衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷分科综合卷理科数学（一）试题Word版含答案.doc

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理数（一）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2.已知为虚数单位，为实数，复数满足，若复数是纯虚数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾和股分别表示直角三角形的两条直角边，用弦来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A．在区间内单调递增 ‎ B．在区间内单调递减 ‎ C.是偶函数 ‎ D．是奇函数，且在区间内单调递增 ‎6.的展开式中项的系数为（ ）‎ A．-16 B．‎16 C. 48 D．-48‎ ‎7.如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.若，则下列不等式不正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为11，则判断框中的条件可以是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则（ ）‎ A． ‎ B． ‎ B． C. D．‎ ‎11.已知抛物线的焦点为，过点作斜率为1的直线交抛物线于两点，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，若向量与共线，则向量在向量放心上的投影为 ．‎ ‎14.若实数满足则的最大值是 ．‎ ‎15.过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16.一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.如图，在中，角所对的边分别为，若. ‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若点在边上，且是的平分线，，求的长.‎ ‎18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面,且,是棱的中点，点在侧棱上运动.‎ ‎(1)当是棱的中点时，求证：平面；‎ ‎(2)当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.‎ ‎19. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于‎2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.‎ ‎(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；‎ ‎(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.‎ ‎①记表示选取4人的成绩的平均数,求；‎ ‎②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.‎ ‎20.已知椭圆 的左、右焦点分别为,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.‎ ‎21. 设函数为自然对数的底数.‎ ‎(1)若,且函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若，试判断函数的零点个数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程；‎ ‎(2)设为椭圆上任意一点，求的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若的最大值为，对任意不想等的正实数，证明：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DBBCD 6-10: ABCCA 11、12：CA 二、填空题 ‎13.0 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：(1)在中，∵,‎ ‎∴由正弦定理，‎ 得 ‎，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎(2)在中，由余弦定理得 ‎，‎ 即,解得,‎ 或（负值，舍去）‎ ‎∵是的平分线，，‎ ‎∴,∴.‎ ‎18.解：(1)取线段的中点，连结.‎ ‎∵,‎ ‎∴，且.‎ 又为的中点，‎ ‎∴,且.‎ ‎∴,且.‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴.‎ 又平面平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)∵两两垂直，∴以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图,‎ ‎∵三棱柱中，平面，‎ ‎∴即为直线与平面所成的角.‎ 设，则由，得.‎ ‎∴.‎ ‎∴,‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则 令，得，即.‎ 又平面的一个法向量为,‎ ‎∴,‎ 又二面角的平面角为钝角，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ 19. 解：(1)众数为76，中位数为76.‎ 抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，‎ 故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试成绩在70分以上的约有（人）‎ ‎(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.‎ 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.‎ 一类是82，88，93，94，共1种；‎ 另一类是76，88，93，94，共3种.‎ 所以 .‎ ‎②由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 的分别列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎20.解：(1)由已知得 解得，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)设，的中点为，点，使得,‎ 则.‎ 由得，‎ 由，得.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵∴，‎ 即，‎ ‎∴.‎ 当时，（当且仅当，即时，取等号），‎ ‎∴；‎ 当时，（当且仅当，即时，取等号），∴，‎ ‎∴点的横坐标的取值范围为.‎ ‎21.解：(1)∵函数在区间内单调递增，‎ ‎∴在区间内恒成立.‎ 即在区间内恒成立.‎ 记，则恒成立，‎ ‎∴在区间内单调递减,‎ ‎∴，∴，‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎(2)∵，，‎ 记，则，‎ 知在区间内单调递增.‎ 又∵，，‎ ‎∴在区间内存在唯一的零点，‎ 即，‎ 于是，.‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当时，取等号.‎ 由，得，‎ ‎∴，即函数没有零点.‎ ‎22.解：(1)由，‎ 得，‎ 将代入，得直线的直角坐标方程为.‎ 椭圆的参数方程为为参数）.‎ ‎(2)因为点在椭圆上，‎ 所以设，‎ 则 ‎，‎ 当且仅当时，取等号，‎ 所以.‎ ‎23.解：(1)不等式，‎ 即，‎ 此不等式等价于 或或 解得，或，或.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎(2)，‎ 因为，‎ 当且仅当时，取等号，‎ 所以，即，‎ 因为为正实数，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当时，取等号.‎ 即.‎