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2018届高三数学一模试卷(理科有解析河南安阳市)

时间:2018-02-09 15:21:17作者:佚名试题来源:网络
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2018届高三毕业班第一次模拟考试
数学(理科)
一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 , ,则 (  )
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】由题意 ,∴ ,故选D.
2. 已知复数 ,则 在复平面内所对应的点位于(  )
A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限
【答案】B
【解析】 ,对应点 ,在第二象限,故选B.
3. 已知函数 满足:①对任意 且 ,都有 ;②对定义域内任意 ,都有 ,则符合上述条件的函数是(  )
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】①说明 在 上是增函数,②说明 是偶函数,B中函数是奇函数,C是函数非奇非偶函数,D是函数是偶函数,但在 上不是增函数,只有A符合要求,故选A.
4. 若 ,则 (  )
A. -1    B. 1    C.      D. -1或
【答案】C
【解析】由已知得 , , , ,∴ ,故选C.
点睛:在用平方关系 求 值时,需确定 的范围,以确定它们的正负,本题中由已知条件知 可得 ,从而不必再讨论 的范围,这是我们在解题时需要时常注意的,并不是什么时候都要分类讨论的.
5. 已知等比数列 中, , ,则 (  )
A. 12    B. 10    C.      D. 
【答案】A
【解析】由已知 ,∴ ,∴ ,故选A.
6. 执行下图所示的程序框图,若输入 ,则输出的 (  )
 
A. 6    B. 7    C. 8    D. 9
【答案】C
【解析】由程序框图知   ,易知 时, , 时, ,然后有 ,故选C.
7. 如下图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是(  )
 
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】由三视图知该组合体是长方体与半个圆柱组合而成,体积为 ,故选D.
8. 在边长为 的正三角形内任取一点 ,则点 到三个顶点的距离均大于 的概率是(  )
A.      B.      C.      D. 
【答案】B
【解析】如图正 的边长为 ,分别以它的三个顶点为圆心,以 为半径,在 内部画圆弧,得三个扇形,则题中点 在这三个扇形外,因此所求概率为
 ,故选B.
 
9. 已知 为等差数列, 为其前 项和,若 ,则 (  )
A. 49    B. 91    C. 98    D. 182
【答案】B
【解析】∵ ,∴ ,即 ,∴ ,故选B.
10. 已知函数 ,要得到 的图象,只需将函数 的图象(  )
A. 向右平移 个单位    B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位    D. 向左平移 个单位
【答案】D
【解析】∵ ,∴应向左平移 个单位,故选D.
11. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点, 为椭圆上一点,且 ( 为坐标原点),若 ,则椭圆的离心率为(  )
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】以 为邻边作平行四边形,根据向量加法的平行四边形法则,由 知此平行四边形的对角线垂直,即此平行四边形为菱形,∴ ,∴ 是直角三角形,即 ,设 ,则 ,∴ ,故选A.
12. 已知函数 ,( 为自然对数的底数),则函数 的零点个数为(  )
A. 8    B. 6    C. 4    D. 3
【答案】B
【解析】设 ,则方程 化为 ,画出函数 和直线 的图象,如图,利用导数知识可知直线 与对数函数 的图象切为 ,因此函数 和直线 的图象有四个交点,设其横坐标从小到大依次为 ,其中 , , , ,又结合 的图象知 有一解, 有三解, 有两解, 无解,因此 有6解,即函数 6个零点,故选B................
 
点睛:函数零点个数问题,一种方法可用导数研究函数的单调性和极值,再䬑和零点存在定理得函数的零点个数,另一种方法是转化函数图象交点个数,一般是转化为直线与函数图象的交点,其中直线是含参数的、变化的,函数是固定的,且图象画出的,这里可通过导数研究图象的变化趋势,得出图象的大致规律,动直线可以是平行直线,也可以是过一定点的直线,这样容易发现规律,得出结论.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.  展开式中的常数项为__________.
【答案】
【解析】 ,令 ,得 ,
∴常数项为 .
14. 已知向量 , ,且变量 满足 ,则 的最大值为__________.
【答案】
【解析】 ,作出题中可行域,如图 内部(含边界),作直线 ,向上平移 直线,当直线 过点 时, 为最大值.
 
15. 已知 为圆 的直径,点 为直线 上任意一点,则 的最小值为__________.
【答案】6
【解析】圆心 ,设 , ,则 , ,∴ ,
又 到直线 的距离为 ,即 的最小值为 ,∴ 的最小值为 .
16. 在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球,晃动此正方体,则小球可以经过的空间的体积为__________.
【答案】
【解析】依题意所求体积为 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
17. 已知在 中,内角 所对的边分别为 ,且满足 .
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若 为锐角三角形,且 ,求 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)利用正弦定理把已知边角关系转化为角的关系,结合两角和与差的正弦公式可得 ,再讨论角特别是 的范围后可证得结论.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ,已知条件可化为 ,从而易得 的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ) ,由正弦定理知
   ,
即 .
因为 ,
所以 ,且 ,所以 ,
所以 , .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 , .
由 为锐角三角形得 ,
得 .
由 得 .
18. 某公司为了准确把握市场,做好产品计划,特对某产品做了市场调查:先销售该产品50天,统计发现每天的销售量 分布在 内,且销售量 的分布频率
 .
(Ⅰ)求 的值并估计销售量的平均数;
(Ⅱ)若销售量大于等于70,则称该日畅销,其余为滞销.在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天,再从这8天中随机抽取3天进行统计,设这3天来自 个组,求随机变量 的分布列及数学期望(将频率视为概率).
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由于 ,因此可根据题中解析式列出不等式组 ,求出 的所有可能值,代入 ,再利用总体分布频率为1可求得 ,利用各区间的中位数及频率可估算出平均数;
(Ⅱ)由分层抽样可求得销售量在 内所抽取的天数分别为2,3,3.
而 的所有可能值分别为1,2,3,分别计算可得各概率,由期望公式可得期望.
试题解析:
(Ⅰ)由题知 ,解得 ,
 可取5,6,7,8,9,
代入 中,得 , .
销售量在 , 内的频率分别是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,销售量的平均数为 .
(Ⅱ)销售量在 内的频率之比为 ,所以各组抽取的天数分别为2,3,3.
 的所有可能值为1,2,3,且
 ,
 ,
 .
 的分布列为
  1 2 3
      

数学期望 .
19. 如下图,在空间直角坐标系 中,正四面体(各条棱均相等的三棱锥) 的顶点 分别在 轴, 轴, 轴上.
 
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)设 ,写出A,B,C的坐标,再求出D点坐标,从而得 的坐标,只要它与平面 的法向量垂直,即可证明线面平行;
(Ⅱ)求二面角,可取AB的中点F,由能证明∠CFD是所求二面角的平面角,在 中由得余弦定理可得余弦值.也可求出二面角的两个面的法向量,由法向量夹角的余弦可得二面角的余弦.
试题解析:
(Ⅰ)由 ,易知 .
设 ,则 , , , ,
设 点的坐标为 ,则由 ,
可得   ,
解得 ,
所以 .
又平面 的一个法向量为 ,
所以 ,所以 平面 .
(Ⅱ)设 为 的中点,连接 ,
则 , , 为二面角 的平面角.
由(Ⅰ)知,在 中, , ,
则由余弦定理知 ,即二面角 的余弦值为 .
 
点睛:立体几何中求直线与平面成的角和二面角,有两种方法:第一种是根据“空间角”的定义作出反应这个“空间角”的“平面角”,然后在三角形中求解,这种方法有三个步骤:一作二证三计算;第二种是根据图形建立适当的空间直角坐标系(充分利用图形中的垂直关系),写出各点坐标,求出平面的法向量,直线的方程向量,利用向量的夹角来求“空间角”,这种方法重在计算,解题步骤固定.
20. 如下图,在平面直角坐标系 中,直线 与直线 之间的阴影部分即为 ,区域 中动点 到 的距离之积为1.
 
(Ⅰ)求点 的轨迹 的方程;
(Ⅱ)动直线 穿过区域 ,分别交直线 于 两点,若直线 与轨迹 有且只有一个公共点,求证: 的面积恒为定值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由点到直线距离公式直接把已知表示出来,并化简可得方程;
(Ⅱ)直线 与轨迹 有且只有一个公共点,即直线 与轨迹 相切,因此可求出当 与 垂直(即斜率不存在)时, 面积,当 斜率存在时,可设其方程为 ,与双曲线方程联立方程组,由 可得 ,再设出 ,由直线相交可求得 (用 表示),计算 面积可得结论.
试题解析:
(Ⅰ)由题意得 , .
因为点 在区域 内,所以 与 同号,得 ,
即点 的轨迹 的方程为 .
(Ⅱ)设直线 与 轴相交于点 ,当直线 的斜率不存在时, , ,得 .
当直线 的斜率存在时,设其方程为 ,显然 ,则 ,
把直线 的方程与 联立得 ,
由直线 与轨迹 有且只有一个公共点,知 ,
得 ,得 或 .
设 , ,由 得 ,同理,得 .
所以   .
综上, 的面积恒为定值2.
21. 已知函数 , ,其中 为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论函数 的单调性.
(Ⅱ)是否存在实数 ,使 对任意 恒成立?若存在,试求出 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)求出导函数 ,求出 的解,在定义域内的各区间可得 的正负,即得 的单调区间;
(Ⅱ)观察函数 得 ,因此有 ,这样不等式 可化为 ,设 ,利用导数 研究出 的单调性,可根据 的取值分类讨论求只有 时,可得 有最小值,由最小值   ,把这个式子作为 的函数 ,由导函数 得其最大值为 ,且 ,从而可得 (一方面 ,另一方面 ,因此只有 ), ,再研究在 时, 是否恒成立即可.
试题解析:
(Ⅰ) ,令 得 .
当 且 时, ;当 时, .
所以 在 上单调递减,在 上单调递减,在 上单调递增.
(Ⅱ)注意到 ,则 , ①.
于是, 即 ,记 , ,
若 ,则 ,得 在 上单调递减,则当 时,有 ,不合题意;
若 ,易知 在 上单调递减,在 上单调递增,
得 在 上的最小值 .
记 ,则 ,得 有最大值 ,即 ,
又 ,故 ,代入①得 .
当 时, 即     .
记 ,则 ,得 在 上有最小值 ,即 ,符合题意.
综上,存在 ,使 对任意 恒成立.
点睛:通过导数证明不等式或研究不等式恒成立问题的基本思路是:以导函数和不等式为基础,单调性为主线,最(极)值为助手,从数形结合、分类讨论等多视角进行探究,经常是把不等式问题转化为判断函数的单调性、求函数的最值,利用最值得出相应结论,其中分类讨论是经常用到的数学思想方法.
(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22. 【选修4-4:坐标系与参数方程】
设直线 的参数方程为 ,( 为参数),若以直角坐标系 的原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(Ⅰ)将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线 是什么曲线;
(Ⅱ)若直线 与曲线 交于 两点,求 .
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由公式 可化极坐标方程为直角坐标方程;
(Ⅱ)把直线的参数方程消去参数得普通方程,代入曲线 的直角坐标方程,利用韦达定理及弦长公式 可得弦长.
试题解析:
(Ⅰ)由于 ,
所以 ,即 ,
因此曲线 表示顶点在原点,焦点在 轴上的抛物线.
(Ⅱ) ,化为普通方程为 ,代入 ,并整理得 ,
所以     .
23. 【选修4-5:不等式选讲】
已知函数 .
(Ⅰ)当 时,若 对任意 恒成立,求 的最小值;
(Ⅱ)若 的解集包含 ,求实数 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由 得 的最小值,从而有 ,因此有 ,再利用基本不等式可得 的不等关系,从而得 的最小值,注意等号能否取到;
(Ⅱ)由于 ,因此不等式 可化为 ,从而有 ,然后按 的正负分类讨论求出 的范围,最后求交集即可.
试题解析:
(Ⅰ)当 时, ,
∴ ,∴ .∴ ,即 ,当且仅当 时等号成立,
∵ ,解得 ,当且仅当 时等号成立,故 的最小值为 .
(Ⅱ)∵ 的解集包含 ,当 时,有 ,
∴ 对 恒成立,
当 时, ,∴ ;
当 时, ,∴ .
综上: .

 

 
 

 

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