×8××2t＝4t.
②当4≤t＜时，
S＝[8－(t－4)－(2t－8)]×4
＝－6t＋40.
③当＜t＜8时，
S＝[(t－4)＋(2t－8)－8]×4
＝6t－40.
④当8≤t≤12时，如答图，
S＝S菱形ABCO－S△AON－S△ABP－S△PNC
＝32－(24－2t)×4－[8－(t－4)]×4－(t－4)×(2t－16)
13
＝－t2＋12t－56.
综上所述，S＝
训练1答图
针对训练2 (导学号5892921)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t s.
(1)用含t的代数式表示线段DC的长；
(2)当点Q与点C重合时，求t的值；
(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
训练2题图
【思路分析】 (1)先求出AC的长，用三角函数求出AD的长，进而可得出结论．(2)利用AD＋DQ＝AC，即可得出结论．(3)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论．
解：(1)在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，
∴AC＝2.
∵PD⊥AC，
∴∠ADP＝∠CDP＝90°.
在Rt△ADP中，AP＝2t，
∴DP＝t，AD＝AP·cos A＝2t·＝t.
∴DC＝AC－AD＝2－t(0＜t＜2)．
(2)在Rt△PDQ中，∵∠DPQ＝60°，
∴∠PQD＝30°＝∠A.
∴PA＝PQ.
∵PD⊥AC，
∴AD＝DQ.
∵点Q与点C重合，
∴AD＋DQ＝AC.
∴2×t＝2.
∴t＝1.
13
(3)当0＜t≤1时，S＝S△PDQ＝DQ·DP＝×t·t＝t2.
当1＜t＜2时，如答图，
训练2答图
CQ＝AQ－AC＝2AD－AC＝2t－2＝2(t－1)．
在Rt△ECQ中，∠CQE＝30°，
∴CE＝CQ·tan∠CQE＝2(t－1)×＝2(t－1)．
∴S＝S△PDQ－S△ECQ
＝×t·t－×2(t－1)×2(t－1)
＝－t2＋4t－2.
∴S＝
例2 (2018，邯郸模拟，导学号5892921)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°.动点P从点B出发，沿BC→CD边以每秒1个单位长度的速度运动，到点D时停止，连接AP，点Q与点B关于AP所在直线对称，连接AQ，PQ.设运动时间为t s.
例2题图
(1)菱形ABCD的对角线AC的长为 6 ；
(2)当点Q恰在AC上时，求t的值；
(3)当CP＝3时，求△APQ的周长；
(4)直接写出在整个运动过程中，点Q运动的路径长．
【思路分析】 (1)连接BD交AC于点O，依据在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，求出AO的长，即可得到菱形ABCD对角线AC的长．(2)依据点Q与点B关于AP所在直线对称，可得△AQP≌△ABP，进而得出PQ＝PB，AQ＝AB＝6，∠AQP＝∠ABC＝120°，进而可知∠CPQ＝90°，CQ＝2PQ＝2PB＝2t，即可得到t的值．(3)当CP＝3时，有两种情况：①P是BC的中点；②P是CD的中点．分别依据△APQ的周长＝△ABP的周长＝AB＋BP＋AP，进行计算即可．(4)点Q运动的路径为以点A为圆心，6为半径，圆心角为120°的弧，进而得到点Q运动的路径长为＝4π.
解：(1)6
13
(2)如答图①.
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°.
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝30°.
∵点Q与点B关于AP所在直线对称，
∴△AQP≌△ABP.
∴PQ＝PB，AQ＝AB＝6，∠AQP＝∠ABC＝120°.
∴∠CPQ＝∠AQP－∠ACB＝90°.
在Rt△CPQ中，∠ACB＝30°，
∴CQ＝2PQ＝2PB＝2t，即6－6＝2t.
解得t＝3－3.
(3)当CP＝3时，有两种情况．
①当P是BC的中点时，如答图②，过点A作AE⊥BC，交CB的廷长线于点E.
在Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴BE＝AB＝3，AE＝AB＝3.
在Rt△AEP中，AE＝3，EP＝3＋3＝6，
∴AP＝＝＝3.
∴△APQ的周长＝△ABP的周长＝AB＋BP＋AP＝6＋3＋3＝9＋3.
②当P是CD的中点时，如答图③，连接BD，
则△BCD是等边三角形．
∴∠BPC＝90°.
在Rt△BPC中，BP＝CP·tan C＝3.
易证∠ABP＝90°，由勾股定理可得AP＝3.
∴△APQ的周长＝△ABP的周长＝AB＋BP＋AP＝6＋3＋3.
综上所述，当CP＝3时，△APQ的周长为9＋3或6＋3＋3.
(4)由题意，得点Q的运动路径为以点A为圆心，6为半径，圆心角为120°的弧．
∴点Q运动的路径长为＝4π.
例2答图
针对训练3 (2018，石家庄长安区模拟，导学号5892921)如图，正方形ABCD的边长为6，点P从点B出发沿边BC→CD以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，以BP为边作等边三角形BPQ，使点Q在正方形ABCD内或边上，当点Q恰好在AD边上时，点P停止运动．设运动时间为t s.
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(1)当t＝2时，点Q到BC的距离为 2 ；
(2)如图①，当点P在BC边上运动时，求CQ的最小值及此时t的值；
(3)如图②，当点Q在AD边上时，求出t的值；
(4)直接写出点Q运动路线的长．
训练3题图
【思路分析】 (1)先求出BP＝4，∠PBQ＝60°，进而可得出结论．(2)先判断出CQ⊥BQ时，CQ最小，再用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．(3)先判定Rt△BAQ≌Rt△BCP，再由勾股定理建立方程即可得出结论．(4)判断出点Q的运动路线长等于点P的运动路线长即可得出结论．
解：(1)2
(2)当点P在BC边上运动时，有∠QBC＝60°.
根据垂线段最短，当CQ⊥BQ时，CQ最小．
如答图．在Rt△BCQ中，∠QBC＝60°，
∴∠BCQ＝30°.
∴BQ＝BC＝3.
∴BP＝BQ＝3.
∴CQ＝BQ·tan∠QBC＝3，t＝.
训练3答图
(3)当点Q在AD边上时，CP＝2t－6.
∵BA＝BC，BQ＝BP，∠A＝∠C＝90°，
∴Rt△BAQ≌Rt△BCP(HL)．
∴AQ＝CP＝2t－6.
∴DQ＝DP＝12－2t.
∵BP＝PQ，在Rt△PDQ和Rt△BCP中，由勾股定理可得DQ2＋DP2＝QP2，BC2＋CP2＝BP2，
∴2(12－2t)2＝62＋(2t－6)2.
解得t1＝9＋3(不合题意，舍去)，t2＝9－3.
∴t＝9－3.
(4)∵△PBQ是等边三角形，
∴点Q运动路线的长等于点P运动路线的长．
由(3)知，t＝9－3.
∴点Q运动路线的长为2(9－3)＝18－6.
针对训练4 (2017，河北，导学号5892921)平面内，如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，tan A＝，P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.
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(1)当∠DPQ＝10°时，求∠APB的度数；
(2)当tan∠ABP∶tan A＝3∶2时，求点Q与点B间的距离；(结果保留根号)
(3)若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．
训练4题图
【思路分析】 (1)按点Q，B与PD的位置关系讨论确定∠APB的度数．(2)过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ，由三角函数值的比确定AH，BH，PH的长，再由勾股定理计算出QB的长．(3)根据题意分类讨论点Q所在位置并画出满足题意的图形进而计算出扇形面积．
解：(1)当点Q与点B在PD异侧时，
由∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°，得∠BPD＝80°.
∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°.
当点Q与点B在PD同侧时，如答图①，
∠APB＝180°－∠BPQ－∠DPQ＝80°.
综上所述，当∠DPQ＝10°时，∠APB的度数为80°或100°.
训练4答图
(2)如答图②，过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ.
∵tan∠ABP∶tan A＝∶＝3∶2，
∴AH∶HB＝3∶2.
∵AB＝10，
∴AH＝6，HB＝4.
在Rt△PHA中，PH＝AH·tan A＝8.
∴PQ＝PB＝＝＝4.
∴在Rt△PQB中，QB＝PB＝4.
(3)16π或20π或32π.
例3 (2018，石家庄裕华区一模，导学号5892921)如图①，图②，在⊙O中，OA＝1，AB＝，将弦AB与弧AB所围成的弓形(包括边界的阴影部分)绕点B顺时针旋转α(0°≤α≤360°)，点A的对应点是A′.
(1)点O到线段AB的距离是（ ），∠AOB＝__120°__，点O落在阴影部分(包括边界)时，α的取值范围是__30°≤α≤60°__；
(2)如图③，线段A′B与弧ACB的交点是D.当∠A′BA＝90°时，说明点D在AO的延长线上；
(3)当直线A′B与⊙O相切时，求α的值并求此时点A′运动路径的长度．
13
例3题图
【思路分析】 (1)前两空利用垂径定理和特殊角的三角函数值解答．第三空，当A′B与OB重叠时，α取最小值．当弧A′B绕点B顺时针旋转到过圆心O时得到α的最大值．(2)连接AD，利用圆周角定理进行证明．(3)利用切线的性质求得α的值，并利用弧长公式求得点A′运动路径的长度．
解：(1) 120° 30°≤α≤60°
(2)如答图，连接AD.
例3答图
∵∠A′BA＝90°，
∴AD为直径．
∴AD过圆心O.
∴点D在AO的延长线上．
(3)当A′B与⊙O相切时，
∠OBA′＝90°，此时∠ABA′＝90°＋30°＝120°或∠ABA′＝90°－30°＝60°.
∴α＝120°或300°.
当α＝120°时，点A′运动路径的长度为＝.
当α＝300°时，点A′运动路径的长度为＝.
针对训练5 (2018，石家庄长安区模拟，导学号5892921)在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝8.
(1)如图①，过点O作OE⊥OB，交弧AB于点E，再过点E作EF⊥OA于点F，则FO的长是 4 ，∠FEO＝ 60° ；
(2)如图②，设P为弧AB上的动点，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN.
①求点P运动的路径长；
②MN的长度是否是定值？
(3)在(2)中的条件下，若点D是△PMN的外心，直接写出点D运动的路径长．
13
训练5题图
【思路分析】 (1)先求出∠AOE，即可得出结论．(2)①当点M与点O重合时，∠PMB＝30°.当点N与点O重合时，∠PNA＝30°.进而可求出点P运动路径所对的圆心角是120°－30°－30°＝60°，最后用弧长公式即可得出结论．②先判断出P，M，O，N四点均在同一个圆上，进而可得出结论．(3)先判断出△PMN的外接圆的圆心的运动轨迹，最后根据弧长公式即可得出结论．
解：(1)4 60°
(2)①点P在弧AB上运动，其路径也是一段弧．
由题意，可知当点M与点O重合时，∠PMB＝30°；
当点N与点O重合时，∠PNA＝30°.
∴点P运动路径所对的圆心角是120°－30°－30°＝60°.
∴点P运动的路径长为＝.
②如答图，连接PO，取PO的中点H，连接MH，NH.
∵在Rt△PMO和Rt△PNO中，H是斜边PO的中点，
∴MH＝NH＝PH＝OH＝PO＝4.
∴根据圆的定义，可知P，M，O，N四点均在同一个圆，即⊙H上．
∵∠MON＝120°，∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴∠MPN＝60°.∴∠MHN＝2∠MPN＝120°.
过点H作HK⊥MN，垂足为K.
由垂径定理，得MK＝KN＝MN，∠MHK＝60°.
∵在Rt△HMK中，MH＝4，
∴MK＝2.
∴MN＝2MK＝4.∴MN的长度是定值．
(3)点D运动的路径长为.
训练5答图
例4 (2018，资阳模拟，导学号5892921)如图，△ABC为等边三角形，且点A，B的坐标分别是(－2，0)，(－1，0)．将△ABC沿x轴正方向翻滚，翻滚120°为一次变换．如果这样连续经过2 018次变换后，等边三角形ABC的顶点C的坐标为__(2_016，0)__．
例4题图
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【解析】 由题意，得C1(0，0)，C2(0，0)，C3，C4(3，0)，C5(3，0)，C6，….3次为一组循环，2 018÷3＝672……2，672×3＝2 016，∴经过2 018次变换后，等边三角形ABC的顶点C的坐标为(2 016，0).
针对训练6 (导学号5892921)如图，在扇形铁皮AOB中，OA＝20，∠AOB＝36°，OB在直线l上．将此扇形沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动)，当OA第一次落在l上时，停止旋转，则点O所经过的路线长为( C )
训练6题图
A. 20π B. 22π
C. 24π D. 20π＋10－10
【解析】 点O所经过的路线长为＋＋＝24π.
针对训练7 (导学号5892921)如图，一个长为4 cm、宽为3 cm的矩形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板点A位置的变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A滚到点A2位置时走过的路径长为( B )
训练7题图
A. cm B. cm
C. cm D. cm
【解析】 ∵矩形长为4 cm，宽为3 cm，∴其对角线长为5 cm.第一次是以点B为旋转中心，5 cm 为半径旋转90°，此次点A走过的路径长是＝(cm)．第二次是以点C为旋转中心，4 cm为半径旋转60°，此次走过的路径长是＝(cm)．∴点A走过的路径长是＋＝(cm).
针对训练8 (导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，一半径为2的圆的圆心的初始位置在(0，2)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上以每秒的速度沿x轴正方向滚动，8 s后点P到x轴的距离为__3__．
训练8题图
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【解析】 如答图，设圆心为点O′，作O′A⊥x轴于点A，PD⊥x轴于点D，O′F⊥PD于点F.设优弧AP的圆心角为n°.由题意，得＝.解得n＝240.∴∠PO′A＝120°.∵∠O′AD＝∠FDA＝∠O′FD＝90°，∴四边形O′ADF是矩形．∴DF＝O′A＝2，∠FO′A＝90°.∴∠FO′P＝30°.在Rt△O′PF中，PF＝O′P＝1，∴PD＝PF＋DF＝1＋2＝3.∴点P到x轴的距离为3.
训练8答图
针对训练9 (2018，唐山三模，导学号5892921)如图，直线l经过平面直角坐标系的原点O，且与x轴正方向的夹角是30°，点A的坐标是(0，1)，点B在直线l上，且AB∥x轴，则点B的坐标是 (，1 )，现将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线l上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线l上，顺次旋转下去……则点A6的横坐标是（ ＋ ）.
训练9题图
【解析】 ∵点A的坐标是(0，1)，∠BOx＝30°，AB∥x轴，∴AB＝，AO＝1.∴点B的坐标为(，1)．由题意，得点A1的横坐标为＋，点A2的横坐标为＋，点A3的横坐标为3＋，点A4的横坐标为3＋3，点A5的横坐标为＋4，点A6的横坐标为＋.
例5 (导学号5892921)如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将△PAD以点A为中心沿逆时针方向旋转，使AP与AB重合，如此继续分别以点B，C，D 为中心将三角形进行旋转，使点P回到原来位置为止，则点P从开始到结束所经过路径的长为( C )
例5题图
A. a B. a C. a D. a
【解析】 如答图，点P所经过的路径是半径为a，圆心角分别为210°，210°和150°
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的三段圆弧．故总长度为×2＋＝a.
例5答图
针对训练10 (导学号5892921)将半径为2 cm的圆形纸板沿着挖空的部分方格纸板(小方格的边长为2 cm)的内侧滚动一周，回到开始位置后，圆心经过的路线的长度约为( B )
训练10题图
A. 36 cm B. 42.28 cm C. 40.28 cm D. 40 cm
【解析】 如答图，圆心经过的路线为8条线段以及2条圆弧．因为小方格的边长为2 cm，所以圆心经过的路线的长度为2×(5＋1＋1＋2＋4＋1＋2＋2)＋2×＝36＋2π≈42.28(cm)．
训练10答图
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