2017_2018学年高中数学第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.2习题精选北师大版必修5.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1.2　余弦定理 课后篇巩固探究 A组 ‎1.在△ABC中,已知a=2,b=3,cos C=,则边c长为 (　　)‎ A.2 B‎.3 ‎C. D.‎ 解析:因为c2=a2+b2-2abcos C=22+32-2×2×3×=9,所以c=3.‎ 答案:B ‎2.在△ABC中,若C=60°,c2=ab,则三角形的形状为 (　　)‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 解析:因为在△ABC中,C=60°,c2=ab,所以c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=ab,所以a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形,故选C.‎ 答案:C ‎3.已知△ABC的三边满足a2+b2=c2-ab,则△ABC的最大内角为(　　)‎ A.60° B.90° C.120° D.150°‎ 解析:由已知得,c2=a2+b2+ab,所以c>a,c>b,故C为最大内角.由cos C==-,得C=150°,故选D.‎ 答案:D ‎4.在△ABC中,若a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的直径为(　　)‎ A.4 B‎.6 ‎C.5 D.6‎ 解析:因为S△ABC=acsin B=·c·sin 45°=c=2,‎ 所以c=4.‎ 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=1+32-2×1×4=25,所以b=5.‎ 所以△ABC外接圆直径2R==5.‎ 答案:C 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5.已知在△ABC中,a比b大2,b比c大2,最大角的正弦值是,则△ABC的面积是(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:因为a=b+2,b=c+2,所以a=c+4,A为最大角,所以sin A=.‎ 又A>B>C,所以A=120°,‎ 所以cos A=-,即=-,‎ 所以(c+2)2+c2-(c+4)2=-c(c+2),解得c=3.‎ 所以a=7,b=5,c=3,A=120°.‎ S△ABC=bcsin A=×5×3×.‎ 答案:A ‎6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=‎2a,b=4,cos B=,则c=　　　　　. ‎ 解析:因为cos B=,由余弦定理得42=a2+(‎2a)2‎-2a×‎2a×,解得a=2,所以c=4.‎ 答案:4‎ ‎7.设△ABC的内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且3b2+‎3c2‎-3a2=4bc,则sin A的值为　　　　　. ‎ 解析:由已知得b2+c2-a2=bc,于是cos A=,从而sin A=.‎ 答案:‎ ‎8.已知在△ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,则=　　　　　. ‎ 解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB,‎ 则=ca·cos B=ca·‎ ‎=(a2+c2-b2)=(52+72-62)=19.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案:19‎ ‎9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.‎ ‎(1)求a,c的值;‎ ‎(2)求sin(A-B)的值.‎ 解(1)由b2=a2+c2-2accos B,‎ 得b2=(a+c)2‎-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.‎ ‎(2)在△ABC中,sin B=,‎ 由正弦定理得sin A=.‎ 因为a=c,所以A为锐角,‎ 所以cos A=.‎ 因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.‎ ‎10.导学号33194039已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量p=(sin A-cos A,1-sin A),q=(2+2sin A,sin A+cos A),p与q是共线向量,且≤A≤.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若sin C=2sin B,且a=,试判断△ABC的形状,并说明理由.‎ 解(1)因为p∥q,所以(sin A-cos A)(sin A+cos A)-2(1-sin A)(1+sin A)=-cos ‎2A-2cos‎2A=0,所以1+2cos ‎2A=0,所以cos ‎2A=-.‎ 因为≤A≤,所以≤‎2A≤π,所以‎2A=,所以A=.‎ ‎(2)△ABC是直角三角形.理由如下:‎ 由cos A=,a=及余弦定理得b2+c2-bc=3.‎ 又sin C=2sin B,由正弦定理得c=2b.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 联立可得解得 所以a2+b2=()2+12=4=c2,所以△ABC是直角三角形.‎ B组 ‎1.在△ABC中,若△ABC的面积S=(a2+b2-c2),则C=(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:由S=(a2+b2-c2),得absin C=×2abcos C,‎ 所以tan C=1,又C∈(0,π),所以C=.‎ 答案:A ‎2.在△ABC中,若sin A-sin A·cos C=cos Asin C,则△ABC的形状是(　　)‎ A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:由正弦定理、余弦定理,知sin A-sin Acos C=cos Asin C可化为a·c,整理,得a=b,所以△ABC是等腰三角形,选B.‎ 答案:B ‎3.已知△ABC各角的对边分别为a,b,c,满足≥1,则角A的范围是(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析:将不等式≥1两边同乘以(a+c)(a+b)整理得,b2+c2-a2≥bc,所以cos A=,所以00),从而a=,b=k,c=k,由余弦定理得cos C=,又因为C∈(0,π),所以C=,所以角C的大小是.‎ 答案:‎ ‎7.导学号33194041在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan C=3.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)求cos C的值;‎ ‎(2)若,且a+b=9,求c.‎ 解(1)因为tan C=3,所以=3,‎ 又因为sin‎2C+cos‎2C=1,解得cos C=±,‎ 由tan C>0知,C为锐角,所以cos C=.‎ ‎(2)由,得abcos C=,即ab=20.‎ 又因为a+b=9,则a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41.‎ 由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=41-2×20×=36,故c=6.‎ ‎8.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.‎ 解(1)由余弦定理知,cos B=,cos C=.‎ 将上式代入=-,得=-,整理得a2+c2-b2=-ac.‎ 所以cos B==-=-.‎ 因为B为三角形的内角,所以B=.‎ ‎(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accos B,即b2=(a+c)2‎-2ac-2accos B得,‎ ‎13=16‎-2ac,所以ac=3.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以S△ABC=acsin B=.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费