第39讲 概 率
1. (2012，河北)掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( B )
A. 每2次必有1次正面向上
B. 可能有5次正面向上
C. 必有5次正面向上
D. 不可能有10次正面向上
【解析】 由随机事件及概率的意义，知掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上．
2. (2014，河北)某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是( D )
第2题图
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
【解析】 A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故此选项错误．B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是＝，故此选项错误．C. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故此选项错误．D. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为≈0.17，故此选项正确．
3. (2016，河北)如图①，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4.
如图②，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则是：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．
如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B……
设游戏者从圈A起跳．
(1)嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；
(2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈 A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性是否一样．
11
第3题图
【思路分析】 (1)本小题属于一步概率题，共有4种等可能的结果，只有结果为4时，才能回到圈A.(2)本小题属于两步放回概率题．通过列表得出答案．
解：(1)∵掷一次骰子有4种等可能的结果，只有掷得4时，才会落回到圈A，
∴P1＝.
(2)列表如下：
第1次
第2次
1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
从表中可以看出，所有等可能的结果共有16种，当两次掷得的数字和为4的倍数，即(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，4)时，才会落回到圈A，即共包含4种结果，
∴P2＝＝.
∴P2＝P1.
∴淇淇与嘉嘉随机掷骰子落回到圈A的可能性一样．
4. (2017，河北)编号为1～5号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中记0分．如图所示的是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图，之后来了6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40%.
第4题图
(1)求6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；
(2)在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于50%的学生的概率；
(3)最后，又来了7号学生，也按同样记分规定投了5次．这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数以及7号学生的积分．
【思路分析】 (1)由6号学生命中的次数为5×40%＝2可得答案，并补全条形图．(2)由这6名学生中，命中次数大于5×50%＝2.5的有2，3，4，5号这4名学生，根据概率公式可得．(3)根据众数的定义得出前6名学生积分的众数，进而求出7号学生的积分．
解：(1)6号学生命中的次数为5×40%＝2，
则6号学生的积分为2分．
补全的条形统计图如答图．
(2)这6名学生中，命中次数大于5×50%＝2.5的有2，3，4，5号这4名学生，
11
∴选上命中率高于50%的学生的概率为＝.
(3)∵前6名学生积分的众数为3，
∴7名学生积分的众数为3，7号学生的积分为3分或0分．
第4题答图
确定性事件与随机事件
例1 (2018，长沙)下列说法正确的是( C )
A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D. “a是实数，|a|≥0”是不可能事件
【解析】 A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故选项A错误．B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”，只是刻画明天降雨的可能性大小，不表示明天有40%的时间都在降雨，故选项B错误．C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，故选项C正确．D. “a是实数，|a|≥0”是必然事件，故选项D错误.
针对训练1 (2018，襄阳)下列语句所描述的事件是随机事件的是( D )
A. 任意画一个四边形，其内角和为180°
B. 经过任意两点画一条直线
C. 任意画一个菱形，是中心对称图形
D. 过平面内任意三点画一个圆
【解析】 A. 任意画一个四边形，其内角和为180°是不可能事件．B. 经过任意两点画一条直线是必然事件．C. 任意画一个菱形，是中心对称图形是必然事件．D. 过平面内任意三点画一个圆是随机事件.
概率的计算
例2 (2011，河北)如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有－1，1，2中的一个数，指针位置固定．转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数(若指针恰好指在等分线上，当作指向右边的扇形)．
(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；
(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”．用列表法(或画树状图法)求两人“不谋而合”的概率．
例2题图
11
【思路分析】 (1)由转盘被等分成三个扇形，上面分别标有－1，1，2，利用概率公式即可求得小静转动转盘一次，得到负数的概率．(2)依据题意先列表或画树状图列举出所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．
解：(1)∵转盘被等分成三个扇形，上面分别标有－1，1，2，
∴小静转动转盘一次，得到负数的概率为.
(2)列表如下：
小静
小宇
－1
1
2
－1
(－1，－1)
(－1，1)
(－1，2)
1
(1，－1)
(1，1)
(1，2)
2
(2，－1)
(2，1)
(2，2)
从表中可以看出，一共有9种等可能的结果，其中两人得到的数相同的结果有3种，所以两人“不谋而合”的概率为＝.
针对训练2 (2018，山西)在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是( A )
A. B. C. D.
【解析】 画树状图如答图．
训练2答图
从树状图中可以看出，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到黄球的结果有4种，所以两次都摸到黄球的概率为.
用频率估计概率
例3 (2018，呼和浩特)某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( D )
例3题图
A. 袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
【解析】 A. 袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意．B.
11
掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意．C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意．D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意.
针对训练3 (2018，永州)在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外没有其他区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是 100 .
【解析】 由题意，可得≈0.03.解得n≈100.所以可推算出n的值大约是100.
统计与概率综合
例4 (2018，菏泽)为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动．学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图所示的折线统计图表示：
例4题图
(1)依据折线统计图，得到下面的表格：
射击次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲的成绩/环
8
9
7
9
8
6
7
a
10
8
乙的成绩/环
6
7
9
7
9
10
8
7
b
10
其中a＝ 8 ，b＝ 7 ；
(2)甲的成绩的众数是 8 ，乙的成绩的中位数是 7.5 ；
(3)请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定；
(4)该校射击队要参加市里组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表法或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率．
【思路分析】 (1)根据折线统计图即可得．(2)根据众数和中位数的定义可得．(3)求出甲、乙两人成绩的方差，方差小的成绩稳定．(4)列表得出所有等可能的结果，从中找到1男1女的结果数，利用概率公式计算可得．
解：(1)8 7
(2)8 7.5
(3)甲成绩的平均数为(6＋7×2＋8×4＋9×2＋10)÷10＝8.
甲成绩的方差为×[(6－8)2＋2×(7－8)2＋4×(8－8)2＋2×(9－8)2＋(10－8)2]＝1.2.
乙成绩的平均数为(6＋7×4＋8＋9×2＋10×2)÷10＝8.
乙成绩的方差为×[(6－8)2＋4×(7－8)2＋(8－8)2＋2×(9－8)2＋2×(10－8)2]＝1.8.
因为1.2＜1.8，所以甲成绩更稳定．
11
(4)用A，B表示男生，a，b表示女生．列表如下：
A
B
a
b
A
AB
Aa
Ab
B
BA
Ba
Bb
a
aA
aB
ab
b
bA
bB
ba
从表中可以看出，一共有12种等可能的结果，其中1男1女的结果有8种，
∴P(恰好选到1男1女)＝＝.
针对训练4 (2018，唐山古冶区模拟)2017年4月15日至5月15日，某市约8万名初三毕业生参加了中考体育测试，为了了解今年初三毕业生的体育成绩，从某校随机抽取了60名学生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格(分别用A，B，C，D表示)四个等级进行统计，并绘制成下面的统计表和扇形图(如图)：
等级
成绩/分
频数
频率
A
27～30
24
0.4
B
23～26
m
x
C
19～22
n
y
D
18及18以下
3
0.05
合计
60
1.00
训练4题图
请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
(1)m＝ 21 ，n＝ 12 ，x＝ 0.35 ，y＝ 0.2 ；
(2)在扇形图中，B等级所在扇形对应的圆心角的度数是 126° ；
(3)请你估计该市这8万名初三毕业生成绩等级达到优秀和良好的一共大约有多少万人；
(4)初三(1)班的甲、乙、丙、丁四人的成绩均为A，现决定从这四名同学中选两名参加学校组织的体育活动，直接写出恰好选中甲、乙两名同学的概率．
【思路分析】 (1)易知x＝35%＝0.35，用总人数60乘35%可得m的值，用总人数60减去已知人数可得n的值，进而可得y的值．(2)用360°乘相应频率即为B等级所在扇形对应的圆心角的度数．(3)该市初三毕业生总人数8万乘A，B两个等级的频率的和即为所求的人数．(4)用列举法求概率即可．
解：(1)21 12 0.35 0.2 (2)126° (3)8×(0.4＋0.35)＝6(万人)．答：该市这8万名初三毕业生成绩等级达到优秀和良好的一共大约有6万人． (4)P(恰好选中甲、乙两名同学)＝.
一、 选择题
1. (2018，烟台)下列说法正确的是( A )
A. 367人中至少有2人生日相同
B. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是
11
C. 天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨
D. 某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖
【解析】 A. 367人中至少有2人生日相同，故选项A正确．B. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，故选项B错误．C. 天气预报说明天的降水概率为90%，只是刻画明天降雨的可能性大小，不表示明天一定会下雨，故选项C错误．D. 某种彩票中奖的概率是1%，只是刻画中奖的可能性大小，不表示买100张彩票一定有1张中奖，故选项D错误．
2. (2018，玉林)某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率的折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是( D )
第2题图
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
【解析】 A. 抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为，不符合这一结果，故此选项错误．B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为，不符合这一结果，故此选项错误．C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合这一结果，故此选项错误．D. 从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，符合这一结果，故此选项正确．
3. (2018，广州)甲袋中装有两个相同的小球，分别写有数字1和2，乙袋中装有两个相同的小球，分别写有数字1和2.从两个口袋中各随机取出一个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是( C )
A. B.
C. D.
【解析】 画树状图如答图所示．
第3题答图
从树状图中可以看出，一共有4种等可能的结果，其中取出的两个小球上都写有数字2的结果有1种，故取出的两个小球上都写有数字2的概率是.
4. (2018，威海)一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数，分别是－2，－1，0，1.卡片除数不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数之积为负数的概率是( B )
11
A. B. C. D.
【解析】 画树状图如答图．
第4题答图
从树状图中可以看出，一共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上数之积为负数的结果有4种，所以抽取的两张卡片上数之积为负数的概率为＝.
二、 填空题
5. (2018，扬州)有4根细木棒，长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是（ ）.
【解析】 从4根细木棒中任取3根，有2，3，4；3，4，5；2，3，5；2，4，5，共4种等可能的取法，其中能搭成一个三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5，共3种取法，故所求概率为.
6. (2018，滨州)若从－1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象限的概率是（ ）.
【解析】 列表如下：
－1
1
2
－1
(1，－1)
(2，－1)
1
(－1，1)
(2，1)
2
(－1，2)
(1，2)
从表中可以看出，一共有6种等可能的结果，其中点M在第二象限的结果有2种，所以点M在第二象限的概率是＝.
三、 解答题
7. (2018，苏州)如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3.
(1)小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为（ ）；
(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率．(用画树状图或列表等方法求解)
第7题图
【思路分析】 (1)由标有数字1，2，3的转盘中，奇数有1，3共2个，利用概率公式计算可得．(2)根据题意列表得出所有等可能的结果数，得出其中这两个数字之和是3的倍数的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
11
解：(1)
(2)列表如下：
1
2
3
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
从表中可以看出，一共有9种等可能的结果，其中这两个数字之和是3的倍数的结果有3种，
所以P(这两个数字之和是3的倍数)＝＝.
8. (2018，南充)“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛，成绩如下表：
成绩/分
7
8
9
10
人数
2
5
4
4
(1)这组数据的众数是 8 ，中位数是 9 ；
(2)已知获得10分的选手中，七、八、九年级分别有1人、2人、1人，学校准备从中随机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率．
【思路分析】 (1)根据众数和中位数的定义求解可得．(2)利用画树状图法列举出所有等可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
解：(1)8 9
(2)画树状图如答图．
第8题答图
从树状图中可以看出，一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到八年级两名领操员的结果有2种，
所以P(恰好抽到八年级两名领操员)＝＝.
1. (2018，淄博，导学号5892921)“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：
时间/h
6
7
8
9
10
人数
5
8
12
15
10
(1)写出这50名学生读书时间的平均数、众数、中位数；
(2)根据上述表格补全如图所示的条形统计图；
(3)学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于9 h的概率是多少？
11
第1题图
【思路分析】 (1)根据平均数、众数、中位数的定义求解即可．(2)根据题意直接补全图形即可．(3)从表格中得知在50名学生中，读书时间不少于9 h的有25人，利用概率公式可得出结论．
解：(1)观察表格，可知这50名学生读书时间的平均数为(6×5＋7×8＋8×12＋9×15＋10×10)÷50＝8.34.
∵这50名学生读书时间中，9出现了15次，出现的次数最多，
∴这50名学生读书时间的众数是9.
∵将这50名学生读书时间按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，
∴这50名学生读书时间的中位数为×(8＋9)＝8.5.
(2)补全的条形统计图如答图所示．
第1题答图
(3)∵读书时间是9 h的有15人，读书时间是10 h的有10人，
∴读书时间不少于9 h的有15＋10＝25(人)．
∴P(被抽到学生的读书时间不少于9 h)＝＝.
2. (导学号5892921)某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】
从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩(百分制)如下：
甲班：65 75 75 80 60 50 75 90 85 65
乙班：90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
【整理描述数据】
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩/分
人数
班级
50≤x
＜60
60≤x
＜70
70≤x
＜80
80≤x
＜90
90≤x
≤100
甲班
1
3
3
2
1
乙班
2
1
m
2
n
在表中：m＝ 3 ，n＝ 2 .
【分析数据】
(1)两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
班级
平均数
中位数
众数
甲班
72
x
75
乙班
73
70
y
在表中：x＝ 75 ，y＝ 70 ；
11
(2)若规定测试成绩在80分(含80分)以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有 20 人；
(3)现从甲班指定的2名学生(1男1女)，乙班指定的3名学生(2男1女)中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用画树状图法或列表法求被抽到的2名学生是1男1女的概率．
【思路分析】 【整理描述数据】将收集的数据用画正字法整理即可得．【分析数据】(1)根据众数和中位数的定义求解可得．(2)用总人数乘乙班样本中优秀人数所占百分比可得．(3)列表得出所有等可能的结果，利用概率公式求解可得．
解：【整理描述数据】3 2
【分析数据】(1)75 70
(2)20
(3)列表如下：
男
女
男1
男、男1
女、男1
男2
男、男2
女、男2
女
男、女
女、女
从表中可以看出，一共有6种等可能的结果，其中抽到的2名学生是1男1女的结果有3种，
所以P(被抽到的2名学生是1男1女)＝＝.
11
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