第六章 单元检测题
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若P为半径长是6 cm的⊙O内一点，OP＝2 cm，则过P点的最短的弦长为( )
A．12 cm B．2 cm C．4 cm D．8 cm
2．四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，若∠ADC＝120°，则∠ACB等于( )
A．30° B．40° C．60° D．80°
3．若⊙O的半径长是4 cm，圆外一点A与⊙O上各点的最远距离是
12 cm，则自A点所引⊙O的切线长为( )
A．16 cm B．4 cm C．4 cm D．4 cm
4．⊙O的半径为10 cm，弦AB∥CD.若AB＝12 cm，CD＝16 cm，则AB和CD的距离为( )
A．2 cm B．14 cm
C．2 cm或14 cm D．2 cm或10 cm
5．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是劣弧上一点，则∠ACB等于( )
A．80° B．100° C．120° D．130°
6．三角形的外心是( )
A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点
7．如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，则的长为( )
A.π B.π C．π D.π＋
8．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点M在这条圆弧所在圆的( )
A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定
9.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝5，则△PCD的周长为( )
A．5 B．7
C．8 D．10
10．某工件形状如图所示，圆弧的度数为60°，AB＝6 cm，点B到点C的距离等于AB，∠BAC＝30°，则工件的面积等于( )
A．4π B．6π C．8π D．10π
11．在平面直角坐标系中，若一个点的横、纵坐标均为整数，我们称这样的点为整数点，如图，以点O为圆心、5为半径画圆．则⊙O上整数点的个数为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
12．已知在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，那么△ABC的内切圆的半径为( )
A. B. C．2 D．3
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
13．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOC＝60°，则∠B＝__________.
14．如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B，C两点恰好落在扇形AEF的上时，的长度等于__________．
15．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为____________．
16．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则以直线AB为轴旋转一周所得的几何体的表面积为__________．
17．如图，直线y＝－
x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，点P是以C(0，－1)为圆心、1为半径的圆上一动点，过P点的切线交线段AB于点Q，则线段PQ的最小值是__________．
三、解答题(本大题共7个小题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本题满分5分)
如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA＝40°，求∠ABC的度数．
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
19．(本题满分5分)
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
求证：BE＝DE＝CE.
20．(本题满分8分)
如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为6 cm.
(1)请用尺规作出扇形的对称轴(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)若将此扇形围成一个圆锥的侧面(不计接缝)，求圆锥的底面积．
21．(本题满分8分)
在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
22．(本题满分8分)
如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.
(1)求证：AB是圆的切线；
(2)若点E是BC上一点，已知BE＝4，tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．
23．(本题满分9分)
如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状；
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
24．(本题满分9分)
已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG
交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.
(1)如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
(2)如图2，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
(3)如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.
参考答案
1．D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B 11.C 12.A
13．30° 14. 15.2 cm 16. 17.
18．解：∵AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，
∴PA⊥AB，∴∠A＝90°.又∵∠OPA＝40°，
∴∠AOP＝50°.∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB.
又∵∠AOP＝∠ABC＋∠OCB，
∴∠ABC＝∠OCB＝∠AOP＝25°.
19．证明：如图，连接AE，∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.而AB＝AC，
∴BE＝CE.又∵∠BDE＝∠ACB＝∠B，
∴BE＝DE，∴BE＝CE＝DE.
20．解：(1)如图所示．
(2)∵扇形的弧长为＝4π，
∴圆锥底面圆的半径为＝2，
∴圆锥的底面积为4π cm2.
21．解：(1)如图1，连接OQ，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB.在Rt△OBP中，∵tan∠B＝，
∴OP＝3tan 30°＝.
在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，
∴PQ＝＝.
(2)如图2，连接OQ，在Rt△OPQ中，PQ＝＝，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，
则OP＝OB＝，
∴PQ长的最大值为＝.
22．(1)证明：∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，
∴∠ACB＋∠DBC＝90°.
∵∠ABD＝∠ACB，∴∠ABD＋∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，
∴AB是圆的切线．
(2)解：在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，
∴＝，即AB＝BE＝.
在Rt△ABC中，＝，
∴BC＝AB＝10，∴圆的直径为10.
23．解：(1)△ABC是等边三角形．
(2)PC＝PA＋PB.证明如下：
如图1，在PC上截取PD＝AP，
∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，
即∠ADC＝120°.
又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB.
又∵∠ACP＝∠ABP，∴△APB≌△ADC，
∴BP＝CD.又∵PD＝AP，∴PC＝PA＋PB.
(3)当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
过点C作CF⊥AB，垂足为F.
∵S△APB＝AB·PE，
S△ABC＝AB·CF，
∴S四边形APBC＝AB·(PE＋CF)．
当点P为的中点时，PE＋CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×2×＝.
24．(1)解：∵AB为⊙O直径，点P是的中点，
∴PG⊥BC，即∠ODB＝90°.
∵D为OP的中点，∴OD＝OP＝OB.
∴cos∠BOD＝＝，∴∠BOD＝60°.
∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴AC∥PG，∴∠BAC＝∠BOD＝60°.
(2)证明：由(1)知CD＝BD，
∵∠BDP＝∠CDK，DK＝DP，
∴△PDB≌△CDK，
∴CK＝BP，∠OPB＝∠CKD.
∵∠AOG＝∠BOP，∴AG＝BP，∴AG＝CK.
∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP.
又∵∠G＝∠OBP，∴AG∥CK，
∴四边形AGKC是平行四边形．
(3)证明：∵CE＝PE，CD＝BD，∴DE∥PB，
即DH∥PB.
∵∠G＝∠OPB，∴PB∥AG，∴DH∥AG，
∴∠OAG＝∠OHD.
∵OA＝OG，∴∠OAG＝∠G，
∴∠ODH＝∠OHD，∴OD＝OH.
又∵∠DOB＝∠HOP，OB＝OP，
∴△OBD≌△HOP，
∴∠OHP＝∠ODB＝90°，∴PH⊥AB.
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