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自我检测(五) 四边形
(时间：60分钟 分值：90分)
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(2017·乌鲁木齐)如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是(C)
A．4 B．5 C．6 D．7
2．下列说法正确的是(D)
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
3．(2017·黑龙江)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是(C)
A．22 B．20 C．22或20 D．18
第4题图
4．(2017·西宁)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为(D)
A．5 B．4 C. D.
5．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为(A)
A．－4＋4 B．4＋4
C．8－4 D.＋1
(导学号 12734090)
第5题图
第6题图
6．(2017·常州)如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，则点C的坐标是(A)
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A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)
二、填空题(每小题4分，共24分)
7．(2017·绥化)一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是七边形．
8．如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE＝5，DF＝10，则平行四边形ABCD的面积等于80.
第8题图
第9题图
9．(2017·孝感)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为.
(导学号 12734091)
10．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为6.
第10题图
第11题图
11．(2017·凉山州)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于点F.则四边形AFBD的面积为12.
第12题图
12．(2017·哈尔滨)如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E.若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为.
三、解答题(共42分)
13．(2017·大连6分)如图，在▱ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥
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AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE＝CF.
第13题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAC＝∠DCA，
∴180°－∠BAC＝180°－∠DCA，∴∠EAB＝∠FCD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
在△BEA和△DFC中，
∴△BEA≌△DFC(AAS)，∴AE＝CF.
第14题图
14．(2017·云南8分)如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.
(1)证明：∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，
Rt△ACD中，DF＝AC＝AF，
又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，
∴四边形AEDF是菱形；
第14题解图
(2)解：如解图，连接EF，交AD于点O，
∵菱形AEDF的周长为12，
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∴AE＝3，设EF＝x，AD＝y，
则x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49①，
∵AD⊥EF于点O，
∴Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，∴(y)2＋(x)2＝32，即x2＋y2＝36②，把②代入①，可得2xy＝13，
∴xy＝，∴菱形AEDF的面积S＝xy＝.
第15题图
15．(2017·凉州区改编8分)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)当EF的长为时．四边形BEDF是菱形．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
第16题图
16．(2017·达州10分)如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F.
(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(2)连接AE、AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
解：(1)∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，
∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；
∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°，
∴∠ECF＝90°，
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在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；
第16题解图
(2)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如解图，
当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
第17题图
17．(2017·海南10分)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G.
(1)求证：△CDE≌△CBF；
(2)当DE＝时，求CG的长；
(3)连接AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．
(导学号 12734092)
(1)证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠CBF＝180°－∠ABC＝90°，∠DCE＋∠ECB＝∠DCB＝90°，
∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，
∴∠BCF＋∠ECB＝∠ECF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，
在△CDE和△CBF中，
∴△CDE≌△CBF；
(2)解：在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF，∴＝，
由(1)知，△CDE≌△CBF，∴BF＝DE＝，
∵正方形的边长为1，
∴AF＝AB＋BF＝，AE＝AD－DE＝，
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∴＝，∴BG＝，∴CG＝BC－BG＝；
(3)解：不能，
理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE＝CG，∴AD－AE＝BC－CG，
∴DE＝BG，由(1)知，△CDE≌△CBF，
∴DE＝BF，CE＝CF，
∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，
∴∠GFB＝45°，∠CFE＝45°，
∴∠CFA＝∠GFB＋∠CFE＝90°，
此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，
∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能为平行四边形．
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