2018年鄂尔多斯中考数学热点小专题(5)四边形的有关计算与证明.doc

莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 热点小专题(五) 四边形的有关计算与证明 ‎　　　　　　　　　 　　　　　　 　　‎ ‎1．如图R5－1，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN.‎ ‎(1)求证：四边形AMDN是平行四边形．‎ ‎(2)当AM为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．‎ 图R5－1‎ ‎2．已知：如图R5－2，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.‎ ‎(1)若CE＝1，求BC的长；‎ ‎(2)求证：AM＝DF＋ME.‎ 图R5－2‎ ‎3．如图R5－3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.‎ ‎(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；‎ ‎(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 图R5－3‎ ‎4．如图R5－4，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE＝1，∠AEP＝90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F.‎ ‎(1)的值为________；‎ ‎(2)求证：AE＝EP；‎ ‎(3)在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．‎ 图R5－4‎ ‎5．已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.‎ ‎(1)如图①，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；‎ ‎(2)如图②，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合)，求证：BE＝CF；‎ ‎(3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．‎ 图R5－5‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎6．如图R5－6，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6 ，∠BAD＝60°，且AB＞6 .‎ ‎(1)求∠EPF的大小；‎ ‎(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；‎ ‎(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．‎ 图R5－6‎ ‎7．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B、C不重合)，以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k＞1)，EF∥BC．‎ ‎(1)求∠D的度数；‎ ‎(2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.‎ ‎①如图R5－7，连接GH、AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；‎ ‎②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP＝AD，求k的值．‎ 图R5－7‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 参考答案 ‎1．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM.∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.‎ ‎∵点E是AD中点，∴DE＝AE.‎ ‎∴△NDE≌△MAE，∴ND＝MA.‎ ‎∴四边形AMDN是平行四边形．‎ ‎(2)AM＝1.理由如下：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2.‎ 若平行四边形AMDN是矩形，‎ 则DM⊥AB，即∠DMA＝90°.‎ ‎∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°.‎ ‎∴AM＝AD＝1.‎ ‎2．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，BC＝CD，∴∠1＝∠ACD.‎ 又∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，‎ ‎∴MC＝MD.又∵ME⊥CD，‎ ‎∴CE＝ED＝CD，∴BC＝CD＝2CE＝2.‎ ‎(2)证明：延长DF、AB交于点N.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠FCM＝∠ECM.‎ 又∵F为边BC的中点，‎ ‎∴CF＝BF.‎ 由(1)可知CE＝ED＝CD，‎ ‎∴△CMF≌△CME，∴MF＝ME.‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2＝∠N，∠NBF＝∠DCF.‎ 又∵BF＝CF，∴△CDF≌△BNF，∴NF＝DF.‎ 又∵∠1＝∠2，∴∠N＝∠1，‎ ‎∴AM＝MN＝NF＋MF＝DF＋ME.‎ ‎3．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，AC⊥BD，‎ ‎∴AE∥CD，∠AOB＝90°，‎ ‎∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，‎ ‎∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，‎ ‎∴四边形ACDE是平行四边形；‎ ‎(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，‎ ‎∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5，‎ ‎∵四边形ACDE是平行四边形，‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，‎ ‎∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.‎ ‎4．解：(1) ‎(2)证明：在BA边上截取BK＝BE，连接KE.‎ ‎∵∠B＝90°，BK＝BE，‎ ‎∴∠BKE＝45°，∴∠AKE＝135°.‎ ‎∵CP平分正方形ABCD的外角，∴∠DCP＝45°，‎ ‎∴∠ECP＝135°，∴∠AKE＝∠ECP.‎ ‎∵AB＝BC，BK＝BE，∴AB－BK＝BC－BE.‎ 即：AK＝EC，易证∠KAE＝∠CEP.‎ 在△AKE和△ECP中， ‎∴△AKE≌△ECP(ASA)，∴AE＝EP.‎ ‎(3)存在．证明：作DM⊥AE与AB相交于点M，‎ 则有：DM∥EP，连接ME，DP，‎ 易证：△ADM≌△BAE，∴MD＝AE.∵AE＝EP，∴MD＝EP，∴四边形DMEP为平行四边形．‎ ‎5．解：(1)结论：AE＝EF＝AF.‎ 理由：如图①，连接AC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，‎ ‎∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，‎ ‎∴△ABC，△ADC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC＝∠DAC＝60°.‎ ‎∵BE＝EC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC，‎ ‎∵∠EAF＝60°，∴∠CAF＝∠DAF＝30°，∴AF⊥CD，‎ ‎∴AE＝AF(菱形的高相等)，‎ ‎∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF.‎ ‎(2)证明：如图②，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，‎ ‎∴∠BAE＝∠CAF，‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 在△BAE和△CAF中， ‎∴△BAE≌△CAF，∴BE＝CF.‎ ‎(3)如图③，过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，‎ ‎∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，‎ ‎∴∠AEB＝45°，‎ 在Rt△AGB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，‎ ‎∴BG＝2，AG＝2 ，‎ 在Rt△AEG中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°，‎ ‎∴AG＝GE＝2 ，∴EB＝EG－BG＝2 －2，‎ ‎∵△AEB≌△AFC，∴AE＝AF，EB＝CF＝2 －2，∠AEB＝∠AFC＝45°，‎ ‎∵∠EAF＝60°，AE＝AF，∴△AEF是等边三角形，‎ ‎∴∠AEF＝∠AFE＝60°，‎ ‎∵∠AEB＝45°，∠AEF＝60°，‎ ‎∴∠CEF＝∠AEF－∠AEB＝15°，‎ 在Rt△EFH中，∠CEF＝15°，∴∠EFH＝75°，‎ ‎∵∠AFE＝60°，∴∠AFH＝∠EFH－∠AFE＝15°，‎ ‎∵∠AFC＝45°，∠CFH＝∠AFC－∠AFH＝30°，‎ 在Rt△CHF中，∵∠CFH＝30°，CF＝2 －2，‎ ‎∴FH＝CF·cos30°＝(2 －2)·＝3－.‎ ‎∴点F到BC的距离为3－.‎ ‎6．解：(1)如图①，过点P作PG⊥EF于G.‎ ‎∵PE＝PF＝6，EF＝6 ，∴FG＝EG＝3 ，‎ ‎∠FPG＝∠EPG＝∠EPF.‎ 在Rt△FPG中，sin∠FPG＝＝＝.‎ ‎∴∠FPG＝60°，∴∠EPF＝2∠FPG＝120°.‎ ‎(2)作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，如图①.‎ ‎∵AC为菱形ABCD的对角线，‎ ‎∴∠DAC＝∠BAC，AM＝AN，PM＝PN.‎ 在Rt△PME和Rt△PNF中，PM＝PN，PE＝PF，‎ ‎∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴NF＝ME.‎ 又AP＝10，∠PAM＝∠DAB＝30°，‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎∴AM＝AN＝APcos30°＝10×＝5 .‎ ‎∴AE＋AF＝(AM＋ME)＋(AN－NF)＝AM＋AN＝10 .‎ ‎(3)如图②，当△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动时，点P在P1，P2之间运动，易知P1O＝P2O＝3，AO＝9，‎ ‎∴AP的最大值为12，AP的最小值为6.‎ ‎7．解：(1)∵AB2＋AC2＝100＝BC2，∴∠BAC＝90°，‎ ‎∵△DEF∽△ABC，∴∠D＝∠BAC＝90°.‎ ‎(2)①四边形AGDH为正方形，‎ 证明：如图①，‎ 延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，‎ ‎∵△DEF∽△ABC，∴∠B＝∠E，∵EF∥BC，∴∠E＝∠EMC，∴∠B＝∠EMC，∴AB∥DE，‎ 同理：DF∥AC，∴四边形AGDH为平行四边形，‎ ‎∵∠D＝90°，∴四边形AGDH为矩形，‎ ‎∵GH⊥AD，∴四边形AGDH为正方形；‎ ‎②当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，‎ 理由：如图②，‎ 点D在内部时(N在△ABC内部或BC边上)，‎ 延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，‎ ‎∴矩形GNMA的面积大于矩形AGDH的面积，‎ ‎∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，‎ 只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，‎ 如图③，‎ 点D在BC上，‎ ‎∵DG∥AC，∴△BGD∽△BAC，‎ ‎∴＝，∴＝，‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎∴＝，∴AH＝8－GA，‎ S矩形AGDH＝AG×AH＝AG×(8－AG)＝‎ ‎－AG2＋8AG，‎ 当AG＝－＝3时，S矩形AGDH最大，此时，DG＝AH＝4，‎ 即：当AG＝3，AH＝4时，S矩形AGDH最大，‎ 在Rt△BGD中，BD＝5，∴DC＝BC－BD＝5，‎ 即点D为BC的中点，‎ ‎∵AD＝BC＝5，∴PA＝AD＝5，‎ 延长PA交BC于点Q，∵EF∥BC，QP⊥EF，‎ ‎∴QP⊥BC，∴PQ是EF，BC之间的距离，‎ 在△ABC中，AB×AC＝BC×AQ，‎ ‎∴AQ＝4.8，‎ ‎∵△DEF∽△ABC，∴k＝＝＝.‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎