河北省2019年中考数学复习二次函数第19讲二次函数的应用（2）试题（含解析）.doc

第19讲　二次函数的应用(2)‎ ‎1. (2012，河北，导学号5892921)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间，每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm2)成正比例，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据.‎ 薄板的边长/cm ‎20‎ ‎30‎ 出厂价/(元/张)‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式；‎ ‎(2)已知出厂一张边长为‎40 cm的薄板，获得的利润是26元(利润＝出厂价－成本价)．‎ ‎①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数解析式；‎ ‎②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【思路分析】 (1)设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y＝kx＋n.利用待定系数法求一次函数的解析式即可．(2)①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元．由题意，得p＝y－mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可．②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．‎ 解：(1)设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y＝kx＋n.‎ 由表格中的数据，得 解得 所以一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式为y＝2x＋10.‎ ‎(2)①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元．‎ 由题意，得p＝y－mx2＝2x＋10－mx2.‎ 将x＝40，p＝26代入p＝2x＋10－mx2，得26＝2×40＋10－m·402.‎ 解得m＝.‎ 所以一张薄板的利润与边长之间满足的函数解析式为p＝－x2＋2x＋10.‎ ‎②因为a＝－＜0，‎ 所以当x＝－＝－＝25(在5～50之间)时，‎ p最大＝＝＝35.‎ 所以出厂一张边长为25 cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．‎ 10‎ ‎　利润问题 例1 (2018，扬州节选，导学号5892921)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示．‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式；‎ ‎(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？‎ 例1题图 ‎【思路分析】 (1)直接利用待定系数法确定y与x之间的函数关系式．(2)先由题意得出x的取值范围，再根据总利润＝销售量×单件的利润，将(1)中的函数关系式代入，得到总利润与销售单价之间的函数关系式，最后根据其性质求出最大值．‎ 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.‎ 由题意，得 解得 故y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋700.‎ ‎(2)由题意，得－10x＋700≥240.‎ 解得x≤46.‎ 设每天获取的利润为w元，‎ 则w＝(x－30)·y ‎＝(x－30)(－10x＋700)‎ ‎＝－10x2＋1 000x－21 000‎ ‎＝－10(x－50)2＋4 000.‎ ‎∵－10＜0，‎ ‎∴当x＜50时，w随x的增大而增大．‎ ‎∴当x＝46时，w最大，w最大＝－10×(46－50)2＋4 000＝3 840.‎ 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3 840元．‎ 针对训练1 (2018，深圳模拟)某商场试销一种成本为50元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于50%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数关系，试销数据如下表：‎ 销售单价/(元/件) ‎ ‎…‎ ‎55‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎…‎ ‎ 销售量/件 ‎…‎ ‎75‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎…‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式；‎ ‎(2)若该商场获得的利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的函数关系式．当销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？‎ ‎【思路分析】 (1)直接利用待定系数法确定y与x 10‎ 之间的函数关系式．(2)根据利润＝销售量×(销售单价－单件成本)，将(1)中的函数关系式代入，得到利润w与销售单价x之间的函数关系式，再根据x的取值范围和二次函数的性质求出最大值．‎ 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.‎ 由题意，得 解得 ‎∴y＝－x＋130.‎ ‎(2)w＝(x－50)(130－x)‎ ‎＝－x2＋180x－6 500‎ ‎＝－(x－90)2＋1 600.‎ 由题意，得x≤50×(1＋50%)，即x≤75.‎ ‎∴50≤x≤75.‎ ‎∵当x＜90时，w随x的增大而增大，‎ ‎∴当x＝75时，w取得最大值，为1 375.‎ 所以当销售单价定为75元时，商场可以获得最大利润，最大利润是1 375元．‎ ‎　二次函数与几何图形的综合 例2 (2018，保定模拟)如图，已知矩形ABCD的边AB＝2，BC＝3，P是AD边上的一动点(点P异于点A，D)，Q是BC边上的任意一点，连接AQ，DQ，过点P作PE∥DQ交AQ于点E，作PF∥AQ交DQ于点F.‎ ‎(1)求证：△APE∽△PDF；‎ ‎(2)设AP＝x，求四边形EQDP的面积S(用含x的代数式表示出来)；当四边形EQDP的面积等于2时，说明PE与DQ的数量关系．‎ 例2题图 ‎【思路分析】 (1)根据PE∥DQ，PF∥AQ得出同位角相等即可证得两三角形相似．(2)由PE∥DQ，得到△APE∽△ADQ.根据相似三角形的性质得到＝＝.求出S△ADQ＝‎ S矩形ABCD＝3，于是得到S＝S△ADQ－S△APE＝－x2＋3.根据四边形EQDP的面积等于2，列方程即可得到结论．‎ ‎ (1)证明：∵PE∥DQ，‎ ‎∴∠APE＝∠PDF.‎ ‎∵PF∥AQ，‎ ‎∴∠DPF＝∠PAE.‎ ‎∴△APE∽△PDF.‎ ‎(2)解：∵PE∥DQ，‎ ‎∴△APE∽△ADQ.‎ ‎∴＝＝，＝.‎ 10‎ ‎∵S△ADQ＝S矩形ABCD＝3，‎ ‎∴S△APE＝x2.‎ ‎∴S＝S△ADQ－S△APE＝－x2＋3.‎ 当四边形EQDP的面积等于2时，2＝－x2＋3.‎ 解得x＝.‎ ‎∴AP＝＝AD.‎ ‎∴PE＝DQ.‎ 针对训练2(2018，揭阳一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AD为BC边上的高，动点P在AD上，从点A出发，沿A→D方向运动．设AP＝x，△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，y＝S1＋S2，则y与x之间的关系式是 y＝－x2＋3x .‎ 训练2题图 ‎【解析】 ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AD为BC边上的高，AP＝x，∴∠BAD＝∠CAD＝45°.∴BD＝AD＝2.∴PE＝AP＝x，PD＝AD－AP＝2－x.∴y＝S1＋S2＝＋(2－x)·x＝－x2＋3x.‎ 一、 选择题 ‎1. (2018，马鞍山二模)某农产品市场经销一种成本为每千克40元的农产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出‎500 kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少‎10 kg.设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x之间的函数关系式为(C)‎ A. y＝(x－40)(500－10x) B. y＝(x－40)(10x－500)‎ C. y＝(x－40)[500－10(x－50)]　 D. y＝(x－40)[500－10(50－x)]‎ ‎【解析】 因为销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，所以y与x之间的函数关系式为y＝(x－40)[500－10(x－50)]．‎ ‎2. (2018，芜湖繁昌县一模)某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y＝－4x＋440，要使销售该商品获得的月利润最大，该商品的售价应定为(C)‎ A. 60元/件 B. 70元/件 C. 80元/件 D. 90元/件 ‎【解析】 设销售该商品每月所获总利润为w元，则w＝(x－50)(－4x＋440)＝－4x2＋640x－22 000＝－4(x－80)2＋3 600.∴当x＝80时，w取得最大值，最大值为3 600.所以当售价为80元/件时，销售该商品所获月利润最大．‎ ‎3. 如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点(与点B，C不重合)，连接 10‎ AP，作PE⊥AP交外角∠DCF的平分线于点E.设BP＝x，△PCE的面积为y，则y与x之间的函数关系式是(C)‎ 第3题图 A. y＝2x＋1 B. y＝x－2x2‎ C. y＝2x－x2 D. y＝2x ‎【解析】 如答图，过点E作EH⊥BC于点H.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCH＝‎ ‎90°.∵CE平分∠DCH，∴∠ECH＝∠DCH＝45°.∵∠CHE＝90°，∴∠CEH＝∠ECH＝45°.∴EH＝CH.∵四边形ABCD是正方形，AP⊥EP，∴∠B＝∠CHE＝∠APE＝90°.‎ ‎∴∠BAP＋∠APB＝90°，∠APB＋∠EPH＝90°.∴∠BAP＝∠EPH.∴△BAP∽△HPE.∴＝.∴＝.∴EH＝x.∴y＝·CP·EH＝·(4－x)·x＝2x－x2.‎ 第3题答图 ‎4. (2018，淄博模拟)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝‎12 mm，BC＝‎24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以‎2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以‎4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么四边形APQC的面积最小时，经过(C)‎ 第4题图 A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s ‎【解析】 设点P，Q同时出发t s时，四边形APQC的面积为S mm2，则S＝S△ABC－S△PBQ＝×12×24－·4t·(12－2t)＝4t2－24t＋144＝4(t－3)2＋108.∵4＞0，∴当t＝3时，S取得最小值．‎ ‎5. (2018，天津武清区模拟)某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y＝－x2＋70x－800，要想获得日最大利润，则销售单价为(B)‎ A. 30元 B. 35元 ‎ C. 40元 D. 45元 ‎【解析】 ∵y＝－x2＋70x－800＝－(x－35)2＋425，∴当x＝35时，y取得最大值，最大值为425，即销售单价为35元时，日销售利润最大．‎ ‎6. (2018，广州南沙区模拟)如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝‎8 cm，AC＝‎6 cm.‎ 10‎ 点P从点A出发，沿AB方向以‎2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以‎1 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的面积最大是(C)‎ 第6题图 A. ‎10 cm2 B. ‎8 cm2‎ C. ‎16 cm2 D. ‎24 cm2‎ ‎【解析】 设运动时间为t s．根据题意，得AP＝2t，AQ＝t，∴S△APQ＝t2.易知0＜t≤4，∴△APQ的面积最大是16 cm2.‎ ‎7. 如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合)，不管点E，F怎样运动，始终保持AE⊥EF.设BE＝x，DF＝y，则y关于x的函数解析式是(C)‎ 第7题图 A. y＝x＋1 B. y＝x－1‎ C. y＝x2－x＋1 D. y＝x2－x－1‎ ‎【解析】 ∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°.∴∠BAE＝∠FEC.∴△ABE∽△ECF.∴AB∶EC＝BE∶CF.∴AB·CF＝EC·BE.∵AB＝1，BE＝x，EC＝1－x，CF＝1－y，∴1·(1－y)＝(1－x)·x.化简得y＝x2－x＋1.‎ 二、 填空题 ‎8. (导学号5892921)如图，在矩形ABCD中，AD＝16，AB＝12，E，F分别是边BC，DC上的点，且EC＋CF＝8.设BE的长为x，△AEF的面积为y，则y关于x的函数解析式是( y＝x2－10x＋96 ).‎ 第8题图 ‎【解析】 ∵BE＝x，∴CE＝16－x.∵CE＋CF＝8，∴CF＝x－8.∴DF＝20－x.∴y＝S矩形ABCD－S△ABE－S△CEF－S△ADF＝x2－10x＋96.‎ ‎9. (2018，天津和平区一模)某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人的费用是800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加1人，每人的费用就降低10元．当一个旅行团有 55 人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．‎ ‎【解析】 设一个旅行团有x人，营业额为y元．根据题意，得y＝x[800－10(x－30)]＝－10x2＋1 100x＝－10(x－55)2＋30 250.故当一个旅行团有55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．‎ 三、 解答题 ‎10. (2018，盘锦节选)鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，‎ 10‎ 为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本为30元．设该款童装每件售价为x元，每星期的销售量为y件．‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式；(不求自变量的取值范围)‎ ‎(2)当每件童装售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？‎ ‎(3)当每件童装售价定为多少元时，该店销售该款童装一星期可获得3 910元的利润？‎ ‎【思路分析】 (1)每星期的销售量等于100件加上因降价而多销售的销售量，由此得到函数关系式．(2)设每星期的销售利润为W元，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．(3)根据题意列方程即可解决问题．‎ 解：(1)y＝100＋10(60－x)＝－10x＋700.‎ ‎(2)设每星期的销售利润为W元．‎ 根据题意，得W＝(x－30)(－10x＋700)‎ ‎＝－10x2＋1 000x－21 000‎ ‎＝－10(x－50)2＋4 000.‎ ‎∴当x＝50时，W最大，W最大＝4 000.‎ 所以当每件童装售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4 000元．‎ ‎(3)由题意，得－10(x－50)2＋4 000＝3 910.‎ 解得x＝53或x＝47.‎ 所以当每件童装售价定为53元或47元时，该店销售该款童装一星期可获得3 910元的利润．‎ ‎11. (2018，承德一模，导学号5892921)某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资成本x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据：‎ 投资成本x/万元 ‎2‎ 种植树木的利润y1/万元 ‎4‎ 种植花卉的利润y2/万元 ‎2‎ ‎(1)分别求出利润y1与y2关于投资成本x的函数解析式；‎ ‎(2)如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和树木共获利润W万元，求出W关于m的函数解析式，并求他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少．‎ ‎【思路分析】 (1)根据题意设y1＝kx，y2＝px2，将表格中的数据分别代入求解可得．(2)由投入种植花卉金额m万元，则投入种植树木金额(8－m)万元，根据“总利润＝花卉利润＋树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．‎ 解：(1)设y1＝kx.‎ 由表格数据可知，函数y1＝kx的图象过(2，4)，‎ ‎∴4＝k·2.‎ 解得k＝2.‎ 故种植树木的利润y1关于投资成本x的函数解析式是y1＝2x(x≥0)．‎ 设y2＝px2.‎ 由表格数据可知，函数y2＝px2的图象过(2，2)．‎ ‎∴2＝p·22.‎ 解得p＝.‎ 故种植花卉的利润y2关于投资成本x的函数解析式是y2＝x2(x≥0)．‎ ‎(2)因为投入种植花卉金额m万元，则投入种植树木金额(8－m)万元．‎ 根据题意，得W＝2(8－m)＋m2‎ 10‎ ‎＝m2－2m＋16‎ ‎＝(m－2)2＋14.‎ ‎∵a＝＞0，0≤m≤8，‎ ‎∴当m＝2时，W取得最小值，为14.‎ ‎∵a＝＞0，‎ ‎∴当0≤m