2018年咸阳市高考模拟考试试题（二）
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数（为虚数单位，）是纯虚数，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
3.等差数列前项和为，若，是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
5.有名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6.双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7.已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民.若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（ ）
A．甲是军人，乙是工人，丙是农民
B．甲是农民，乙是军人，丙是工人
C．甲是农民，乙是工人，丙是军人
D．甲是工人，乙是农民，丙是军人
9.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B． C． D．
10.已知实数，满足，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数图象上相邻两个最高点的距离为，是该函数图象上的一个最低点，则该函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
12.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置.
13.计算定积分 ．
14.一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是 ．
15.的展开式中的系数为 （用数字作答）．
16.具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角大小为，已知在内的曲线的方程是，曲线在平面内射影的方程，则的值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图，在圆内接四边形中，，，.
（1）求的大小；
（2）求面积的最大值.
18.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，是上一点，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
支持
保留
不支持
岁以下
岁以上（含岁）
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求的值；
（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取人看成一个总体，从这人中任意选取人，求岁以下人数的分布列和期望；
（3）在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，，，，，，，，，，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过概率.
20.已知，，点是动点，且直线和直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点，判断以为直径的圆是否过轴上一定点？
21.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2） 若函数有两个零点，，且，证明：.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的方程是：，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设过原点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的斜率.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求的最大值；
（2）设，且，求证：.
2018年咸阳市高考模拟考试试题（二）
理科数学参考答案
一、选择题
1-5: DBDDB 6-10: ABABC 11、12：CA
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）在中，由余弦定理得
，
解得，
注意到，
可得.
（2）在中，由余弦定理得
，
即，
∵，
∴，即.
∴.
即面积的最大值为.
法2：如图，当为弧中点时，上的高最大，此时是等腰三角形，易得，作上的高，
在中，由，，得，
可得，
综上知，即面积的最大值为.
18.（1）证明：连接，由平面，平面得，
又，，
∴平面，得，
又，，
∴平面.
（2）由（1）知平面，即是直线与平面所成角，易证，而，
不妨设，则，，，
在中，由射影定理得，
可得，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
法2：取为原点，直线，，分别为，，轴，建立坐标系，不妨设，则，，，
由（1）知平面得法向量，而，
∴.
故直线与平面所成角的正弦值为.
法3：设，，，，
，
则，
由（1）知平面得法向量，
∴，
，，
∴.
故直线与平面所成角的正弦值为.
19.解：（1）参与调查的总人数为，其中从持“不支持”态度的人数中抽取了人，所以.
（2）在持“不支持”态度的人中，岁以下及岁以上人数之比为，因此抽取的人中，岁以下与岁以上人数分别为人，人，，
，，
，，
.
（3）总体的平均数为，
那么与总体平均数之差的绝对值超过的数有，，，所以任取个数与总体平均数之差的绝对值超过的概率为.
20.解：（1）设，则依题意得，又，，所以有
，
整理得，即为所求轨迹方程.
（2）法1：设直线：，与联立得
，即，
依题意，即，
∴，得，
∴，而，得，又，
设为以为直线的圆上一点，则由，
得，
整理得，
由的任意性得且，解得，
综上知，以为直径的圆过轴上一定点.
法2：设，则曲线在点处切线：，令，得
，设，则由得
，即，
由的任意性得且，解得，
综上知，以为直径的圆过轴上一定点.
21.解：（1），，
当时，，知在上是递减的；
当时，，知在上是递减的，在上递增的.
（2）由（1）知，，，
依题意，即，
由得，，，，
由及得，，即，
欲证，只要，
注意到在上是递减的，且，
只要证明即可，
由得，
所以
，，
令，，
则，知在上是递增的，于是，即，
综上，.
22.解：（1）曲线：，即，
将，代入得
曲线的极坐标方程为.
（2）法1：由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，
如图，在中，易得，可知
直线的斜率为.
法2：设直线：（为参数），代入中得，
整理得，
由得，即，
解得，从而得直线的斜率为.
法3：设直线：，代入中得
，即，
由得，即，
解得直线的斜率为.
法4：设直线：，则圆心到直线的距离为，
由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，
所以，解得直线的斜率为.
23.解：（1）法1：由知，即.
法2：由三角不等式得，即.
法3：由绝对值不等式的几何意义知，即.
（2）法1：∵，
∴
.
当且仅当，即，，时取等号，
即.
法2：∵，
∴由柯西不等式得，
整理得，
当且仅当，即，，时取等号.
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