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东北三省三校2018届高三数学一模试卷(理科带答案)

时间:2018-03-31 14:16:06作者:佚名试题来源:网络
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哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学
2018年高三第一次联合模拟考试
理科数学试卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数 的模为(    )
A.     B.     C.      D.
2.已知集合 , ,若 ,则实数 的取值范围是(    )
A.    B.    C.    D.
3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中,依次抽出2张,则在第一次抽到奇数的情况下,第二次抽到偶数的概率为(    )
A.     B.     C.      D.
4.已知 ,则 (    )
A.      B.     C.     D.
5.中心在原点,焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 ,则它的离心率为(    )
A.     B.2     C.     D.
6. 展开式中的常数项是(    )
A.     B.     C.8    D.
7.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的 的值是(    )
 
A.     B.     C.1    D.3 
8.已知函数 的图象的相邻两条对称轴之间的距离是 ,则该函数的一个单调增区间为(    )
A.    B.    C.     D.
9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想,如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法,若输入 , ,则输出 的值为(    )
 
A.148    B.37    C.333   D.0
10.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥 ,该四棱锥的侧面积为 ,则该半球的体积为(    )
 
A.     B.     C.     D.
11.已知抛物线 ,直线 与抛物线 交于 , 两点,若以 为直径的圆与 轴相切,则 的值是(    )
A.     B.     C.     D.
12.在 , , , 是边 上的两个动点,且 ,则 的取值范围为(    )
A.    B.     C.     D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.在 中, , , ,则 ______________.
14.若 满足约束条件 ,则 的最大值为______________.
15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科 、 、 ,已知:
①甲不在哈尔滨工作,乙不在长春工作;②在哈尔滨工作的教师不教 学科;
③在长春工作的教师教 学科;④乙不教 学科.
可以判断乙教的学科是______________.
16.已知函数 , 是函数 的极值点,给出以下几个命题:
① ;② ;③ ;④ ;
其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知正项数列 满足: ,其中 为数列 的前 项和.
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,求数列 的前 项和 .
18.某商场按月订购一种家用电暖气,每销售一台获利润200元,未销售的产品返回厂家,每台亏损50元,根据往年的经验,每天的需求量与当天的最低气温有关,如果最低气温位于区间 ,需求量为100台;最低气温位于区间 ,需求量为200台;最低气温位于区间 ,需求量为300台。公司销售部为了确定11月份的订购计划,统计了前三年11月份各天的最低气温数据,得到下面的频数分布表:
最低气温(℃) 
 
 
 
 

天数 11 25 36 16 2
以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.
(1) 求11月份这种电暖气每日需求量 (单位:台)的分布列;
(2) 若公司销售部以每日销售利润 (单位:元)的数学期望为决策依据,计划11月份每日订购200台或250台,两者之中选其一,应选哪个?
19.如图,四棱锥 中,平面 平面 ,且 ,底面 为矩形,点 、 、 分别为线段 、 、 的中点, 是 上的一点, .直线 与平面 所成的角为 .
 
(1)证明: 平面 ;
(2)设 ,求二面角 的余弦值.
20.已知椭圆 过抛物线 的焦点 , , 分别是椭圆 的左、右焦点,且 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若直线 与抛物线 相切,且与椭圆 交于 , 两点,求 面积的最大值.
21.已知函数 , , .
(1)当 时,若对任意 均有 成立,求实数 的取值范围;
(2)设直线 与曲线 和曲线 相切,切点分别为 , ,其中 .
①求证: ;
②当 时,关于 的不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
22.已知曲线 的极坐标方程为: ,以极点为坐标原点,以极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系,曲线 的参数方程为: ( 为参数),点 .
(1)求出曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程;
(2)设曲线 与曲线 相交于 , 两点,求 的值.
23.已知不等式 .
(1)当 时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集为 ,求 的范围.

 

2018年三省三校一模考试(数学理科)答案
一.选择题:CABBA  BDABD  CA
二.填空题:
13.1       14.        15.C      16. ①③
三.解答题:
17. (本题满分12分)
解:(Ⅰ)令 ,得 ,且 ,解得 .    
当 时, ,即 , 
整理得 ,  , ,   
所以数列 是首项为3,公差为2的等差数列,
故 .                        
(Ⅱ)由(Ⅰ)知: ,
  .

18.(本题满分12分)
解:(1)由已知X的可能取值为100,200,300
           X的分布列为
X 100 200 300
P 0.2 0.4 0.4
                        
(2) 由已知
①当订购200台时,
E( (元)
② 当订购250台时,
E(
 (元)
综上所求,当订购 台时,Y的数学期望最大,11月每日应订购250台。

19.(本题满分12分)
.解:(Ⅰ)取 中点 ,连接 ,交 于点 ,连接 ,则 .
因为平面 平面 ,所以 平面 , , .
方法一:因为 , ,所以 ,所以 .
又 , ,所以 ,所以 ∽ ,
所以 ,所以 .且 ,所以 平面 .
方法二:取 中点 ,连接 ,交 于点 ,连接 ,则 .
因为平面 平面 ,所以 平面 , , .
又因为 , ,所以 ,所以 .
以 点为原点,射线 、 、 方向为 轴、 轴、 轴,建立空间直角坐标系 .
设 , ,则 , , , ,
于是 , .
所以 ,所以 ,且 ,所以 平面 
(Ⅱ)取 中点 ,连接 ,交 于点 ,连接 ,则 .
因为平面 平面 ,所以 平面 ,
 
 , .
以 点为原点,射线 、 、 方向为 轴、 轴、 轴的正方向,
建立空间直角坐标系 .
设 ,则 , ,
 , , ,
于是 , , .
设平面 的一个法向量为  ,则 ,
从而 ,令 ,得 .
而平面 的一个法向量为  .
所以 
20.(本题满分12分)
.解: (Ⅰ) ,又 , .又 ,
 椭圆 的标准方程为 .
(Ⅱ)设直线 与抛物线相切于点 ,则 ,即 ,
联立直线与椭圆 ,消去 ,整理得 .
由 ,得 .
设 ,则: .

原点 到直线 的距离 .

故 面积  ,
当且仅当 ,即 取等号,
故 面积的最大值为1.
21.(本题满分12分)
解(Ⅰ):当 时:
由 知:
依题意: 对 恒成立

当 时 ;当 时 , 

当 时 ;当 时 ,
故:实数k的取值范围是 
(Ⅱ)由已知: ,
①:由 得:
  由 得:
  故
  , , ,故:
 
②:由①知: , 且
由 得: ,

 
 在 为减函数,
由 得:
      
又      
 22.解:(本小题满分10分)
(Ⅰ)
 
 
 
 的直角坐标方程为:
 
 的普通方程为
(Ⅱ)将
得:
 
 
 
由 的几何意义可得:
23.(本小题满分10分)
(Ⅰ)当 时:不等式为:
等价于:: 
解得::
所以:不等式的解集为: 
(Ⅱ)设函数 =
设函数 过定点(0,-1)
画出 的图像,   
 

 

 

 

 

 

由数形结合得 的范围是
 
 


2018年三省三校一模考试(数学理科)答案
一.选择题:CABBA  BDABD  CA
二.填空题:
13.1       14.        15.C      16. ①③
三.解答题:
17. (本题满分12分)
解:(Ⅰ)令 ,得 ,且 ,解得 .                  ……1分
当 时, ,即 , 
整理得 ,  , ,                  ……4分
所以数列 是首项为3,公差为2的等差数列,
故 .                                                  …….6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知: ,            ……9分
  .    ……12分

18.(本题满分12分)
解:(1)由已知X的可能取值为100,200,300
           X的分布列为
X 100 200 300
P 0.2 0.4 0.4
                                                                       …….4分

(2) 由已知
        ①当订购200台时,
            E( (元)
                                                                      …….7分


 ② 当订购250台时,
         E(
               (元)
                                                                       …….11分

综上所求,当订购 台时,Y的数学期望最大,11月每日应订购250台。
                                                                    …….12分


19.(本题满分12分)
.解:(Ⅰ)取 中点 ,连接 ,交 于点 ,连接 ,则 .
因为平面 平面 ,所以 平面 , , .
方法一:因为 , ,所以 ,所以 .
又 , ,所以 ,所以 ∽ ,
所以 ,所以 .且 ,所以 平面 .
方法二:取 中点 ,连接 ,交 于点 ,连接 ,则 .
因为平面 平面 ,所以 平面 , , .
又因为 , ,所以 ,所以 .
以 点为原点,射线 、 、 方向为 轴、 轴、 轴,建立空间直角坐标系 .
设 , ,则 , , , ,
于是 , .
所以 ,所以 ,且 ,所以 平面         ……6分.
(Ⅱ)取 中点 ,连接 ,交 于点 ,连接 ,则 .
因为平面 平面 ,所以 平面 ,


 , .
以 点为原点,射线 、 、 方向为 轴、 轴、 轴的正方向,
建立空间直角坐标系 .
设 ,则 , ,
 , , ,
于是 , , .                  ……8分.
设平面 的一个法向量为  ,则 ,
从而 ,令 ,得 .
而平面 的一个法向量为  .                             ……10分.
所以                                  ……12分.

20.(本题满分12分)
.解: (Ⅰ) ,又 , .又 ,
  椭圆 的标准方程为 .                                           ……3分
(Ⅱ)设直线 与抛物线相切于点 ,则 ,即 ,
联立直线与椭圆 ,消去 ,整理得 .
由 ,得 .                              
设 ,则: .                 ……6分
则   ……8分

原点 到直线 的距离 .                                         ……9分

故 面积  ,
当且仅当 ,即 取等号,
故 面积的最大值为1.                                                ……12分


21.(本题满分12分)
解(Ⅰ):当 时:
由 知:
依题意: 对 恒成立                                   ……1分


当 时 ;当 时 ,      ……3分

设                     ……5分

当 时 ;当 时 ,  

故:实数k的取值范围是                          ……6分
(Ⅱ)由已知: ,
①:由 得:
  由 得:
  故                          ……8分

  , , ,故:     ……9分
 
②:由①知: , 且
  由 得: ,
  设
    
   在 为减函数,
 ……11分
  由 得:
      
  又                                               ……12分
 22.解:(本小题满分10分)
(Ⅰ)
 
 
 
 的直角坐标方程为:                                ……3分

 
 的普通方程为                                  ……5分

(Ⅱ)将
得:
 
 
                                           ……8分

由 的几何意义可得:                  ……10分

23.(本小题满分10分)
(Ⅰ)当 时:不等式为:
等价于::  ……3分

解得::
所以:不等式的解集为:                                            ……5分

(Ⅱ)设函数 =              
 

设函数 过定点(0,-1)                                     ……7分

 

 

 


画出 的图像,                                                    ……8分
 

 

 

 

 

 

 

由数形结合得 的范围是                                        ……10分
 

 

 

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