搜索:
您现在的位置:天添资源网  学科试题  数学试题  高三

江苏镇江市2018届高三数学一模试题(有答案)

时间:2018-03-02 13:27:23作者:佚名试题来源:网络
本资料为WORD文档,请点击下载地址下载
文章
来源天
添 资源网 w Ww.Tt Z y w.Co M

2018届高三年级第一次模拟考试(三)
数学
(满分160分,考试时间120分钟)
一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
 1. 已知集合A={-2,0,1,3},B={-1,0,1,2},则A∩B=________.
 2. 已知x,y∈R,则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)
 3. 函数y=3sin2x+π4图象两相邻对称轴的距离为________.
 4. 设复数z满足3+4iz=5i,其中i为虚数单位,则|z|=________.
     5. 已知双曲线 的左焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合,则双曲线的右准线方程为________.
 6. 已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为6,则该正四棱锥的体积为________.
 7. 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-2,S6=9S3,则a5的值为________.
 8. 已知锐角θ满足tanθ=6cosθ,则sinθ+cosθsinθ-cosθ=________.
 9. 已知函数f(x)=x2-kx+4,对任意x∈[1,3],不等式f(x)≥0恒成立,则实数k的最大值为________.
10. 函数y=cosx-xtanx的定义域为-π4,π4,则其值域为________.
11. 已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为________.
12. 已知点P(1,0),直线l:y=x+t与函数y=x2的图象交于A,B两点,当PA→•PB→最小时,直线l的方程为________.
13. 已知a,b∈R,a+b=4,则1a2+1+1b2+1的最大值为________.
14. 已知k为常数,函数f(x)=x+2x+1, x≤0,|lnx|,  x>0,若关于x的方程f(x)=kx+2有且只有四个不同解,则实数k的取值构成的集合为________.
 
二、 解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosA+acosB=-2ccosC.
(1) 求角C的大小;
(2) 若b=2a,且△ABC的面积为23,求c的值.

 

 

 

 


16. (本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D为BC的中点,AB=AC,BC1⊥B1D.求证:
(1) A1C∥平面ADB1;
(2) 平面A1BC1⊥平面ADB1.

 


 
17. (本小题满分14分)
如图,准备在墙上钉一个支架,支架由两直杆AC与BD焊接而成,焊接点D把杆AC分成AD,CD两段.其中两固定点A,B间距离为1米,AB与杆AC的夹角为60°,杆AC长为1米.若制作AD段的成本为a元/米,制作CD段的成本是2a元/米,制作杆BD的成本是4a元/米.设∠ADB=α,制作整个支架的总成本记为S元.
(1) 求S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;
(2) 问AD段多长时,S最小?

 


 
18. (本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,左焦点F(-2,0),直线l:y=t与椭圆交于A,B两点,M为椭圆E上异于A,B的点.
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 若M(-6,-1),以AB为直径的圆P过点M,求圆P的标准方程;
(3) 设直线MA,MB与y轴分别相交于点C,D,证明:OC•OD为定值.

 


 
19. (本小题满分16分)
已知b>0,且b≠1,函数f(x)=ex+bx,其中e为自然对数的底数.
(1) 如果函数f(x)为偶函数,求实数b的值,并求此时函数f(x)的最小值;
(2) 对满足b>0,且b≠1的任意实数b,证明:函数y=f(x)的图象经过唯一定点;
(3) 如果关于x的方程f(x)=2有且只有一个解,求实数b的取值范围.

 


 
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n,总存在正数p,q,r,使得an=pn-1,Sn=qn-r恒成立;数列{bn}的前n项和为Tn,且对任意正整数n,2Tn=nbn恒成立.
(1) 求常数p,q,r的值;
(2) 证明:数列{bn}为等差数列;
(3) 若b2=2,记Pn=2n+b1an+2n+2b22an+2n+b34an+…+2n+bn-12n-2an+2n+bn2n-1an,是否存在正整数k,使得对任意正整数n,Pn≤k恒成立?若存在,求正整数k的最小值;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2018届高三年级第一次模拟考试(三)
数学附加题
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. [选修41:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,四边形ABCD是圆的内接四边形,BC=BD,BA的延长线交CD的延长线于点E,延长CA至点F.求证:AE是∠DAF的平分线.

 

B. [选修42:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵M=2ab1,其中a,b均为实数,若点A(3,-1)在矩阵M的变换作用下得到点B(3,5),求矩阵M的特征值.

 

 

C. [选修44:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=acosφ,y=bsinφ(a>b>0,φ为参数),且曲线C上的点M(2,3)对应的参数φ=π3,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1) 求曲线C的普通方程;
(2) 若曲线C上的A,B两点的极坐标分别为A(ρ1,θ),Bρ2,θ+π2,求1ρ21+1ρ22的值.

 


 
D. [选修45:不等式选讲](本小题满分10分)
已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|,若对任意x∈R,不等式f(x)>a2-3恒成立,求实数a的取值范围.

 

 


【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
22. (本小题满分10分)
如图,AC⊥BC,O为AB的中点,且DC⊥平面ABC,DC∥BE.已知AC=BC=DC=BE=2.
(1) 求直线AD与CE所成角;
(2) 求二面角OCEB的余弦值.

 

 


23. (本小题满分10分)
某学生参加4门学科的学业水平测试,每门得A等级的概率都是14,该学生各学科等级成绩彼此独立.规定:有一门学科获A等级加1分,有两门学科获A等级加2分,有三门学科获A等级加3分,四门学科全获A等级则加5分.记ξ1表示该生的加分数,ξ2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值.
(1) 求ξ1的数学期望;
(2) 求ξ2的分布列.

2018届镇江高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
1. {0,1} 2. 充要 3. π2 4. 1 5. x=83
6. 83 7. -32 8. 3+22 9. 4 10. [22-π4,1]
11. (x+3)2+(y+3)2=18 12. y=x+12
13. 2+54 14. 1c3∪(-e,-1)
15. 解析:(1) 由正弦定理asinA=bsinB=csinC,
且bcosA+acosB=-2ccosC得(2分)
sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosC,
所以sin(B+A)=-2sinCcosC.(3分)
因为A,B,C为三角形的内角,所以B+A=π-C,
所以sinC=-2sinCcosC.(4分)
因为C∈(0,π),所以sinC>0.(5分)
所以cosC=-12,(6分)
所以C=2π3.(7分)
(2) 因为△ABC的面积为23,
所以12absinC=23.(8分)
由(1)知C=2π3,所以sinC=32,所以ab=8.(9分)
因为b=2a,所以a=2,b=4,(11分)
所以c2=a2+b2-2abcosC=22+42-2×2×4×-12=28,(13分)
所以c=27.(14分)
16. 解析:(1) 设A1B∩AB1=E.
因为ABC-A1B1C1为直三棱柱,
所以AA1B1B为矩形,所以E为A1B的中点.(1分)
因为D为BC的中点,所以DE为△BA1C的中位线,(2分)
所以DE∥A1C,且DE=12A1C.(3分)
因为A1C⊄平面ADB1,DE⊂平面ADB1,(5分)
所以A1C∥平面ADB1.(7分)
(2) 因为AB=AC,D为BC的中点,
所以AD⊥BC.(8分)
因为ABCA1B1C为直三棱柱,
所以BB1⊥平面ABC.
因为AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD.(9分)
因为BC⊂平面BCC1B1,BB1⊂平面BCC1B,BC∩BB1=B,
所以AD⊥平面BCC1B1.(10分)
因为BC1⊂平面BCC1B1,所以AD⊥BC1.(11分)
因为BC1⊥B1D,AD⊂平面ADB1,B1D⊂平面ADB1,AD∩B1D=D,
所以BC1⊥平面ADB1.(13分)
因为BC1⊂平面A1BC1,
所以平面A1BC1⊥平面ADB1.(14分)
17. 解析:(1) 在△ABD中,由正弦定理得1sinα=BDsinπ3 =ADsin2π3-α,(1分)
所以BD=32sinα,AD=3cosα2sinα+12,(3分)
则S=a3cosα2sinα+12+2a[1-(3cosα2sinα+12)]+4a32sinα
=a43-3cosα2sinα+32,(6分)
由题意得α∈π3,2π3.(7分)
(2) 令S′=3a•1-4cosαsin2α=0,设cosα0=14.

α π3,α0
α0 α0,2π3

cosα 14,12
14
-12,14

S′ <0 0 >0
S 单调递减 极小 单调递增
(11分)
所以当cosα=14时,S最小,
此时sinα=154,AD=3cosα2sinα+12=5+510.(12分)
18. 解析:(1) 因为e=ca=22且c=2,
所以a=22,b=2.(2分)
所以椭圆方程为x28+y24=1.(4分)
(2) 设A(s,t),则B(-s,t),且s2+2t2=8.①
因为以AB为直径的圆P过M点,
所以MA⊥MB,所以MA→•MB→=0,(5分)
因为MA→=(s+6,t+1),MB→=(-s+6,t+1),
所以6-s2+(t+1)2=0.    ②(6分)
由①②解得t=13或t=-1(舍),所以s2=709.(7分)
因为圆P的圆心为AB的中点(0,t),半径为AB2=|s|,(8分)
所以圆P的标准方程为x2+y-132=709.(9分)
(3) 设M(x0,y0),则lAM的方程为y-y0=t-y0s-x0•(x-x0),若k不存在,显然不符合条件.
令x=0得yC=-tx0+sy0s-x0;
同理yD=-tx0-sy0-s-x0,(11分)
所以OC•OD=|yC•yD|=-tx0+sy0s-x0•-tx0-sy0-s-x0=t2x20-s2y20x20-s2(13分)
=t2x20-s2y20x20-s2=t2(8-2y20)-(8-2t2)y208-2y20-(8-2t2)=8t2-8y202t2-2y20=4为定值.(16分)
19. 解析:(1) 由f(1)=f(-1)得e+b=1e+1b,
解得b=-e(舍),或b=1e,(1分)
经检验f(x)=ex+1ex为偶函数,所以b=1e.(2分)

因为f(x)=ex+1ex≥2,当且仅当x=0时取等号,(3分)
所以f(x)的最小值为2.(4分)
(2) 假设y=f(x)过定点(x0,y0),则y0=ex0+bx0对任意满足b>0,且b≠1恒成立.(5分)
令b=2得y0=ex0+2x0;令b=3得y0=ex0+3x0,(6分)
所以2x0=3x0,即32x0=1,解得唯一解x0=0,所以y0=2,(7分)
经检验当x=0时,f(0)=2,所以函数y=f(x)的图象经过唯一定点(0,2).(8分)
(3) 令g(x)=f(x)-2=ex+bx-2为R上的连续函数,且g(0)=0,则方程g(x)=0存在一个解.(9分)
(i) 当b>0时,g(x)为增函数,此时g(x)=0只有一解.(10分)
(ii) 当0<b<1时,令g′(x)=ex+bxlnb=ex(1+(be)xlnb)=0,解得x0=logeb(-lnb).(11分)
因为ex>0,0<be<1,lnb<0,令h(x)=1+bexlnb,h(x)为单调增函数,
所以当x∈(-∞,xe)时,h(x)<0,所以g′(x)<0,g(x)为单调减函数;
当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,所以g′(x)>0,g(x)为单调增函数,
所以g极小(x)=g(x0).因为g(x)定义域为R,所以gmin(x)=g(x0).(13分)
①若x0>0,g(x)在(-∞,x0)上为单调减函数,g(x0)<g(0)=0,而g(ln2)=2+bln2-2=bln2>0,
所以当x∈(x0,ln2)时,g(x)至少存在另外一个零点,矛盾.(14分)
②若x0<0,g(x)在(x0,+∞)上为单调增函数,g(x0)<g(0)=0,而g(logb2)=elogb2+2-2=elogb2>0,所以g(x)在(logb2,x0)上存在另外一个解,矛盾.(15分)
③当x0=logeb(-lnb)=0,则-lnb=1,解得b=1e,此时方程为g(x)=ex+1ex-2=0,
由(1)得,只有唯一解x0=0,满足条件.
综上所述,当b>1或b=1e时,方程f(x)=2有且只有一个解.(16分)
20. 解析:(1) 因为Sn=qn-r,①
所以Sn-1=qn-1-r,(n≥2)②
①-②得Sn-Sn-1=qn-qn-1,即an=qn-qn-1,(n≥2),(1分)
因为an=pn-1,所以pn-1=qn-qn-1,(n≥2),
当n=2时,p=q2-q;当n=3时,p2=q3-q2.
因为p,q为正数,所以p=q=2.(3分)
因为a1=1,S1=q-r,且a1=S1,所以r=1.(4分)
(2) 因为2Tn=nbn,③
当n≥2时,2Tn-1=(n-1)bn-1,④
③-④得2bn=nbn-(n-1)bn-1,即(n-2)bn=(n-1)bn-1,⑤(6分)
方法一:由(n-1)bn+1=nbn,⑥
⑤+⑥得(2n-2)bn=(n-1)bn-1+(n-1)bn+1,(7分)
即2bn=bn-1+bn+1,所以{bn}为等差数列.(8分)
方法二:由(n-2)bn=(n-1)bn-1,
得bnn-1=bn-1n-2,
当n≥3时,bnn-1=bn-1n-2=…=b21,
所以bn=b2(n-1),所以bn-bn-1=b2.(6分)
因为n=1时,由2Tn=nbn得2T1=b1,
所以b1=0,则b2-b1=b2,(7分)
所以bn-bn-1=b2对n≥2恒成立,所以{bn}为等差数列.(8分)
(3) 因为b1=0,b2=2,由(2)知{bn}为等差数列,所以bn=2n-2.(9分)
又由(1)知an=2n-1,
所以Pn=2n2n-1+2n+22n+…+4n-422n-3+4n-222n-2,
Pn+1=2n+22n+…+4n-422n-3+4n-222n-2+4n22n-1+4n+222n, 
所以Pn+1-Pn=4n22n-1+4n+222n-2n2n-1=12n+2-4n•2n4n,(12分)
令Pn+1-Pn>0得12n+2-4n•2n>0,
所以2n<6n+12n=3+12n<4,解得n=1,
所以当n=1时,Pn+1-Pn>0,即P2>P1,(13分)
当n≥2时,因为2n≥4,3+12n<4,
所以2n>3+12n=6n+12n,
即12n+2-4n•2n<0,
此时Pn+1<Pn,即P2>P3>P4>…,(14分)
所以Pn的最大值为Pn=2×22+2×2+222=72,(15分)
若存在正整数k,使得对任意正整数n,Pn≤k恒成立,则k≥Pmax=72,
所以正整数k的最小值为4.(16分)
21. A. 解析:因为四边形ABCD是圆的内接四边形,
所以∠DAE=∠BCD,∠FAE=∠BAC=∠BDC.(4分)
因为BC=BD,所以∠BCD=∠BDC,(6分)
所以∠DAE=∠FAE,(8分)
所以AE是四边形ABCD的外角∠DAF的平分线.(10分)
B. 解析:由题意得2 ab 13-1=35,
即6-a=3,3b-1=5,(3分)
解得a=3,b=2,所以M=2 32 1.(5分)
令f(λ)=(λ-2)(λ-1)-6=0,(7分)
解得λ=-1或λ=4,(9分)
所以矩阵M的特征值为-1和4.(10分)
C. 解析:(1) 将M(2,3)及对应的参数φ=π3,代入x=acosφ,y=bsinφ(a>b>0,φ为参数),
得2=acosπ3,3=bsinπ3,所以a=4,b=2,
所以曲线C1的普通方程为x216+y24=1.(5分)
(2) 曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ16+ρ2sin2θ4=1,将A(ρ1,θ),Bρ2,θ+π2代入得ρ21cos2θ16+ρ21sin2θ4=1,ρ22sin2θ16+ρ22cos2θ4=1,
所以1ρ21+1ρ22=516.(10分)
D. 解析:因为对任意x∈R,不等式f(x)>a2-3恒成立,所以fmin(x)>a2-3.(2分)
因为|x-a|+|x+a|≥|x-a-(x+a)|=|2a|,
所以|2a|>a2-3,   ①(4分)
方法一:即|a|2-2|a|-3<0,
解得-1<|a|<3,(8分)
所以-3<a<3.(10分)
方法二:①式等价于2a>a2-3, ②
或2a<-a2+3, ③(6分)
由②得-1<a<3;(7分)
由③得-3<a<1,(8分)
所以-3<a<3.(10分)
22. 解析:(1) 因为AC⊥CB,且DC⊥平面ABC,
则以C为原点,CB为x轴正方向,CA为y轴正方向,CD为z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.(1分)
因为AC=BC=BE=2,
所以C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2),D(0,0,2),
AD→=(0,-2,2),CE→=(2,0,2).(2分)
所以cos〈AD→,CE→〉=422×22=12.(4分)
所以AD和CM的夹角为60°.
 
(2) 平面BCE的一个法向量为n=(0,1,0),设平面OCE的一个法向量为n=(x0,y0,z0).(6分)
由CO→=(1,1,0),CE→=(2,0,2),n⊥CO→,n⊥CE→,
得n•CE→=0,n•CO→=0,则2x0+2z0=0,x0+y0=0,解得z0=-x0,y0=-x0,(8分)
令x0=-1,则n=(-1,1,1).(9分)
因为二面角OCEB为锐角二面角,记为θ,
则cosθ=|cos〈m,n〉|=|m•n||m||n|=33.(10分)
23. 解析:(1) 记该学生有i门学科获得A等级为事件Ai,i=1,2,3,4.(1分)
ξ1的可能取值为0,1,2,3,5.(2分)
则P(Ai)=Ci414i344-i,(3分)
即P(A0)=81256,P(A1)=2764,P(A2)=27128,
P(A3)=364,P(A4)=1256,
则ξ1的分布列为

ξ1 0 1 2 3 5
P 81256
2764
27128
364
1256

所以E(ξ1)=0×81256+1×2764+2×27128+3×364+5×1256=257256.(5分)
(2) ξ2的可能取值为0,2,4,则
P(ξ2=0)=P(A2)=27128;(7分)
P(ξ2=2)=P(A1)+P(A3)=2764+364=1532;(8分)
P(ξ2=4)=P(A0)+P(A5)=81256+1256=41128,(9分)
则ξ2的分布列为

ξ2 0 2 4
P 27128
1532
41128

 


 

文章
来源天
添 资源网 w Ww.Tt Z y w.Co M

Copyright ? 2014-2018 www.ttzyw.com,All Rights Reserved 桂ICP备05002647号