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第一次模拟测试卷
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则( )
A. B.
C. D.
4.已知，，那么是成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设不等式组表示的平面区域为，若直线经过区域内的点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则的值可以为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.执行如图所示的程序框图，则输出的等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )
A. B. C. D.8
10.函数的图象大致为( )
A B C D
11.已知为双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，是等腰直角三角形，，则双曲线的离心率为( )
A.4 B. C.2 D.
12.已知台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的200公里处，以公里/小时沿正西方向快速移动，小时后到达距城市西偏北(为锐角)度的200公里处，若，则( )
A. B.80 C.100 D.125
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设函数在内可导，其导函数为，且，则____________.
14.已知平面向量，，若，则实数____________.
15.在圆上任取一点，则该点到直线的距离的概率为____________.
16.已知函数，若，，且，则________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等比数列的前项和为，满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求的最大值.
18.某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数再取整，绘制成如下茎叶图，规定不低于85分(百分制)为优秀，甲班同学成绩的中位数为74.
(1) 求的值和乙班同学成绩的众数；
(2) 完成表格，若有以
上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话，那么学校将扩大教学改革面，请问学校是否要扩大改革面？说明理由.
19. 如图，四棱锥中，底面，为直角梯形，与相交于点，，，，三棱锥的体积为9.
(1)求的值；
(2)过点的平面平行于平面，与棱，，，分别相交于点，求截面的周长.
20.已知椭圆的下顶点为，右顶点为，离心率，抛物线的焦点为，是抛物线上一点，抛物线在点处的切线为，且.
(1)求直线的方程；
(2)若与椭圆相交于，两点，且，求的方程.
21.已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)若在处取到极小值，求的值及函数的单调区间；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围.
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程；
(2)若直线的极坐标方程分别为，，设直线与曲线的交点为，，，求的面积.
23.已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)对于任意实数，不等式成立，求实数的取值范围.
NCS20180607项目第一次模拟测试卷
文科数学参考答案及评分标准
一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
B
C
B
B
C
B
A
D
C
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13． 14. 15. 16.
三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.【解析】（Ⅰ）设的公比为，由得，,
所以， 所以.
又因为所以， 所以.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，
，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以当时，
所以当或时，的最大值为.
18. 【解析】（Ⅰ）由甲班同学成绩的中位数为，
所以，得
由茎叶图知，乙班同学成绩的众数为
（Ⅱ）依题意知（表格2分，计算4分）
有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革面.
19. 【解析】（Ⅰ）四棱锥中，底面，
为直角梯形，，，
所以，解得.
（Ⅱ）【法一】因为平面，平面平面，，
平面平面，
根据面面平行的性质定理，所以，
同理, 因为,
所以∽，且，
又因为∽，,所以，
同理,，
如图：作,所以，
故四边形为矩形，即， （求长2分，其余三边各1分）
在中，所以
所以截面的周长为.
【法二】因为平面，平面平面，
，平面平面，
所以，同理
因为∥
所以∽，且，
所以，
同理，连接，则有∥，
所以，，所以，同理，，
过点作∥交于，则，
所以截面的周长为.
20. 【解析】（Ⅰ）因为， 所以， 所以
又因为∥， 所以的斜率为
设，过点与相切的直线，由得，解得
所以， 所以直线的方程为
（Ⅱ）设，由
得，，
且，即，
所以，
【法一】中，令得，交轴于,
又抛物线焦点，所以
所以，解得，
所以椭圆的方程
【法二】
，抛物线焦点，则
所以，解得，
所以椭圆的方程
21. 【解析】（Ⅰ）由，得
因为，所以，所以
令，则，
当时，，故在单调递增，且
所以当，.
即当时，，当时，.
所以函数在上递减，在上递增.
（Ⅱ）【法一】由，得
（1）当时，，在上递增
（合题意）
（2）当时，，当时，
①当时，因为，所以，.
在上递增，（合题意）
②当时，存在时，满足
在上递减，上递增，故.
不满足时，恒成立
综上所述，的取值范围是.
【法二】由，发现
由在恒成立，知其成立的必要条件是
而， ，即
①当时，恒成立，此时在上单调递增，
（合题意）.
②当时，在时，有，知，
而在时，，知，
所以在上单调递增，即（合题意）
综上所述，的取值范围是.
22. 【解析】（Ⅰ）由参数方程得普通方程，
所以极坐标方程，即.
（Ⅱ）直线与曲线的交点为，得，
又直线与曲线的交点为，得
且，所以.
23. 【解析】（Ⅰ）当时，，
得； 得； 得，
所以的解集为.
（Ⅱ）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，
又因为，
所以原不等式恒成立只需，
当时，无解；当时，，解得；
当时，，解得.
所以实数的取值范围是.
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