专项训练(四) 二次函数
一、 选择题
1. (2018，石家庄裕华区二模)二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此拋物线的对称轴是(A)
A. x＝－1 B. x＝1
C. x＝2 D. x＝3
【解析】 ∵此抛物线上两点(3，4)和(－5，4)的纵坐标相等，∴此拋物线的对称轴为x＝＝－1.
2. 若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值为(C)
A. 1或－1 B. 1 C. －1 D. 0
【解析】 把(0，0)代入y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1，得a2－1＝0.解得a＝1或a＝－1.∵a－1≠0，∴a≠1.∴a＝－1.
3. (2018，成都)关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是(D)
A. 图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B. 图象的对称轴在y轴的右侧
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小
D. y的最小值为－3
【解析】 ∵y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3，∴当x＝0时，y＝－1；该函数图象的对称轴是x＝－1；当x＜－1时，y随x的增大而减小；当x＝－1时，y取得最小值，此时y＝－3.
4. (2018，哈尔滨道里区二模)将抛物线y＝2x2平移可得到抛物线y＝2(x＋3)2＋4，下列平移正确的是(A)
A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度
B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度
C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度
D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度
【解析】 抛物线y＝2x2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y＝2(x＋3)2＋4的顶点坐标为(－3，4)．∵点(0，0)需要先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点(－3，4)，∴抛物线y＝2x2先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线y＝2(x＋3)2＋4.
5. (2018，蚌埠固镇县模拟)将二次函数y＝x2＋x－1化为y＝a(x＋h)2＋k的形式是(C)
A. y＝(x＋2)2＋2 B. y＝(x－2)2－2
C. y＝(x＋2)2－2 D. y＝(x－2)2＋2
【解析】 y＝x2＋x－1＝(x＋2)2－2.
6. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足关系式h＝－t2＋24t＋1，则下列说法正确的是(D)
A. 点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B. 点火后24 s火箭落于地面
C. 点火后10 s的升空高度为139 m
D. 火箭升空的最大高度为145 m
【解析】 当t＝9时，h＝136；当t＝13时，h＝144，所以点火后9 s和点火后13 s
5
的升空高度不相同．故选项A错误．当t＝24时，h＝1≠0，所以点火后24 s火箭离地面的高度为1 m．故选项B错误．当t＝10时，h＝141.故选项C错误．由h＝－t2＋24t＋1＝－(t－12)2＋145，知火箭升空的最大高度为145 m．故选项D正确．
7. (2018，邵阳模拟)如图，一次函数y1＝mx＋n(m≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于两点A(－1，5)，B(9，3)，则使y1≥y2成立的x的取值范围是(A)
第7题图
A. －1≤x≤9 B. －1≤x＜9
C. －1＜x≤9 D. x≤－1或x≥9
【解析】 由两个函数的图象，知当y1≥y2时，－1≤x≤9.
8. (2018，瑞安模拟，导学号5892921)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H.设AG＝x，图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的关系式是(C)
第8题图
A. y＝3x2 B. y＝4x2
C. y＝8x2 D. y＝9x2
【解析】 设正方形的边长为2a，则BC＝2a.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝a，AE＝CF.∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．∴AF∥CE.∵EG⊥AF，FH⊥CE，∴四边形EHFG是矩形．∵∠AEG＋∠BEC＝∠BCE＋∠BEC＝90°，∴∠AEG＝∠BCE.∴tan∠AEG＝tan∠BCE.∴＝＝.∴EG＝2x.由勾股定理，得AE＝x.∴AB＝BC＝2x.∴CE＝5x.易证△AEG≌△CFH，∴AG＝CH.∴EH＝EC－CH＝4x.∴y＝EG·EH＝8x2.
9. (2018，吉林模拟)如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3.设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为(D)
第9题图
A B C D
【解析】 如答图，设直线x＝t与OA，OB分别交于点C，D.∵在Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，∴∠AOB＝∠A＝45°.∵CD⊥OB，∴CD∥AB.∴∠OCD＝∠A.∴∠COD＝∠OCD＝45
5
°.∴CD＝OD＝t.∴S△OCD＝·OD·CD＝t2(0≤t≤3)，即S＝t2(0≤t≤3)．故S与t之间的函数关系的图象应为开口向上的抛物线的一部分．
第9题答图
10. (2018，恩施州，导学号5892921)抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－1，部分图象如图所示．下列判断：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③9a－3b＋c＝0；④若点(－0.5，y1)，(－2，y2)均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a－2b＋c＜0.其中正确的个数是(B)
第10题图
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】 ∵抛物线的对称轴是x＝－1，经过点(1，0)，∴－＝－1，a＋b＋c＝0.∴b＝2a，c＝－3a.∵a＞0，∴b＞0，c＜0.∴abc＜0.故①错误．∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0.故②正确．由题意，易得抛物线与x轴的另一个交点为(－3，0)，∴9a－3b＋c＝0.故③正确．∵点(－0.5，y1)，(－2，y2)均在抛物线上，∴由对称性知x＝－1.5时，y＝y1.在对称轴左侧，y随x增大而变小．∵－1.5＞－2，∴y1＜y2.故④错误．∵5a－2b＋c＝5a－4a－3a＝－2a＜0，故⑤正确．
二、 填空题
11. (2018，上海长宁区一模)抛物线y＝x2－4x＋3的顶点坐标为 (2，－1) ．
【解析】 ∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴该抛物线的顶点坐标是(2，－1)．
12. (2018，邵阳北塔区模拟)如果一条抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－4x＋3相同，顶点坐标是(－2，1)，那么该抛物线的解析式为（ y＝(x＋2)2＋1 ）.
【解析】 设该抛物线的解析式是y＝a(x－h)2＋k.因为抛物线的形状、开口方向与y＝x2－4x＋3相同，所以a＝.因为顶点坐标是(－2，1)，所以该抛物线的解析式是y＝(x＋2)2＋1.
13. (2018，长春南关区一模)已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在抛物线y＝x2上，则y1，y2，y3的大小关系是( y2＜y3＜y1 ).(用“＜”连接)
【解析】 ∵点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在抛物线y＝x2上，∴y1＝×(－3)2＝6，y2＝×(－1)2＝，y3＝×22＝.∵＜＜6，∴y2＜y3＜y1.
14. (2018，宿迁沭阳县模拟)若抛物线的顶点坐标为(－2，3)，且经过点(－1，5)，则该抛物线的解析式为 y＝2(x＋2)2＋3 .
5
【解析】 由题意可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2＋3.由抛物线经过点(－1，5)，得5＝a·(－1＋2)2＋3.解得a＝2.所以抛物线的解析式为y＝2(x＋2)2＋3.
15. (2018，盐城盐都区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
－2
0
2
3
…
y
…
8
0
0
3
…
当x＝－1时，y＝ 3 .
【解析】 根据表格可知抛物线的对称轴为x＝1，∴当x＝－1时与当x＝3时的函数值相同．∴当x＝－1时，y＝3.
16. (2018，合肥长丰县一模，导学号5892921)已知关于x的二次函数y＝ax2－4ax＋a2＋2a－3在－1≤x≤3的范围内有最小值5，则a的值为 4或－8 .
【解析】 ∵y＝ax2－4ax＋a2＋2a－3＝a(x－2)2＋(a2－2a－3)，∴其图象的对称轴为x＝2.若a＞0，则最小值是a2－2a－3＝5.解得a＝4或a＝－2(舍去)．若a＜0，则当x＝－1时，y有最小值5.∴a＋4a＋a2＋2a－3＝5.整理，得a2＋7a－8＝0.解得a＝1(舍去)或a＝－8.所以a的值为4或－8.
三、 解答题
17. (2018，菏泽郓城县模拟)如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值．
第17题图
【思路分析】 (1)由图象可知点A和点B的坐标，代入解析式可得到关于a和c的二元一次方程组，解得a和c，可得出二次函数的解析式．(2)利用配方法化成顶点式即可得解．(3)把点的坐标代入可求得m的值．
解：(1)将A(－1，－1)，B(3，－9)的坐标分别代入，得
解得
∴该二次函数的解析式为y＝x2－4x－6.
(2)y＝x2－4x－6＝(x－2)2－10，
所以该抛物线的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，－10)．
(3)∵点P(m，m)在函数的图象上，
∴m2－4m－6＝m.
解得m＝6或m＝－1.
18. (2018，荆州，导学号5892921)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m，另外三边由36 m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x m，面积为y m2
5
(如图)．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若矩形空地的面积为160 m2，求x的值；
(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．丙种绿色植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.
甲
乙
丙
单价/(元/棵)
14
16
28
合理用地/(m2/棵)
0.4
1
0.4
第18题图
【思路分析】 (1)根据矩形的面积公式计算即可．(2)构建方程即可解决问题，注意检验方程的解是否符合题意．(3)利用二次函数的性质求出y的最大值．设购买了乙种绿色植物a棵，丙种绿色植物b棵．由题意，得14(400－a－b)＋16a＋28b＝8 600.可得a＋7b＝1 500，求出b的最大值为214，此时a＝2，再求出实际种植面积即可判断．
解：(1)y＝x(36－2x)＝－2x2＋36x.
自变量x的取值范围是9≤x＜18.
(2)由题意，得－2x2＋36x＝160.
解得x＝10或x＝8(舍去)．
∴x的值为10.
(3)∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162，
∴当x＝9时，y有最大值，为162.
设购买了乙种绿色植物a棵，丙种绿色植物b棵．
由题意，得14(400－a－b)＋16a＋28b＝8 600.
∴a＋7b＝1 500.
∴a＝1 500－7b.
令1 500－7b≥0，解得b≤214.
∴b的最大值为214，此时a＝2，需要种植的面积为0.4×(400－2－214)＋1×2＋0.4×214＝161.2＜162.
所以丙种绿色植物最多可以购买214棵，此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上．
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