第2章代数式-1.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第2章 代数式 ‎2.1整式的运算 ‎2.1.1‎‎★化简，其中为大于1的事数．‎ 解析 原式．‎ 评注 本例可推广为一个一般的形式：‎ ‎．‎ ‎2.1.2‎‎★计算 ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 解析 （2）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．‎ 原式 ‎．‎ ‎（2）的结果是，这个结果与多项式相乘时，不能直接应用公式，但 与前两个因式相乘的结果相乘时就可以利用差的立方公式了．‎ 原式 ‎．‎ ‎2.1.3‎‎★设，，求用去除所得的商及余式．‎ 解析1用普通的竖式除法 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因此，所求的商，余式．‎ 解析2 用待定系数法 由于为3次多项式，首项系数为1，而为次，首项系数为3，故商必为1次，首项系数必为，而余式次数小于2，于是可设商式，余式．‎ 根据，得 ‎．‎ 比较两端系数，得 ‎ ‎ 解得，，，故商式，余式．‎ ‎2.1.4‎‎★已知当时，代数式的值为4，求当时，代数式的值．‎ 解析 比较两个代数式，发现它们的相同与不同．‎ 当时，‎ ‎．‎ ‎2.1.5‎‎★若，且，试求的值．‎ 解析 ，，代入 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 得，故，，所以．‎ ‎2.1.6‎‎★★试确定和，使能被整除．‎ 解析 由于，因此，若设 ‎，‎ 假如能被整除，则和必是的因式，因此，当时，，即 ‎，①‎ 当时，，即 ‎，②‎ 由①，②联立，则有 ‎2.1.7‎‎★若，求的值．‎ 解析，‎ 所以，．‎ ‎．‎ ‎2.1.8‎‎★将表示成的形式．‎ 解析 ‎ ‎．‎ ‎2.1.9‎‎★已知，求的值．‎ 解析1 由，有 ‎．‎ 解析2由，有 ‎．‎ 评注 解析1是应用拆项法；解析2是应用降次法．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 这两种方法在整式恒等变形中常用．‎ ‎2.1.10‎‎★★已知，，，求的值．‎ 解析 因为，所以 ‎，‎ 所以．‎ 所以 ‎．‎ ‎2.1.11‎‎★★若，，求的值．‎ 解析 把两个方程相加，得，于是有 ‎，‎ 故或．‎ ‎2.1.12‎‎★★★已知，．求的值．‎ 解析 因为，所以，从而．所以 ‎．‎ ‎．‎ 故．‎ ‎2.1.13‎‎★★已知，，，求多项式的值．‎ 解析 由 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 又因为，，，故 原式．‎ ‎2.1.14‎‎★★已知实数、、、满足，，求的值．‎ 解析 由，得 ‎．‎ 因为，所以．‎ 因而，‎ ‎．‎ ‎2.1.15‎‎★★已知，试求的值．‎ 解析 多项式的系数和，就是．‎ ‎．‎ ‎2.1.16‎‎★★求一个关于的二次三项式，它被除余2；被除余8；并且被整除．‎ 解析 设这个二次三项式为 ‎．‎ 则 ‎①③得 代入②、③得 ‎④⑤得 ，‎ 代入⑤得 ．‎ 所求二次三项式为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2.1.17‎‎★未知数、满足 ‎，‎ 其中、表示非零已知数，求、的值．‎ 解析 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．‎ 将已知等式变形为 ‎，‎ ‎，‎ 即．‎ 所以 因为，所以，．‎ ‎2.1.18‎‎★★已知、、满足，求证：‎ ‎．‎ 解析 因为，所以 左边 右边．‎ ‎2.1.19‎‎★已知，证明．‎ 解析 因为，所以 ‎，‎ 即，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因此，‎ 即．‎ ‎2.1.20‎‎★证明：‎ ‎．‎ 解析 此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令 ‎， ①‎ ‎， ②‎ ‎， ③‎ 则要证的等式变为．‎ 因为 ‎，‎ 所以将①，②，③相加有 ‎，‎ 所以，‎ 所以 ‎．‎ ‎2.1.21‎‎★★已知，且、、、都是正数，求证：．‎ 解析 由已知可得 ‎，‎ ‎，‎ 所以 ‎．‎ 因为 ‎，，，所以 ‎，‎ 所以．‎ 又因为、、、都为正数，所以，，所以 ‎，．‎ 所以 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以．故成立．‎ ‎2.1.22‎‎★★已知，求证 ‎．‎ 解析 用作差法，注意利用的条件．‎ 左右 ‎．‎ 所以等式成立．‎ ‎2.2因式分解 ‎2.2.1‎‎★分解因式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）．‎ 解析（1）原式 ‎．‎ ‎（2）原式 ‎．‎ ‎（3）原式．‎ 本小题可以稍加变形，解法如下：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 原式．‎ ‎（4）原式 ‎．‎ ‎2.2.2‎‎★分解因式：．‎ 解析1‎ 原式 ‎．‎ 解析2 ‎ 原式 ‎．‎ 评注 解析2中，‎ 是因式分解中经常用到的一个结论，记住这个结论是必要的．‎ ‎2.2.3‎‎★★分解因式：‎ ‎．‎ 解析 原式中与的和等于，所以考虑用立方和公式变开后，再进行分解．‎ 原式 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ ‎2.2.4‎‎★★分解因式：．‎ 解析 原式 ‎3‎ 评注 ‎ ‎．‎ 显然，当时，则；当时，则，即，而且，当且仅当时，等号成立．‎ 如果令，，，则有 ‎．‎ 等号成立的充要条件是．这也是一个常用的结论．‎ ‎2.2.5‎‎★★分解因式：‎ ‎．‎ 解析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项开始，的次数顺次递减到0，由此想到应用公式来分解．因为 ‎，‎ 所以 原式 ‎．‎ 评注在本题分解过程中，用到先乘以，再除以的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．‎ ‎2.2.6‎‎★分解因式：．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．‎ 方法1 将常数项8拆成．‎ 原式 ‎．‎ 方法2 将一次项拆成．‎ 原式 ‎．‎ 方法3 将三次项拆成．‎ 原式 方法4 添加两项．‎ 原式．‎ 评注 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．‎ ‎2.2.7‎‎★★分解因式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）．‎ 解析（1）将拆成．‎ 原式 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ ‎（2）将拆成．‎ 原式 ‎．‎ ‎（3）将拆成．‎ 原式 ‎．‎ ‎（4）添加两项．‎ 原式 评注（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是无将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在．‎ ‎2.2.8‎‎★分解因式：．‎ 解析原式 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2.2.9‎‎★★分解因式：‎ ‎．‎ 解析 原式 ‎．‎ ‎2.2.10‎‎★★分解因式：‎ ‎．‎ 解析 原式 ‎．‎ ‎2.2.11‎‎★★分解因式：．‎ 解析 原式 ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2.2.12‎‎★★分解因式：‎ ‎．‎ 解析将原式展开，是关于的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将看作一个整体，并用字母来替代，于是原题转化为关于的二次三项式的因式分解问题了．‎ 设，则 原式 ‎．‎ 评注本题也可将看作一个整体，比如令，可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．‎ ‎2.2.13‎‎★★分解因式：‎ ‎．‎ 解析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．‎ 原式 ‎．‎ 令，则 原式 ‎．‎ 评注 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元的基础．‎ ‎．‎ 解析 令，，则 原式 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 所以，原式．‎ ‎2.2.15‎‎★★分解因式：‎ ‎．‎ 解析 令，则 ‎．‎ 原式 ‎．‎ 所以，原式 ‎．‎ ‎2.2.16‎‎★★分解因式：．‎ 解析令，则 原式 ‎．‎ 所以，原式．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2.2.17‎‎★★分解因式：‎ ‎．‎ 解析 设，则 原式 ‎．‎ 评注 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．‎ ‎2.2.18‎‎★★分解因式：．‎ 解析1‎ 原式 ‎．‎ 评注 本解法实际上是将看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．‎ 解析2 原式 ‎．‎ 令，则，于是 原式 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝‎ ‎．‎ ‎2.2.19‎‎★★分解因式：‎ ‎．‎ 解析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令，，用换元法分解因式．‎ 原式．‎ 令，，则 原式 ‎．‎ ‎2.2.20‎‎★分解因式：．‎ 解析 原式 ‎．‎ 其十字相乘图为 评注 凡是可以化成或形式的二次三项式，都可以直接采用十字相乘法把它分解成或的形式．‎ 对于某些二元二次六项式，我们也可以用十字相乘法分解因式，通常称为双十字相乘法．其因式分解的步骤是：首先用十字相乘法分解，得到一个十字相乘图（有两列）；然后把常数项分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的．‎ ‎2.2.21‎‎★分解因式：‎ ‎．‎ 解析原式 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 其十字相乘图为 ‎2.2.22‎‎★分解因式：‎ ‎．‎ 解析 原式 ‎．‎ 其十字相乘图为 ‎2.2.23‎‎★分解因式：‎ ‎．‎ 解析 原式 ‎＝‎ ‎．‎ 对于形如（、、、、、为常数），当时，则把与分别相乘后，构成有相同部分：的项，使原式得到简化，再用十字相乘法进行分解．‎ ‎2.2.24‎‎★★分解因式：‎ ‎．‎ 解析 原式 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 对地形如（、、、、、为常数），当时，则把与分别先作法，构成具有相同部分的项，再用十字相乘法进行分解．‎ ‎2.2.25‎‎★★分解因式：‎ ‎．‎ 解析 由于．‎ 若原式可以分解因式，那么它一定是的形式．应用待定系数法即可求出和，使问题得到解决．‎ 设 ‎．‎ 比较两边对应项的系数，则有 解之，得 ，．‎ 所以，原式．‎ ‎2.2.26‎‎★★分解因式：．‎ 解析 这是关于的四次多项式，若它可以因式分解，则必为关于的两个二次式之积．可用待定系数法求之．‎ 设 ‎．‎ 比较两边对应项的系数，则有 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解之，得，．‎ 所以，原式．‎ 如果设原式，那么由待定系数法解题后知关于与的方程组无解，所以设原式．‎ ‎2.2.27‎‎★★为何值时，可以分解成两个一次因式的乘积？‎ 解析 因为，所以如果可以分解成两个一次因式的乘积，那么它的两个一次因式一定是与的形式，其中、都是待定系数．‎ 设 ‎ ‎，‎ ‎．‎ 比较两边对应项的系数，得 解之，得 因此，当时，可以分解成两个一次因式的乘积．‎ ‎2.2.28‎‎★★分解因式：．‎ 解析 因为 ‎，‎ 所以，原式 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ ‎2.2.29‎‎★★分解因式：．‎ 解析 这个式子是关于、、的五次齐次对称式，令，则原式．故原式有因式．同理，亦有因式，．这样原式还有一个二次齐次对称式 ‎．‎ 所以，可设 原式．‎ 当，时，得 ‎． ①‎ 当，，时，得 ‎． ②‎ 由①式与②式可解得 ‎，．‎ 所以，原式．‎ ‎2.2.30‎‎★★分解因式：．‎ 解析 当时，易知原式，所以原式有因式．同理，与也都是原式的因式．‎ 但四次多项式应有四个一次因式，由对称性余下的一个因式必有为，故可设 ‎．‎ 令，，，得．解得．‎ 所以，原式＝．‎ ‎2.2.31‎‎★★分解因式：．‎ 解析所给的式子是一个四次对称式．若令，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 原式 ‎．‎ 所以，原式含有因式．‎ 同理，原式含有因式，．‎ 于是，原式含有因式．‎ 由于原式为四次对称式，故还有因式，其中为待定系数．‎ 所以，原式．‎ 比较等式两边的系数，得．‎ 所以，原式．‎ ‎2.3分式 ‎2.3.1‎‎★计算：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 解析（1）．‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎2.3.2‎‎★计算：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析（1）．‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎2.3.3‎‎★★化简分式：‎ ‎．‎ 解析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．‎ 原式 ‎．‎ 评注 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．‎ ‎2.3.4‎‎★★求分式 当时的值．‎ 解析 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：‎ ‎，‎ 可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．‎ 原式 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ ‎2.3.5‎‎★计算：‎ ‎．‎ 解析 本题如果直接通分化为同分母，去处较繁．而通过分子拆项，分母分解之后，利用，比较简洁．由此可看出，有时需要把分式按分母不变，分子相加减的法则倒过来运用，把一个分式拆成几个分式的和差．‎ 原式 ‎．‎ ‎2.3.6‎‎★已知．求的值．‎ 解析 由已知得且可得，即，所以 ‎．‎ 评注 这里利用与互为倒数的特点．巧妙地运用乘法公式加以变形，使问题变得较简单．同样地，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎2.3.7‎‎★已知．求的值．‎ 解析由可得．故 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 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本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．‎ 设，于是有 ‎，，．‎ 所以 ‎．‎ ‎2.3.15‎‎★★已知，，求的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 令，，，于是条件变为 ‎， ①‎ ‎． ②‎ 由②有 ‎，‎ 所以．‎ 把①两边平方得 ‎，‎ 所以 ，‎ 即 ．‎ ‎2.3.16‎‎★★已知实数、、满足，，，求的值．‎ 解析 因为 ‎，‎ 所以．‎ 同理可得 ‎，‎ ‎．‎ 结合 可得 ‎，‎ 所以．‎ 结合，，可得．因此，‎ ‎．‎ 实际上，满足条件的、、可以分别为、、．‎ ‎2.3.17‎‎★★已知，求下面代数式的值：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 解析 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．‎ ‎，‎ 同理 ‎，‎ ‎．‎ 所以 原式．‎ ‎2.3.18‎‎★★若，求分式 的值．‎ 解析 ‎ ‎，‎ 所以，所以，即 ‎．‎ 原式分子 ‎，‎ 原式分母，‎ 所以 原式．‎ 评注 本题的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．‎ ‎2.3.19‎‎★★若，求的值．‎ 解析1 利用比例的性质解决分式问题．‎ ‎（1）若，由等比定理有 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以 ‎，，，‎ 于是有 ‎．‎ ‎（2）若，则 ‎，，，‎ 于是有 ‎．‎ 评注 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．‎ 解析2 设参数法．令 ‎，‎ 则 ‎， ①‎ ‎， ②‎ ‎． ③‎ ‎①②③有 ‎，‎ 所以，‎ 故有或．‎ 当时，‎ ‎．‎ 当时，‎ ‎．‎ 评注 引进一个参数表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．‎ ‎2.3.20‎‎★★一列数，，，…满足对于任意正整数，都有 ‎，‎ 求的值．‎ 解析 当时，有 ‎，‎ ‎，‎ 两式相减，得，‎ 所以，‎ ‎，，…‎ 故 ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费