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专题六 二次函数与综合应用
一、选择题
1．(2017哈尔滨中考)抛物线y＝－－3的顶点坐标是( B )
A. B.
C. D.
2．(2017丽水中考)将函数y＝x2的图像用下列方法平移后，所得的图像不经过点A(1，4)的方法是( D )
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度
C．向上平移3个单位长度
D．向下平移1个单位长度
3．(2017绵阳中考)将二次函数y＝x2的图像先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图像与一次函数y＝2x＋b的图像有公共点，则实数b的取值范围是( D )
A．b＞8 B．b＞－8
C．b≥8 D．b≥－8
4．(2017南充中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图像如图所示，下列结论错误的是( D )
A．4ac＜b2 B．abc＜0
C．b＋c＞3a D．a＜b
(第4题图) (第5题图)
5．(2017达州中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图，则一次函数y＝ax－2b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图像大致是( C )
,A) ,B),C) ,D)
6．已知二次函数y＝x2－x＋a(a＞0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，
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那么下列结论中正确的是( B )
A．m－1的函数值小于0
B．m－1的函数值大于0
C．m－1的函数值等于0
D．m－1的函数值与0的大小关系不确定
7．(2017考试说明)小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x2－4x＋5的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x的值，小亮负责找值为0时x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是( C )
A．小明认为只有当x＝2时，x2－4x＋5的值为1
B．小亮认为找不到实数x，使x2－4x＋5的值为0
C．小梅发现x2－4x＋5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值
D．小花发现当x取大于2的实数时，x2－4x＋5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值
8．(2017舟山中考)下列关于函数y＝x2－6x＋10的四个命题：①当x＝0时，y有最小值10；②n为任何实数，x＝3＋n时的函数值大于x＝3－n时的函数值；③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n＋1时，y的整数值有(2n－4)个；④若函数图像过点(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a＞0，b＞0，则a＜b.其中真命题的序号是( C )
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题
9．(荆门中考)若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m＋6，n)，则n＝__9__．
10．(兰州中考)如图所示，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，且点B的坐标为(2，0)．若抛物线y＝x2＋k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是__－2＜k＜__．
11．军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)的关系满足y＝－x2＋10x，经过__50__s，炮弹落在地上爆炸．
12．(2017咸宁中考)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是__x＜－1或x＞4__．
(第12题图) (第13题图)
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13．(2017乌鲁木齐中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(－1，0)，且对称轴为直线x＝1，有下列结论：
①abc＜0；②10a＋3b＋c＞0；③抛物线经过点(4，y1)与点(－3，y2)，则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤am2＋bm＋a≥0，其中所有正确的结论是__②④⑤__．
14．(2017考试说明)定义[a，b，c]为函数y＝ax2＋bx＋c的特征数，下面给出特征数为[2m，1－4m，2m－1]函数的一些结论：①当m＝时，函数图像的顶点坐标是；②当m＝－1时，函数在x＞1时，y随x增大而减小；③无论m取何值，函数图像都经过同一个点．其中所有的正确结论为__①③__．(填写正确结论序号)
三、解答题
15．(2017孝感中考)在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a(x－h)2＋k的伴随直线为y＝a(x－h)＋k.例如：抛物线y＝2(x＋1)2－3的伴随直线为y＝2(x＋1)－3，即y＝2x－1.
(1)在上面规定下，抛物线y＝(x＋1)2－4的顶点坐标为__(－1，－4)__，伴随直线为__y＝x－3__；抛物线y＝(x＋1)2－4与其伴随直线的交点坐标为__(0，－3)__和__(－1，－4)__；
(2)如图，顶点在第一象限的抛物线y＝m(x－1)2－4m与其伴随直线相交于点A，B(点A在点B的左侧)，与x轴交于点C，D.
①若∠CAB＝90°，求m的值；
②如果点P(x，y)是直线BC上方抛物线的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．
解：①∵抛物线表达式为y＝m(x－1)2－4m，
∴其伴随直线为y＝m(x－1)－4m，即y＝mx－5m，
联立抛物线与伴随直线的表达式可得解得或
∴A(1，－4m)，B(2，－3m)，
在y＝m(x－1)2－4m中，令y＝0可解得x＝－1或x＝3，
∴C(－1，0)，D(3，0)，
∴AC2＝4＋16m2，AB2＝1＋m2，BC2＝9＋9m2，
∵∠CAB＝90°，
∴AC2＋AB2＝BC2，即4＋16m2＋1＋m2＝9＋9m2，解得m＝(抛物线开口向下，舍去)或m＝－，
∴当∠CAB＝90°时，m的值为－；
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②设直线BC的表达式为y＝kx＋b，∵B(2，－3m)，C(－1，0)，∴解得
∴直线BC表达式为y＝－mx－m，
过P作x轴的垂线交BC于点Q，如答图，
∵点P的横坐标为x，
∴P[x，m(x－1)2－4m]，Q(x，－mx－m)，
∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，
∴PQ＝m(x－1)2－4m＋mx＋m＝m(x2－x－2)＝m，
∴S△PBC＝×[(2－(－1)]PQ＝m－m，∴当x＝时，△PBC的面积有最大值－m.
∴S取得最大值时，即－m＝，解得m＝－2.
16．(2017广安中考)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴相交于点A(0，3)，与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1.
(1)求此抛物线的表达式以及点B的坐标；
(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M，N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t s.
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形；
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，∴－＝1，解得b＝2，
∵抛物线过A(0，3)，∴c＝3，∴抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3，
令y＝0可得－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或x＝3，∴B点坐标为(3，0)；
(2)①由题意可知ON＝3t，OM＝2t，∵P在抛物线上，∴P(2t，－4t2＋4t＋3)，∵四边形OMPN为矩形，∴ON＝PM，∴3t＝－4t2＋4t＋3，解得t＝1或t＝－(舍去)，∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
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②∵A(0，3)，B(3，0)，∴OA＝OB＝3，且可求得直线AB表达式为y＝－x＋3，∴当t＞0时，OQ≠OB.∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB＝QB或OQ＝BQ两种情况，由题意可知OM＝2t，∴Q(2t，－2t＋3)，∴OQ＝＝，BQ＝＝|2t－3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB＝QB时，则有|2t－3|＝3，解得t＝(舍去)或t＝；
当OQ＝BQ时，则有＝|2t－3|，解得t＝.
综上可知，当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．
17．(河北中考)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x(吨)时，所需的全部费用y(万元)与x满足关系式y＝x2＋5x＋90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲、p乙(万元)均与x满足一次函数关系．(注：年利润＝年销售额－全部费用)
(1)成果表明，在甲地生产并销售x吨时，p甲＝－x＋14，请用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w甲(万元)与x之间的函数关系式；
(2)成果表明，在乙地生产并销售x吨时，p乙＝－x＋n(n为常数)，且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值；
(3)受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据(1)、(2)中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
[参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是]
解：(1)甲地当年的年销售额为万元；
w甲＝－＝－x2＋9x－90；
(2)在乙地区生产并销售时，年利润w乙＝－x2＋nx－＝－x2＋(n－5)x－90.
由＝＝35，解得n＝15或－5.
经检验，n＝－5不合题意，舍去，∴n＝15；
(3)在乙地区生产并销售时，年利润w乙＝－x2＋10x－90，
将x＝18代入上式，得w乙＝25.2(万元)；
将x＝18代入w甲＝－x2＋9x－90，得w甲＝23.4(万元)．∵w乙＞w甲，∴应选乙地．
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