空间几何体02
解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：
(1)C，D，F，E四点共圆；
(2)GH2＝GE·GF.
【答案】 (1)连接CB，
∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，
又∵∠EAG＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠AEG.
∵∠ADC＝180°－∠ABC
＝180°－∠AEG＝∠CEF，
∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°，
∴C，D，F，E四点共圆．
(2)由C，D，F，E四点共圆，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，
∴△GCE∽△GFD，
故＝，即GC·GD＝GE·GF.
∵GH为圆的切线，GCD为割线，
∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.
18．如图，在四梭锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD =2，AB＝1.点M线段PD的中点．
(I）若PA＝2，证明：平面ABM ⊥平面PCD；
(II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．
【答案】 (Ⅰ)∵平面，.
∵点M为线段PD的中点，PA= AD =2，.
又∵平面，.
平面.
又平面，
∴平面⊥平面.
(Ⅱ)设点B到平面PCD的距离为.
∵AB∥CD, ∴AB∥平面PCD.
∴点B到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等.
过点A在平面PAD内作AN⊥PD于N,
平面⊥平面，平面.
所以AN就是点A到平面PCD的距离.
设棱锥的高为，则AN=.
在△中，.
.
因为，当且仅当，即时，等号成立.
故.
19．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．
(1）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；
(2）当AD的长等于多少时？二面角B1 －DC－C1的大小为60°．
【答案】(1）∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，∴B1C1⊥A1C1．
又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1．
∴B1C1⊥CD． ①
由D为中点可知，，∴DC2＋DC12＝CC12，即CD⊥DC1．②
由①②可知CD⊥平面B1C1D，又平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D．
(2）由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥平面CD，交CD或延长线于E，连接EB1．
由三垂线定理可知∠B1EC1为二面角B1 －DC－C1的平面角，∴∠B1EC1＝60°．
由B1C1＝2，知，设AD＝x，则．
∵△DCC1的面积为1，∴，解得，即．
20．如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为
内的一条直线，，求斜线和平面所成角
【答案】∵，由斜线和平面所成角的定义可知，为和所成角，
又∵，
∴，
∴，即斜线和平面所成角为．
21．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足．
(1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？
(2）若平面与平面所成的二面角为，试确定点的位置．
【答案】(1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
平面ABC的一个法向量为则 (*）
于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，
.
(2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为
，设平面PMN的一个法向量为，.
由得 ，解得.
令于是由
，
解得的延长线上，且.
22．已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ABC是直角三角形.
【答案】证明:
为直角三角形.
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