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太原市2018年高三年级模拟试题（三）
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 设命题函数的最小正周期为；命题函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A．为假 B．为假 C．为假 D．为假
4. 若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C. D．
5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的等于（ ）
A．21 B． 22 C. 23 D．24
6. 已知等比数列满足，则（ ）
A．243 B．128 C. 81 D．64
7.设不等式组表示的平面区域为，若在区域上存在函数图象上的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
8.已知函数的一个对称中心是，且，要得到函数的图象，可将函数的图像（ ）
A． 向右平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
9. 已知双曲线的实轴长为16，左焦点为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
10.如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）
A． B． C. D．
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于两点，若，则（ ）
A． B．8 C. 16 D．
12.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.已知函数若，则实数 ．
14.在中，若，则角 ．
15.已知是单位向量，，若向量满足，则的最大值是 .
16.已知圆，直线，在圆内任取一点，则到直线的距离大于2的概率为 ．
三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知数列满足.
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
18.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表
投保类型
浮动因素
浮动比率
上一个年度未发生有责任道路交通事故
下浮10%
上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮20%
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮30%
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
0%
上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故
上浮10%
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
数量
20
10
10
20
15
5
（1）根据上述样本数据，估计一辆普通7座以下私家车（车龄已满3年）在下一年续保时，保费高于基准保费的概率；
（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.
①若该销售商部门店内现有6辆该品牌二手车（车龄已满3年），其中两辆事故车，四辆非事故车.某顾客在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆事故车的概率；
②以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率.该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，若购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元.试估计这批二手车一辆车获得利润的平均值.
19.已知空间几何体中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为3的等腰三角形，平面平面，平面平面分别为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
20. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，点在椭圆短轴上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过椭圆的右焦点作的平行线，交曲线于两点，求面积的最大值.
21.已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的普通方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求的最小值及取得最小值时的取值范围；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: DCDDC 6-10: BCAAA 11、12：CB
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）∵，∴，
∴是等差数列，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
则，
两式相减得，
∴.
18.解：（1）所求概率为；
（2）①设两辆事故车为，四辆非事故车为，从这六辆车中随机挑取两辆车共有，
，共15种情况，其中两辆车中恰有一车事故车共有，8种情况，所以所求概率为；
②由统计数据可知，若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有事故车30辆，非事故车90辆，所以一辆获得利润的平均值为.
19.证明：（1）
取中点，连结，
∵为等腰三角形，
∴，
又平面平面平面，
∴平面，同理可证平面，
∴，
∵平面平面，
∴平面，
又分别为中点，∴，
∵平面平面，
∴平面，
又，
∴平面平面；
（2）连结，取中点，连结，则，
由（1）知平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，
又是边长为2的等边三角形，∴，
又平面平面，平面平面平面，
∴平面，∴平面，
∴，又为中点，∴，
又，∴，
∴.
20.解：（1）由，知焦点坐标为，所以，
由已知，点的坐标分别为，
又，于是，
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设，直线的方程为，
由，可得，
则，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值，其值为9.
所以的面积的最大值为.
21.解：（1）时，，
因为，故时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2）当时，，
令，则，
显然在上单调递增，且，所以在上存在唯一零点，
又时，时，，
所以时，，
由，得，
∴，
综上，当时， .
22.解：（1）圆的参数方程为，（为参数），
∴圆的普通方程为；
（2）化圆的普通方程为极坐标方程，
设，则由解得，
设，则由，解得，
∴.
23.解：（1）∵函数，
故函数的最小值为3，
此时；
（2）当不等式的解集为，函数恒成立，
即的图象恒位于直线的上方，
函数，
而函数表示过点，斜率为的一条直线，
如图所示：当直线过点时，，
∴，
当直线过点时，，∴，
数形结合可得的取值范围为.
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