人教版初中数学竞赛专题复习 第1章 实数（含答案）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第一篇代数 第1章实数 ‎1．1实数的运算 ‎1．1．1★计算：‎ ‎．‎ 解析 将及分别分解为两数的积，得 ‎，‎ ‎，‎ 所以，原式．‎ 评注 一般地有 ‎；；；…‎ ‎1.1.2‎‎★计算：‎ ‎．‎ 解析 原式．‎ ‎1.1.3‎‎★计算：．‎ 解析原式．‎ 评注 在做分数加减法运算时，根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把拆成，即有 ‎．‎ 其他常用的拆项方法如：‎ ‎(1)．它经常用于分母各因子成等差数列，且公差为的情形．‎ ‎(2)．‎ ‎1.1.4‎‎★计算：．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析原式 ‎．‎ ‎1.1.5‎‎★★计算：‎ ‎．‎ 解析 因为，所以 原式 ‎．‎ ‎1.1.6‎‎★★计算：．‎ 解析 因为 ‎，‎ 所以 原式 ‎．‎ ‎1.1.7‎‎★★设，求与最接近的正整数．‎ 解析 对于正整数，有 ‎，‎ 所以 ‎．‎ 因为，所以，与最接近的正整数为25．‎ ‎1.1.8‎‎★★2008加上它的得到一个数，再加上所得的数的又得到一个数，再加上这次得数的 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又得到一个数，…，依此类推，一直加到上一次得数的．最后得到数为 ‎．‎ ‎1.1.9‎‎★计算：‎ ‎．‎ 解析 因为 ‎，‎ 所以 ‎．‎ ‎1.1.10‎‎★计算：‎ ‎．‎ 解析 ‎ ‎1.1.11‎‎★★计算：‎ ‎．‎ 解析 因为 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎，‎ 所以 ‎ ‎．‎ ‎1.1.12‎‎★★计算：．‎ 解析 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ ‎1.1.13‎‎★★计算：．‎ 解析 设，则 ‎，‎ 所以，‎ 故．‎ 评注 一般地，对于求和：，我们常常采用如下方法，令 ‎，‎ 则，‎ 于是，‎ ‎．‎ ‎1.1.14‎‎★★计算：．‎ 解析 设，则，所以 ‎，．‎ ‎1.1.15‎‎★计算：‎ ‎．‎ 解析 设，‎ ‎，‎ 则原式．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1.1.16‎‎★★计算下列繁分数：‎ ‎（2008个减号）．‎ 解析 先耐心地算几步，从中发现规律．可将用字母代替（这样可以得到更一般的结论）．自下而上逐步算出 ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 由此可见，每计算3步，又重新出现，即3是一个周期．而，所以，原式．特别地，在时，得出本题的答案是．‎ ‎1.1.17‎‎★★比较与2的大小．‎ 解析先将中的每一个数拆成两数的差：‎ ‎，，，‎ ‎，，．‎ 所以，‎ ‎＝，‎ 好 ‎1.1.18‎‎★★★已知 ‎，问：的整数部分是多少？‎ 解析 我们只要估算出在哪两个相邻整数之间即可．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 这里，‎ 下面进一步估计介于哪两个相邻整数之间．‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以，，．‎ 即的整数部分是101．‎ ‎1.1.19‎‎★★在数，，，，，，，的前面分别添加“”或“”，使它们的和为1，你能想出多少种方法？‎ 解析 这8个有理数的分母都是10，只要2，3，4，5，6，7，8，9这8个整数的代数和为10即可，而，所以添加“”或“”后，正数的和应为．‎ 方法很多．如 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 等．‎ ‎1.1.20‎‎★★计算 ‎．‎ 解析 因为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 所以，原式等于 ‎．‎ ‎1.1.21‎‎★★★求和：．‎ 解析因为，所以 ‎，‎ 原原式 ‎．‎ ‎1.1.22‎‎★★已知，其中为正整数，证明：‎ ‎．‎ 解析 注意到 ‎，‎ 所以 ‎．‎ ‎1.1.23‎‎★★★求下列分式的值：．‎ 解析 由于 ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由此，‎ 原式 ‎．‎ 评注 对通项的分子分母同乘2，发现可以首尾配对是本题的关键．‎ ‎1.1.24‎‎★★设，求的整数部分．‎ 解析 对于，，，，因为 ‎，‎ 所以 ‎，‎ 于是有，故的整数部分等于4．‎ ‎1.2实数与数轴 ‎1.2.1‎‎★数、在数轴上对应的点如图所示，试化简．‎ 解析 由图可知，，而且由于点离原点的距离比点离原点的距离大，因此．我们有 ‎．‎ 评注本题由图，即数轴上、两点的位置，“读”得，，等条件，从而去掉绝对值符号，解决问题．‎ ‎1.2.2‎‎★已知，化简：．‎ 解析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．‎ 原式（因为）‎ ‎（因为）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ ‎1.2.3‎‎★若，化简．‎ 解析因为，所以，从而 ‎，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 因此，原式．‎ 评注 根据所给的条件，先确定绝对值符号内的代数式的正负，然后化去绝对值符号．若有多层绝对值符号，即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号（如本题中的分子），通常从最内层开始，逐层向外化去绝对值符号．‎ ‎1.2.4‎‎★化简：．‎ 解析 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简，只要考虑的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们是分是一个分界点．类似地，对于而言，是一个分界点．为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点和标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图所示），即 ‎，，．‎ 这样我们就可以分类讨论化简了．‎ ‎（1）当时，‎ 原式；‎ ‎（2）当时，‎ 原式；‎ ‎（3）当时，‎ 原式．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即 评注 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数成分几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．‎ ‎1.2.5‎‎★设，且，试化简 ‎．‎ 解析 因为，，所以．，即，所以 ‎，，‎ 因此 ‎．‎ ‎1.2.6‎‎★★化简．‎ 解析 先找零点．‎ 由得．由即，得，‎ 从而或．由得．‎ 所以零点共有，，三个．因此，我们应将数轴分成4个部分，即 ‎，，，．‎ 当时，‎ 原式 ‎．‎ 当时，‎ 原式 ‎．‎ 当，‎ 原式 ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时，‎ 原式 ‎．‎ 即 原式 评注 由于本例中含又重绝对值，采用零点分段法时，不要忘了考虑的零点．‎ ‎1.2.7‎‎★★若的值恒为常数，求满足的条件及此常数的值．‎ 解析 要使原式对任何数恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含的项相加为零，即的系数之和为零，故本题只有一种情况．因此必须有且．故应满足的条件是 解得．‎ 此时，原式．‎ ‎1.2.8‎‎★★如果，且，求的最大和最小值．‎ 解析（1）当时，有 ‎，‎ 所以．‎ ‎（2）当时，有 ‎，‎ 所以．‎ 综上所述，的最值是3，最小值是．‎ ‎1.2.9‎‎★★求代数式的最小值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 设，根据绝对值的几何意义，我们知道表示数轴上对应的点到对应、、的点的距离之和，下面分类讨论：‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 因此，当时，取最小值25．‎ ‎1.2.10‎‎★★如果为有理数，求代数式的最小值．‎ 解析 分，，，，五个部分进行讨论．去掉绝对值符号，经过化简得到：‎ 当时，原式，最小值为17；‎ 当时，原式，最小值为15；‎ 当时，原式，是一固定值；‎ 当时，原式，最小值大于15；‎ 当时，原式，最小值大于15．‎ 综上所述，原代数式的最小值为15．‎ 评注 此题还可以用绝对值的向何意义求解．本题就是要在数轴上找一点，使它到、、1、3的距离之和最小．这一点显然应在与之间（包括这两点）的任意一点，它到、、、的距离之和为15，就是要求的最小值．‎ ‎1.2.11‎‎★★已知，，且 ‎，‎ 求的最大值和最小值．‎ 解析由题设条件知：，．‎ 于是，．所以 ‎（1）当时，有 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以 ．‎ ‎（2）当时，有 ‎，‎ 所以 ．‎ 因此，的最大值是为7，最小值为3．‎ ‎1.2.12‎‎★★已知 ‎，求的最大值．‎ 解析 首先使用“零点分段法”将化简，然后在各个取值范围内求出的最大值，再加以比较，从中选出最大者．‎ 有三个分界点：，，．‎ ‎（1）当时，，由于，所以，的最大值是．‎ ‎（2）当时，，由于，所以，的最大值是6．‎ ‎（3）当时，，由于，所以，的最大值是6．‎ ‎（4）当时，，由于，所以，的最大值是0．‎ 综上可知，当时，取得最大值为6．‎ ‎1.2.13‎‎★★★设，求 的最小值．‎ 解析 设、、、、在数轴上的对应点分别为、、、、，则表示线段之长，同理，，，分别表示线段，，之长，现要求，，，这和的值最小，就是要在数轴上找一点，使该点到、、、四点距离之和最小．‎ 因为，所以、、、的排列应如图所示：‎ 所以当在、之间时，距离和最小，这个最小值为，即．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1.2.14‎‎★★、为有理数，且，试求的值．‎ 解析 当时，由得，故此时．‎ 当时，由，得，故此时．‎ 所以，不管是还是，、中至少有一个为0，因此，．‎ ‎1.2.15‎‎★★若、、为整数，且，试计算的值．‎ 解析 因为、、均为整数，则，也应为整数，且，为两个非负整数，和为1，所以只能是 且， ①‎ 或者且． ②‎ 由①有且，于是；由②有且，于是．无论①或②都有 且，‎ 所以 ．‎ ‎1.2.16‎‎★★★将1，2，…，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为，另一个数记为，代入代数式中进行计算，求出其结果，50组都代入后可求得个值，求这50个值的和的最大值．‎ 解析 代数式的值就是、中的较大数，为保证所计算出的50个值之和最大，分组时不要把51，52，…，100这50个数中任两个分成一组即可．‎ 对于任意一组中的两个数、，不妨设，则代数式 ‎．‎ 于是这50个值之和与大数有关，所以，这50个值的和的最大值为 ‎．‎ ‎1.2.17‎‎★★★设个有理数，，…，满足 ‎，且 ‎，‎ 求的最小值．‎ 解析 先估计的下界，由，及，知 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 所以，．‎ 又当时，取 满足已知条件，所以，正整数的最小值为20．‎ ‎1.3实数的判定 ‎1.3.1‎‎★★证明循环小数是有理数．‎ 解析 要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．设 ‎， ①‎ 两边同乘以100得 ‎． ②‎ ‎②①得 ‎，‎ 所以 ．‎ 既然能写成两个整数比的形式，从而也就证明了是有理数．‎ ‎1.3.2‎‎★★已知是无理数，且是有理数，在上述假定下，分析下面四个结论是：‎ ‎（1）是有理数；‎ ‎（2）是无理数；‎ ‎（3）是有理数；‎ ‎（4）是无理数．‎ 哪些是正确的？哪些是错误的？‎ 解析 取无理数，这时 是有理数，而是无理数，故结论（1）不正确．仍取，仿上可知结论（3）不正确．由于 ‎，‎ 且是有理数，是无理数，故是无理数，即结论（2）正确．同样，由 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 知结论（4）正确．‎ ‎1.3.3‎‎★★求证：是有理数．‎ 解析 要证明所给的数能表示成（，为整数，）的形式，关键是要证明是完全平方数．‎ ‎，‎ 所以 ‎．‎ 因为与3均为整数，所以是有理数．‎ ‎1.3.4‎‎★★证明是无理数．‎ 解析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．‎ 假设不是无理数，则必为有理数．设（、是互质的正整数），两边平方有 ‎，①‎ 所以一定是偶数．设（是正整数），代入①得 ‎，，‎ 所以也是偶数．、均为偶数和与互质矛盾，所以不是有理数，于是是无理数．‎ 评注只要是质数，就一定是无理数，这个结论的证明并不困难，请自行完成．‎ ‎1.3.5‎‎★★设是正整数，是有理数，则必是完全平方数；反过来，如果是完全平方数，则是有理数（而且是正整数）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析第二个结论显然成立，下面证明第一个结论．因是有理数，故可设（、为互质的正整数），从而 ‎． ①‎ 我们知道，任何一个平方数的质因数分解式中，每一个质因数的指数都是正偶数（反过来也成立）；而非平方（自然）数的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数．由此可见，如果不是完全平方数，那么无论与有无相同的质因数，在的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数，即不是平方数．‎ 这样①式不可能成立．所以，是完全平方数．‎ 评注 本题是一个重要的结论，它可作为定理使用，读者应熟悉它．有了这个结论，可以立即断定、、等都是无理数．‎ ‎1.3.6‎‎★★设、及都是整数，证明：及都是整数．‎ 解析 由于负数不能开平方，故由题设知、都是非负整数．若或，易知结论成立．若、都是正整数，由，两边平方得 ‎，‎ 所以．‎ 由所设、及都整数，故是有理数，从而是平方数，故是整数，从而是整数．‎ ‎1.3.7‎‎★★求满足等式 的有理数、．‎ 解析 把原式两边立方，得 ‎．‎ 因、是有理数，故 解得，或，，易检验它们都满足原式．‎ ‎1.3.8‎‎★★求满足条件 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的正整数、、．‎ 解析将原式两边平方得 ‎．①‎ 显然，是无理数，假设是有理数，则是有理数，这与①式矛盾，所以必为无理数．‎ 由①式变形为 ‎．‎ 假设，则必为非零有理数，设为，即，所以有 ‎，‎ 两边平方得 ‎，‎ 所以．‎ 因为，所以是无理数，而是有理数，矛盾．所以 且．‎ 所以 又因为，所以，所以满足条件的正整数为：，，或，，．‎ ‎1.3.9‎‎★★若（其中、、、为有理数，为无理数），则，，反之，亦成立．‎ 解析 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．‎ 将原式变形为．若，则．‎ 因为是无理数，而是有理数，矛盾．所以必有，进而有．‎ 反之，显然成立．‎ 评注 本例的结论是一个常用的重要运算性质．‎ ‎1.3.10‎‎★★设与是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 假设是有理数，设其为，即 ‎．‎ 整理得 ．‎ 由‎1.3.9‎题知 ‎，，‎ 即，这与已知矛盾．所以原假设是有理数错误，故是无理数．‎ 评注 本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结论．解这样的问题时，可以先找到一个立足点，如本例以为有理数作为立足点，以其作为推理的基础．‎ ‎1.3.11‎‎★★★已知、是两个任意有理数，且，求证：与之间存在着无穷多个有理数（即有理数集具有稠密性）．‎ 解析 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．‎ 因为，所以，所以 ‎．‎ 设，显然是有理数（因为、为有理数）．因为，所以，同理可证．设，显然也是有理数，依此类推，设， 为任意正整数，则有，且为理数，所以在和 之间存在无穷多个有理数．‎ ‎1.3.12‎‎★★★已知在等式中，、、、都是有理数，是无理数，问：‎ ‎（1）当、、、满足什么条件时，是有理数；‎ ‎（2）当、、、满足什么条件时，是无理数．‎ 解析 （1）当，时，为有理数．‎ 当时，有 ‎，‎ 所以，只有当，即时，为有理数．‎ 故当，且；或，且时，为有理数．‎ ‎（2）当，，时，为无理数．‎ 当时，有 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故只有当，即时，为无理数．‎ 所以，当，，；或，，为无理数．‎ ‎1.3.13‎‎★★已知、是两个任意有理数，且，问是否存在无理数，使得成立？‎ 解析 因为，，所以 ‎，‎ 即． ①‎ 又因为，所以 ‎，‎ 即． ②‎ 由①，②有 ‎，‎ 所以．‎ 取 ‎．‎ 因为、是有理数，且，所以是无理数，即存在无理数，使得成立．‎ ‎1.3.14‎‎★★已知数的小数部分是，求 的值．‎ 解析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这类涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分（这是容易确定的），然后再寻求其小数部分的表示方法．‎ 因为，即，所以的整数部分为3．设，两边平方得 ‎，‎ 所以．‎ ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1.3.15‎‎★★已知：、是有理数，，且满足，试求的值．‎ 解析 将代入方程，得 ‎，‎ 化简，得．‎ 因为、都是有理数，则 解方程组，得所以．‎ 评注 本题应用到了性质：若、为有理数，为无理数，．‎ ‎1.3.16‎‎★★若为正整数，求证：‎ 必为无理数．‎ 解析 只需证为非完全平方数．而这只要证明它位于两个相邻的正整数的平方之间即可．‎ 因为，‎ 又因为，‎ 所以．‎ 而与是两个相邻的整数的完全平方数，它们之间一定没有完全平方数．因则对任意的正整数，数不可能是完全平方数，即必为无理数．‎ ‎1.3.17‎‎★★★若、是正整数，、是实数，问是否存在三个不的素数、、，满足，，？‎ 解析 假设存在三个不同的素数、、，满足，，．其中，、为实数，、是正整数．‎ 消去、，得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 即． ①‎ ‎①式的两边立方，得 ‎．②‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 将①式中的代入②式，得 ‎．‎ 但是是无理数，故上面等式有矛盾．因此，不存在在个不同的素数、、，满足，，．‎ ‎1.3.18‎‎★★★★设是的个位数字，，2，3，…，求证：．是有理数．‎ 解析 有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．‎ 计算的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…．发 现：，，，，…，于是猜想：，若此式成立，说明是由20个数字组成循环节的循环小数，即 ‎．‎ 下面证明．‎ 令，当是10的倍数时，表明与有相同的个位数，而 ‎．‎ 由前面计算的若干值可知：是10的倍数，故成立，所以是一个有理数．‎ ‎1.3.19‎‎★★已知、、、均为有理数，如果它们中有三个数相等，求、的值．‎ 解析 依题意，，否则无意义．‎ 若，则，矛盾．‎ 所以．‎ 若，则由或都得到，矛盾．所以．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因此，三个相等的代数式只能是：‎ ‎（1）或（2）．‎ 由得．‎ 当时，由（1）得，矛盾；由（2）得，矛盾．所以．‎ 当时，由（1）得，，．‎ 由（2）得，，．‎ 所以，．‎ ‎1.3.20‎‎★★★表示不超过实数的最大整数，令．‎ ‎（1）找出一个实数满足；‎ ‎（2）证明：满足上述等式的，都不是有理数．‎ 解析 设，，，，则、是整数，，．由题设，所以，‎ ‎，‎ ‎．‎ 令，则，再验证它满足 ‎．‎ ‎（1）取，则，于是，，所以 ‎．‎ ‎（2）设，，其中、是整数，，．则，．于是 ‎，‎ ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时，，均不满足 ‎．‎ 当时，若 ‎，‎ 其中为正整数，则 ‎．‎ 由于，且与同奇偶，所以 或均不可能．故不是完全平方数，从而是无理数．‎ ‎1.3.21‎‎★★★★设、是实数，对所有正整数，都是有理数，证明：是有理数．‎ 解析 由题意，，，，…都是有理数．而有如下“递推关系”：‎ ‎，‎ 所以 ‎，‎ ‎，‎ 从中解出即可．‎ 设，，则有 ‎，‎ ‎，‎ 消去，得 ‎．‎ 所以，当，即时，‎ 是有理数．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时，若、全为0，则结论成立；若、中恰有一个为0，不妨设，则为有理数，从而为有理数；若，且、均不为0，则 是有理数．‎ 从而命题得证．‎ 评注 本题分析中给出的递推关系：非常重要．遇到涉及类型的问题时，利用这一递推关系，可以帮助我们解题．‎ ‎1.3.22‎‎★★★★设是给定的正有理数．‎ ‎（1）若是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数、、，使得 ‎；‎ ‎（2）若存在3个正有理数、、，满足 ‎．‎ 证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形的三边长，、、都是有理数，且，．‎ 若，则，．这与、、都是有理数的假定矛盾，故．‎ 不妨设，取，，，则、、都是正有理数，且 ‎，‎ ‎．‎ ‎（2）设三个正有理数、、满足，则．取，，，则、、都是正有理数，且 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 即存在一个三边长、、都是正有理数的直角三角形，它的面积等于． ‎ 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