高二数学试题（文科）
（本试卷满分150分，时间：120分钟）
一.选择题（每小题5分，共60分）
1. 若是虚数单位，则复数的虚部等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知变量线性相关，且由观测数据算得样本平均数为，则由该观测数据得到的线性回归直线方程不可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足”，所以，名不正，则民无所措手足.上述推理过程用的是（ ）
A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 合情推理
4. 在下列结构图中，“柱体、锥体、球体”与“空间几何体”的关系是（ ）
逻辑的先后关系 B. 要素的从属关系 C. 并列关系 D. 平行关系
5. 若是虚数单位，复数的共轭复数是，且，则复数的模等于（ ）
A. 5 B. 25 C. D.
6. 为了研究“晚上喝绿茶与失眠”有无关系，调查了100名人士，得到下面的列联表：
失眠
不失眠
合计
晚上喝绿茶
16
40
56
晚上不喝绿茶
5
39
44
合计
21
79
100
由已知数据可以求得：，则根据下面临界值表：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
可以做出的结论是（ ）
A． 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”
B． 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”
C． 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”
D． 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”
7. 在等差数列中，如果，且，那么必有，类比该结论，在等比数列中, 如果，且，那么必有（ ）
A． B. C. D.
8. 若实数满足，给出以下说法：①中至少有一个大于；②中至少有一个小于；③中至少有一个不大于1；④中至少有一个不小于.其中正确说法的个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
9. 如图所示，程序框图的输出值S=（ ）
A．15 B．22 C．24 D．28
10. 若纯虚数满足,其中,是虚数单位，则实数的值等于（ ）
A. 2 B. C. D.
11．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A．变量之间呈现负相关关系 B．的值等于5
C．变量之间的相关系数 D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
12. 某中学共有5000人，其中男生3500人，女生1500
人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集300位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如下：
已知在样本数据中，有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，根据独立性检验原理，我们（ ）
没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
附：，其中.
二.填空题（每小题5分，共20分）
13. 若是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应点的坐标为________.
14. 观察下列各式：，，，，由此可猜想，若，则__________.
15. 某珠宝店的一件珠宝被盗，找到了甲、乙、丙、丁4个嫌疑人进行调查.甲说：“我没有偷”；乙说：“丙是小偷”；丙说：“丁是小偷”；丁说：“我没有偷”，若以上4人中只有一人说了真话，只有一人偷了珠宝，那么偷珠宝的人是——————.
16. 洛萨·科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数
，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6,3,10,5,16,8,4,2,1.对科拉茨猜想，目前谁也不能证明，更不能否定，如果对正整数按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第九项为1，则的所有可能取值的集合为_________.
三.解答题（共6小题，满分70分）
17. （本小题满分12分）已知复数的共轭复数是，是虚数单位，且满足.
（I）求复数；
（II）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
18. （本小题满分12分）已知.
（I）试猜想与的大小关系；
（II）证明（I）中你的结论.
19. （本小题满分13分）随着人们生活水平的不断提高，家庭理财越来越引起人们的重视.某一调查机构随机调查了5个家庭的月收入与月理财支出（单位：元）的情况，如下表所示：
月收入（千元）
8
10
9
7
11
月理财支出（千元）
（I）在下面的坐标系中画出这5组数据的散点图；
（II）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（III）根据（II）的结果，预测当一个家庭的月收入为元时，月理财支出大约是多少元？
【附：回归直线方程中，，.】
20. （本小题满分13分）已知数列的前项和为，且满足.
（I）求证：是等比数列；
（II）求证：不是等比数列.
21. （本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.若直线的参数方程为为参数）,曲线的极坐标方程为.
（I）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（II）设直线与曲线相交于两点，若点的直角坐标为，求的值.
22. （本小题满分10分）已知函数.
（I）若，解不等式；
（II）若均为正实数，且，求证：.
高二数学试题（文科）参考答案及评分标准
一.选择题
1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.D 8.B 9.C 10.A 11.C 12.B
二.填空题
13. 14. 15.甲 16.
三.解答题
17. 解析：（I）设复数，则， ---------1分
于是，即， ---------3分
所以，解得，故. ---------6分
（II）由（I）得， ---------9分
由于复数在复平面内对应的点在第一象限，
所以，解得. ---------12分
18. 解：（I）取，则，，则有；
再取，则，，则有.
故猜想. ---------4分
（II）令，则，当时，，
即函数在上单调递减， ---------7分
又因为，所以，
即， ---------10分
故. ---------12分
19. 解析：（I）散点图如下：
-----------3分
（II）由表中数据可得：，，， -----------4分
因此， -----------6分
， -----------7分
故关于的线性回归方程为. -----------8分
（III）由于元千元， -----------9分
令，代入回归方程，
可得千元，即元. -----------12分
故可预测当一个家庭的月收入为元时，月理财支出大约是元. ----------13分
20. 证明：（I）因为，所以当时， ---------1分
两式相减得，
即，
因此， ---------4分
故是公比为的等比数列. ---------5分
（II）(方法一)假设是等比数列，则有，
即. ---------8分
由（I）知是等比数列，所以，
于是，即，解得，
这与是等比数列相矛盾， ---------12分
故假设错误，即不是等比数列. ---------13分
(方法二) 由（I）知，所以，因此. ---------8分
于是， ---------9分
假设是等比数列，则有， ---------11分
即，解得，
这与相矛盾， ---------12分
故假设错误，即不是等比数列. ---------13分
21. 解析：（I）由参数方程为参数）消去可得，
即直线的普通方程为. -----------2分
由可得，因此，
所以，
故曲线的直角坐标方程为. -----------4分
（II）由于，令，则直线的参数方程为为参数）.
-----------5分
将代入曲线的直角坐标方程可得， -----------7分
设两点对应的参数分别为，则， -----------8分
于是.
故. -----------10分
22. 解析：（I）当时，不等式即为. ---------1分
若，则，解得； -----------2分
若，则，解得； -----------3分
若，则，无解. -----------4分
综上，不等式的解集为. -----------5分
（II） 由于均为正实数，所以，
-----------7分
而，
当且仅当，即时取等号. -----------9分
故. -----------10分
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