第3章一元方程-1.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第3章 一元方程 ‎3.1一元一次方程 ‎3.1.1‎‎★已知下面两个方程 ‎，①‎ ‎②‎ 有相同的解，试求的值．‎ 解析 本题解题思路是从方程①中求出的值，代入方程②，求出的值．‎ 由方程①可求得，所以．由题设，也是方程②的解，根据方程解的定义，把代入方程②时，应有 ‎，‎ ‎，‎ 所以，．‎ ‎3.1.2‎‎★解方程：‎ ‎．‎ 解析 本题将方程中的括号去掉后产生，但整理化简后可以消去，也就是说，原方程实际上仍然是一个一元次方程．‎ 将原方程整理化简得 ‎，‎ 即．‎ ‎⑴当时，即时，方程有唯一解 ‎；‎ ‎⑵当时，即或．若，即，时，方程无解；若，即时，方程有无数多个解．‎ 评注 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围，解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．‎ ‎3.1.3‎‎★★若，解方程 ‎．‎ 解析 因为，所以原方程可变形为 ‎．‎ 化简整理为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，为原方程的解．‎ 评注 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．‎ ‎3.1.4‎‎★★已知关于的方程 ‎．‎ 且为某些正整数时，方程的解为正整数，试求正整数的最小值．‎ 解析 由原方程可解得 ‎．‎ 因为为正整数，所以应是大于的整数．所以，即．‎ 又因为为正整数，要使为整数，必须是10的倍数，而且为使最小，所以应取．‎ 所以 ‎．‎ 所以满足题设的正整数的最小值为2．‎ 评注 本题实际上是求的最小正整数解．‎ ‎3.1.5‎‎★★已知关于的方程有两个不同的解，求的值．‎ 解析 一元一次方程或者有一个解，或者有无数个解，或者无解，本题中的一元一次方程有两个解，所以我们可以证明它有无数个解，进而可以确定、．‎ 设方程的两个不同的解为、，则有 ‎， ①‎ ‎， ②‎ ‎②①，得．‎ 因为，所以．‎ 把代入①式，得．‎ 所以，．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3.1.6‎‎★已知关于的方程无解，求的值．‎ 解析 将原方程变形为．由已知该方程无解，所以 解得，所以即为所求．‎ ‎3.1.7‎‎★★已知关于的方程有无限多个解，求、的值．‎ 解析 原方程变形为 ‎．‎ 解得，．‎ ‎3.1.8‎‎★为何正数时，方程的解是正数？‎ 解析 按未知数整理方程得．要使方程的解为正数，需要 ‎．‎ 不等式的左端 ‎．‎ 因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，所以或即为所求．‎ ‎3.1.9‎‎★★若、、是正数，解方程 ‎．‎ 解析 原方程两边乘以，得到方程 ‎．‎ 移项、合并同类项得 ‎，‎ 因此有 ‎．‎ 因为，，，所以，于是 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即为原方程的解．‎ ‎3.1.10‎‎★★★设为正整数，表示不超过的最大整数，解方程 ‎．‎ 解析 由于是整数，是整数，所以必为整数，故，所以原方程可化为 ‎，‎ 合并同类项得 ‎，‎ 故有 ．‎ 所以，为原方程的解．‎ ‎3.2 一元二次方程 ‎3.2.1‎‎★若方程与方程至少有一个相同的实数根，求实数的值．‎ 解析 假定这个相同的实数根为，则将它代入两个方程，得到两个关于、的等式，视它们为关于、的方程组，即可求出的值．‎ 设是两个方程相同的根，则有 ‎，．①‎ 两式相减，得，即 ‎．‎ 所以或．‎ 当时，两个方程都是．这个方程无实根，故不合题意．‎ 当时，代入①式中任何一式，都可解得．所以所求的的值为2．‎ ‎3.2.2‎‎★已知实数，且满足，．求 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的值．‎ 解析 、是关于的方程 的两个根，整理此方程，得 ‎，‎ 由于，，．‎ 故、均为负数．因此 ‎．‎ ‎3.2.3‎‎★★已知是方程的一个根，求的值．‎ 解析 因为是所说方程的根，所以，故 ‎，‎ 由此得到 ‎．‎ ‎．‎ 求也可用下面的方法：因，将两边同除以，易得到 ‎，‎ 故．‎ ‎3.2.4‎‎★★三个不同实数、、使得方程和有一个相同的实数根，且使得方程和也有一个相同的实数根，求的值．‎ 解析 因为方程和有一个相同的实数根，所以 ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得．‎ 又方程和也有一个相同的实数根，所以 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 两式相减得（显然）．‎ 于是，故也是方程的根，所以．‎ 由和得，或者（此时，无实根，舍去），所以，，，于是．‎ ‎3.2.5‎‎★★对于一切不小于2的整数，关于的一元二次方程的两个根记作、，求的值．‎ 解析 由根与系数的关系数得，，所 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 则 ‎，‎ ‎．‎ ‎3.2.6‎‎★★已知互不相等的实数、、满足，求的值．‎ 解析 由得，代入得 ‎，整理得 ‎．①‎ 又由可得，代入①式得 ‎，即，又，所以，所以．‎ 验证可知：，时，，时．‎ 因此，．‎ ‎3.2.7‎‎★如果、都是质数，且，，求的值．‎ 解析 当时，；‎ 当时，、为方程的两个根，所以．因为、都是质数，故、的值只可能是和11，所以 ‎．‎ ‎3.2.8‎‎★★已知三个关于的一元二次方程 ‎，，‎ 恰有一个公共实数根，求的值．‎ 解析 设是它们的公共实数根，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，，，‎ 把上面三个式子相加，得 ‎，‎ 因为，所以，，于是 ‎．‎ ‎3.2.9‎‎★★设实数和满足方程，，并且和的积不等于1，求的值．‎ 解析 因为，所以，第一人方程可以变形为：‎ ‎．‎ 又因为，所以，、是一元二次方程的两个不同的实根，所以 ‎，，‎ 即，．‎ 所以．‎ ‎3.2.10‎‎★★★已知方程的两个根、也是方程的根，求、的值．‎ 解析 利用一元二次方程根的概念，用、表示和，再结合、之间的关系（这里用到韦达定理），从而可解出、．‎ 由条件，可知，即，于是 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 结合可知，‎ ‎．①‎ 同理，‎ ‎．②‎ ‎①、②两式相加，并利用，有 ‎．‎ ‎①、②两式相减，有 ‎．‎ 注意到，，故，，进而，．‎ 评注 运用根的概念解题这一方法是处理一元二次方程时容易忽视的技巧，这里巧妙利用根的概念，对与予以降次，将高次问题予以简化，题中、的求值问题迎刃而解．‎ ‎3.2.11‎‎★已知方程的大根为，方程的小根为，求的值．‎ 解析 先求出、的值．‎ 由观察知，是方程 的一个根，于是由韦达定理知，另一个根为，所以．‎ 又从观察知，是方程的根，从而由韦达定理知，方程的另一个根为，所以，．故 ‎．‎ 评注 对于方程，若，则是方程的根；若，则是方程的根．‎ ‎3.2.12‎‎★★设是给定的非零实数，解关于的方程 ‎．‎ 解析 由观察知，是方程的根．又原方程等价于 ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由韦达定理知，，所以，方程和另一根为．‎ ‎3.2.13‎‎★★已知、是方程的两实根，求的值．‎ 解析 不是、的对称式，所以很难用乘法公式把它化为和的表达式．我们先把“降次”．‎ 因为是方程的根，所以，故．于是 ‎，‎ ‎，‎ 所以．‎ ‎3.2.14‎‎★★设一元二次方程的两个实根的和为，平方和为，立方和为，求的值．‎ 解析 设、是方程的两个实根，于是 ‎，‎ 所以 ．‎ 评注 本题是最“自然”的解法是分别用、、来表示、、，然后再求的值．当然这样做运算量很大，且容易出错．下面我们再介绍一种更为“本质”的解法．‎ 因为、是方程的两个实根，所以 ‎，‎ 于是． ①‎ 同理． ②‎ 将①、②两式相加便得 ‎．‎ 一般地，记，则有 ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 证明方法同上，读者不妨一试．‎ ‎3.2.15‎‎★★★设抛物线的图象与同只有一个交点，求的值．‎ 解析1 由题设 ‎，‎ 即．‎ 所以 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 又．‎ 因为，所以，即，所以 ‎．‎ 故 ‎．‎ 解析2 由可得，所以，且，所以 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以 ‎．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3.2.16‎‎★★若方程的两个不相等的实数根、满足，求实数的所有可能的值之和．‎ 解析 由一元二次方程的根与系数的关系可得，，所以 ‎，‎ ‎．‎ 又由得，所以 ‎，‎ 所以，‎ 解得，，．‎ 代入检验可知：，均满足题意，不满足题意．‎ 因此，实数的所有可能的值之和为 ‎．‎ ‎3.2.17‎‎★★★设、是方程的两个根，、是方程的两个根．记，用表示．‎ 解析 由韦达定理，得，，，．‎ 所以 ．‎ 于是原式 ‎．‎ ‎3.3判别式及其应用 ‎3.3.1‎‎★已知方程没有实数根，其中是实数．试判定方程有无实数根．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 因为方程无实数根，所以 ‎，‎ 即．‎ 则 ‎，‎ 所以方程有两个不相等的实根．‎ ‎3.3.2‎‎★★已知常数为实数，讨论关于的方程 的实数根的个数情况．‎ 解析 当时，原方程为，，即此时方程积有一个实根．‎ 当时，原方程为一元二次方程，其判别式 ‎，所以，当且时，原方程有两个不同的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根．‎ 评注 对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式．‎ ‎3.3.3‎‎★★若对任何实数，关于的方程 都有实数根，求实数的取值范围．‎ 解析 根据判别式容易写出关于、的不等式．为了求出的取值范围，可以分离、，写成或的形式，那么不大于的最小值，或不小于的最大值．‎ 按题意，‎ 对一切实数成立．即 对一切实数成立．‎ 显然，当时取最小值，故，．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎3.3.4‎‎★★已知关于的二次方程无实根，其中为实数，试判断二次方程 的实根情况．‎ 解析 因为无实根，即无实根，所以，故 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 方程，‎ 即．‎ 因为，所以，，上述方程是实系数二次方程，它的判别式 ‎．‎ 由，得，，，，从而，故无实根．‎ ‎3.3.5‎‎★★、、是不全相等且都不为零的实数，求证：，，这三个一元二次方程中，至少有一个方程有两个不相等的实数根．‎ 解析 本例即要证明三个方程的判别式至少有一个大于零．但由于、、不是具体数值，很难确定哪一个方程的判别式大于零，因此可考虑三个判别式的和．‎ 因为、、都不是零，所以三个方程都是实系数一元二次方程，它们的判别式顺次记为、、，则 ‎．‎ 因为、、不全相等，所以，从而、、中至少有一个大于零，即三个二次方程中至少有一个方程两个不相等的实数根．‎ ‎3.3.6‎‎★对于实数、，定义一种运算“*”为：*．‎ 若关于的方程*有两个不同的实数根，求满足条件的实数的取值范围．‎ 解析 由*（*），得 ‎，‎ 依题意有 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得，，或．‎ ‎3.3.7‎‎★若方程 有实根，求、的值．‎ 解析 因为方程有实根，所以它的判别式 ‎，化简后得 ‎，‎ 所以，‎ 从而 解得，．‎ 评注 在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值．‎ ‎3.3.8‎‎★的一边长为，另两边长恰是方程 的两个根，求的取值范围．‎ 解析 设的三边长分别为、、，且，由 得．此时由韦达定理，，，即，并且不等式 ‎，‎ 即．‎ 综上可知，．‎ ‎3.3.9‎‎★求方程的实数解．‎ 解析 先把看作是常数，把原方程看成是关于的一元二次方程，即 ‎．‎ 因为是实数，所以判别式 ‎，化简后整理得 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即，从而，将代入原方程，得 ‎，‎ 故．所以，原方程的实数解为，．‎ 评注 ⑴本题也可以把看作常数，把方程写成关于的一元二次方程，再用判别式业求解．‎ ‎⑵本题还可以用配方的方法，把原方程变形为 ‎，从而，．‎ ‎3.3.10‎‎★★解方程组 解析 引入待定系数，由①②得 ‎，或写成 ‎． ③‎ 如果③式左端是一个关于和的完全平方式，则 ‎．‎ 由此解得，．将值代回③式得 ‎，‎ ‎，‎ 即，．‎ 由于，，由上两式开方后，就可以求出方程组的唯一解：‎ ‎3.3.11‎‎★★设为实常数，方程有两个不同的实数根、．‎ ‎⑴证明：；‎ ‎⑵求的最小可能值，并求取最小值时的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 由条件可知，‎ ‎，故或．‎ ‎⑴利用条件为方程的根，可知，于是，结合，有 ‎．‎ ‎⑵与⑴作类似处理，可得 ‎．‎ 等号成立的条件是：，这时，或，结合，可知应舍去．‎ 综上可知，的最小值为2，并且取最小值时，．‎ 评注 本题中，用到了一个基本不等式：若、为正实数，则．这一点由展开后移项可得．‎ ‎3.3.12‎‎★★★设不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根、．‎ ‎⑴若，求的值；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费