2018届广东省江门市高考数学一轮复习 专项检测试题13 数列（2）.doc

数列02‎ ‎19．如图，是曲线 上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .‎ ‎(Ⅰ) 写出；‎ ‎(Ⅱ)求出点的横坐标关于的表达式；‎ ‎(Ⅲ)设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】 (Ⅰ) .‎ ‎(Ⅱ)依题意，则 ‎，‎ 在正三角形中，有 ‎ .‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎ ， ①‎ 同理可得 . ②‎ ‎①-②并变形得 ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ . ‎ ‎∴数列是以为首项，公差为的等差数列.‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎. ‎ ‎(Ⅲ)解法1 ：∵， ‎ ‎∴.‎ ‎.‎ ‎∴当时，上式恒为负值，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴数列是递减数列. ‎ 的最大值为. ‎ 若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立.‎ ‎ 设，则且，‎ ‎∴‎ 解之，得 或，‎ 即的取值范围是.‎ ‎20．在数列中，，。‎ ‎(Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ）令，求数列的前项和。‎ ‎(Ⅲ）求数列的前项和。‎ ‎【答案】（Ⅰ）由条件得，又时，，‎ ‎　　　故数列构成首项为1，公式为的等比数列．从而，即．‎ ‎(Ⅱ）由得，‎ ‎，‎ 两式相减得 ： ， 所以 ．‎ ‎(Ⅲ）由得 ‎　　　  ‎ ‎　　　所以．‎ ‎21．设为数列的前项之积，满足．‎ ‎(1)设，证明数列是等差数列，并求和；‎ ‎(2)设求证：．‎ ‎【答案】(1)∵，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴， ‎ ‎ ∵ ∴.‎ ‎ ∵∴，∴，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，‎ ‎ ∴，‎ ‎∴，‎ ‎ ∴‎ ‎(2)，‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ ，‎ ‎ 当时，，‎ ‎ ∴.‎ ‎22．已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎(1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎(2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎(2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ ‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ ‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。 ∴ 。‎