河北省2019年中考数学复习三角形第24讲直角三角形与锐角三角函数试题（含解析）.doc

第24讲　直角三角形与锐角三角函数 ‎1. (2012，河北)如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°，则∠A＝52°.‎ 第1题图 ‎【解析】 ∵∠BOD＝38°，∴∠AOC＝38°.∵AC⊥CD于点C，∴∠A＝90°－∠AOC＝90°－38°＝52°.‎ ‎2. (2014，河北)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n不等于(A)‎ 第2题图 A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 5‎ ‎【解析】 如答图．将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n可以为3，4，5，故n≠2.‎ 第2题答图 ‎3. (2018，邯郸一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则Rt△ABC的中线CD的长为(A)‎ 第3题图 A. 5 B. ‎6 C. 8 D. 10‎ ‎【解析】 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10.∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝AB＝5.‎ ‎4. (2018，唐山路南区三模)如图，在正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是(C)‎ 第4题图 A. 16 B. ‎18 C. 19 D. 21‎ 11‎ ‎【解析】 ∵AE⊥BE，且AE＝3，BE＝4，∴在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2＝25.∴S阴影＝S正方形ABCD－S△ABE＝AB2－AE·BE＝25－×3×4＝19.‎ ‎.‎ ‎　直角三角形中的边角关系 例1 (2018，扬州高邮模拟)具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(D)‎ A. ∠A＋∠B＝∠C B. ∠A－∠B＝∠C C. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3　 D. ∠A＝∠B＝3∠C ‎【解析】 选项A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∴∠C＝90°.∴△ABC是直角三角形．同理可证，B，C两选项中的△ABC均是直角三角形．选项D中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故此选项中的△ABC不是直角三角形.‎ 针对训练1 (导学号5892921)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连接ME，MD，ED.设AB＝4，∠DBE＝30°，则△DEM的面积为 .‎ 训练1题图 ‎【解析】 ∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形．∴EM，DM分别是它们斜边上的中线．∴EM＝DM＝AB.∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA.‎ ‎∴∠BME＝2∠MAE.同理MD＝AB＝MA.∴∠MAD＝∠MDA.∴∠BMD＝2∠MAD.∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC＝2∠DBE＝60°.所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝.‎ 针对训练2 (2018，宜城模拟)在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC的长为10或6.‎ ‎【解析】 本题分两种情况．(1)如答图①，AB＝10，AC＝2，AD＝6.在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.(2)如答图②，AB＝10，AC＝2，AD＝6.在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD－CD＝8－2＝6.综上所述，BC的长为10或6.‎ 训练2答图 11‎ ‎　锐角三角函数的定义 例2 (2018，哈尔滨道里区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为(C)‎ 例2题图 A. 3sin 35° B. C. 3cos 35° D. 3tan 35°‎ ‎【解析】 ∵cos 35°＝＝，∴BC＝3cos 35°.‎ 针对训练3 (2018，唐山古冶区二模)如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O的半径为1，圆心O在格点上，则tan∠AED等于(C)‎ 训练3题图 A. 1 B. C. D. ‎【解析】 ∵AC＝1，AB＝2，∴tan∠ABC＝＝.由圆周角定理，得∠AED＝∠ABC.‎ ‎∴tan∠AED＝.‎ 针对训练4 如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则 sin∠CAB等于(B)‎ 训练4题图 A. B. C. D. ‎【解析】 如答图，作CD⊥AB于点D.由题意，得AB＝AC＝，BC＝.由三角形的面积，得AB·CD＝.∴CD＝.∴sin∠CAB＝＝＝.‎ 训练4答图 11‎ ‎　特殊角的三角函数值 例3 (2018，嘉兴一模)把一把直尺与一块三角板如图所示放置．若sin∠1＝，则∠2的度数为(B)‎ ‎　 例3题图 A. 120° B. 135° C. 145° D. 150°‎ ‎【解析】 如答图．∵sin∠1＝，∴∠1＝45°.∵在Rt△EFG中，∠3＝90°－∠1＝90°－45°＝45°，∴∠4＝180°－∠3＝135°.∵AB∥CD，∴∠2＝∠4＝135°.‎ 例3答图 针对训练5 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tan A＝1，sin B＝，你认为△ABC最确切的判断是(B)‎ A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 ‎ C. 直角三角形 D. 锐角三角形 ‎【解析】 由题意，得∠A＝45°，∠B＝45°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.‎ 针对训练6 如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则tan A的值为(A)‎ ‎ 训练6题图 A. B. C. D. ‎【解析】 ∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－2(∠OBC＋∠OCB)＝180°－2×(180°－∠BOC)＝180°－2×(180°－120°)＝60°.∴tan A＝tan 60°＝.‎ ‎　‎ 一、 选择题 ‎1. (2018，天津)cos 30°的值为(B)‎ A. B. C. 1 D. ‎【解析】 根据特殊角的三角函数值直接解答即可．‎ ‎2. (2018，深圳龙岗区模拟)如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么其中的一个锐角的度数是(B)‎ A. 9° B. 18° C. 27° D. 36°‎ 11‎ ‎【解析】 设较小的锐角是x°，则另一个锐角是4x°.则x＋4x＝90.解得x＝18.∴4x＝72.所以两个锐角分别是18°和72°.‎ ‎3. (2018，孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sin A的值为(A)‎ 第3题图 A. B. C. D. ‎【解析】 在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6.∴sin A＝＝＝.‎ ‎4. (2018，贵阳)如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则 tan∠BAC的值为(B)‎ 第4题图 A. B. ‎1 C. D. ‎【解析】 如答图，连接BC.由网格，得AB＝BC＝，AC＝，即AB2＋BC2＝AC2.‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°.∴tan∠BAC＝1. ‎ 第4题答图 ‎5. (2018，淄博，导学号5892921)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为(B)‎ 第5题图 A. 4 B. ‎6 C. 4 D. 8‎ ‎【解析】 ∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB，MN∥BC，且MN平分∠AMC，∴∠B＝∠AMN＝∠NMC，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC.∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC.∴∠B＝30°.∵AN＝1，∴MN＝2.∴AC＝AN＋NC＝3.∴BC＝6.‎ ‎6. (2018，扬州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(C)‎ 11‎ 第6题图 A. BC＝EC B. EC＝BE C. BC＝BE D. AE＝EC ‎【解析】 ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°.∴∠BCD＝∠A.∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.∵∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE.∴BC＝BE.‎ ‎7. (2018，贺州)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为(D)‎ 第7题图 A. 3 B. ‎3 ‎ C. 6 D. 6 ‎【解析】 ∵AD＝ED＝3，AD⊥BC，∴△ADE为等腰直角三角形．根据勾股定理，得AE＝＝3.∵在Rt△ABC中，E为BC的中点，∴AE＝BC.∴BC＝2AE＝6.‎ ‎8. (2018，大同模拟，导学号5892921)一直角三角形的两边长分别为6和8，则该三角形中较小锐角的正弦值为(C)‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【解析】 本题分两种情况．①当斜边长是8时，直角三角形的另一直角边长是＝2.∴较小锐角的正弦值为.②当两直角边长分别是6和8时，由勾股定理，得斜边长为10.‎ ‎∴较小锐角的正弦值为.所以该三角形中较小锐角的正弦值为或.‎ 二、 填空题 ‎9. (2018，德州)如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是( ).‎ 第9题图 ‎【解析】 ∵AB2＝32＋42＝25，AC2＝22＋42＝20，BC2＝12＋22＝5，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.∴sin∠BAC＝＝.‎ ‎10. ‎ 11‎ ‎(2018，湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．如果设AC＝x，那么可列方程为x2＋32＝(10－x)2 .‎ 第10题图 ‎【解析】 ∵AC＋AB＝10，∴AB＝10－x.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2，即x2＋32＝(10－x)2.‎ ‎11. (2018，石家庄裕华区模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为 6 .‎ 第11题图 ‎【解析】 由作图过程及痕迹，得CF⊥AB.∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∠CBD＝60°.∴在Rt△BCF中，∠BCF＝30°.∴BF＝BC＝2.∴AF＝AB－BF＝8－2＝6.‎ 三、 解答题 ‎12. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝‎520 m，∠D＝30°，那么另一边的开挖点E离D多远时，正好使A，C，E三点在同一直线上？(取1.732，结果取整数)‎ 第12题图 ‎【思路分析】 根据三角形内角与外角的关系可求出∠AED的度数，再根据勾股定理即可求出DE的长．‎ 解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，‎ ‎∴∠AED＝120°－30°＝90°.‎ 在Rt△BDE中，BD＝520 m，∠D＝30°，‎ ‎∴BE＝260 m.‎ ‎∴DE＝＝260≈450(m)．‎ 答：另一边的开挖点E离D约450 m时，正好使A，C，E三点在同一直线上．‎ ‎13. (2018，北京顺义区二模)如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AD⊥DB，E为AB 11‎ 的中点，BC∥DE.‎ ‎(1)求证：BD平分∠ABC；‎ ‎(2)连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．‎ 第13题图 ‎【思路分析】 (1)直接利用直角三角形的性质得出DE＝BE＝AB，再利用BC∥DE得出∠BDE＝∠DBC，进而得出答案．(2)利用已知得出在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，又由DC＝得出DB的长，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出EC的长．‎ ‎(1)证明：如答图．∵AD⊥DB，E为AB的中点，‎ ‎∴DE＝BE＝AB.‎ ‎∴∠1＝∠2.‎ ‎∵BC∥DE，‎ ‎∴∠2＝∠3.‎ ‎∴∠1＝∠3，即BD平分∠ABC.‎ ‎(2)解：如答图．‎ ‎∵AD⊥DB，∠A＝30°，‎ ‎∴∠1＝60°.‎ ‎∴∠3＝∠2＝60°.‎ ‎∵∠BCD＝90°，‎ ‎∴∠4＝30°.‎ ‎∴∠CDE＝∠2＋∠4＝90°.‎ ‎∵在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝，‎ ‎∴DB＝2.‎ ‎∵DE＝BE，∠1＝60°，‎ ‎∴DE＝DB＝2.‎ ‎∴EC＝＝＝.‎ 第13题答图 ‎14. (2018，保定二模)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形按图①或图②所示的方式摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：‎ 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.‎ 证明：连接DB，过点D作△BCD的BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a.‎ ‎∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，且S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，‎ ‎∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)．‎ ‎∴a2＋b2＝c2.‎ 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．‎ 11‎ 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.‎ 第14题图 ‎【思路分析】 先连接BD，过点B作△BDE的DE边上的高BF，则BF＝b－a，用两种不同的方式表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．‎ 证明：如答图，连接BD，过点B作△BDE的DE边上的高BF，则BF＝b－a.‎ ‎∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，‎ 且S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，‎ ‎∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)．‎ ‎∴a2＋b2＝c2.‎ 第14题答图 ‎　‎ ‎1. (2018，温州，导学号5892921)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为(B)‎ 第1题图 A. 20 B. 24 ‎ C. D. ‎【解析】 如答图．设小正方形的边长为x.∵a＝3，b＝4，∴AB＝3＋4＝7.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(3＋x)2＋(x＋4)2＝72.整理，得x2＋7x－12＝0，即x2＋7x＝12.∴该矩形的面积为(x＋3)(x＋4)＝x2＋7x＋12＝24.‎ 11‎ 第1题答图 ‎2. (2018，天津，导学号5892921)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为().‎ 第2题图 ‎【解析】 如答图，连接DE.∵在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，BD＝BE＝EC＝2.∴DE＝2，且DE∥AC.∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°.∴FC＝EC＝1.∴EF＝＝.‎ ‎∵G为EF的中点，∴EG＝.∴DG＝＝.‎ 第2题答图 ‎3. (2018，贵阳)如图，在▱ABCD中，AE是BC边上的高，F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．‎ ‎(1)求证：△AEF是等边三角形；‎ ‎(2)若AB＝2，求△AFD的面积．‎ 第3题图 ‎【思路分析】 (1)先根据AE是BC边上的高及AD∥BC证△ADE为直角三角形．由F是DE的中点知AF＝EF，再结合AE与AF关于AG对称知AE＝AF，即可得证．(2)记AG，EF的交点为H.由△AEF是等边三角形且AB与AG关于AE对称、AE与AF关于AG对称知∠BAE＝∠GAE＝30°，据此由AB＝2知AE＝AF＝DF＝，AH＝，从而得出答案．‎ ‎(1)证明：∵AE是BC边上的高，‎ ‎∴AE⊥BC.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC.‎ ‎∴AE⊥AD，即∠DAE＝90°.‎ 11‎ ‎∵F是DE的中点，‎ ‎∴AF＝EF＝DF.‎ ‎∵AE与AF关于AG对称，‎ ‎∴AE＝AF.‎ ‎∴EF＝AE＝AF.‎ ‎∴△AEF是等边三角形．‎ ‎(2)解：如答图，记AG，EF的交点为H.‎ ‎∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，‎ ‎∴∠EAG＝30°，AG⊥EF.‎ ‎∵AB与AG关于AE对称，‎ ‎∴∠BAE＝∠GAE＝30°，∠AEB＝90°.‎ ‎∵AB＝2，‎ ‎∴BE＝1，DF＝AF＝AE＝.‎ ‎∴EH＝AE＝，AH＝.‎ ‎∴S△AFD＝DF·AH＝××＝.‎ 第3题答图 11‎