第5章 不等式-2.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎§5.4 不等式的证明和应用 ‎5.4.1‎‎★设、、的平均数为，、的平均数为，、的平均数为.若，则与的大小关系是（ ）‎ A. B.‎ C. D.不确定 解析 因为，，，，因为，所以，即，所以.故选B.‎ ‎5.4.2‎‎★若、是正数，且满足，则与之间的大小关系是（ ）‎ A. B.‎ C. D.不能确定 解析 因为 ‎，‎ 所以 ‎.‎ 由于，，所以.‎ 所以，即，.故选A.‎ ‎5.4.3‎‎★若（、是实数），则的值一定是（ ）.‎ A.正数 B.负数 C.零 D.整数 解析 因为 ‎，‎ 且，，这三个数不能同时为，所以.‎ 故选A.‎ ‎5.4.4‎‎★设、是正整数，且满足，，则等于（ ）.‎ A. B. C. D.‎ 解析 由题设得 ‎，，‎ 所以 .‎ 因此，.‎ 当时，由，得，这样的正整数不存在.‎ 当时，由，得，所以.‎ 所以，.‎ 故选B.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5.4.5‎‎★★已知，、为互质的正整数，且，.‎ ‎（1）试写出一个满足条件的；‎ ‎（2）求所有满足条件的.‎ 解析 （1）满足条件.‎ ‎（2）因为，、为互质的正整数，且，所以 ‎，‎ 即 ‎ .‎ 当时，，这样的正整数不存在.‎ 当时，，故，此时.‎ 当时，，故，此时.‎ 当时，，与互质的正整数不存在.‎ 当时，，故，此时.‎ 当时，，与互质的正整数不存在.‎ 当时，，故，4，5，此时，，.‎ 当时，，故，此时.‎ 所以，满足条件的所有分数为、、、、、、.‎ ‎5.4.6‎‎★★已知：，，，…，，，和.求，，，…，，的值.‎ 解析 将个不等式累加得 ‎，①‎ 当且仅当个不等式取等号时，①式才成立.‎ 由可以得到 ‎，②‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由可以得到 ‎，③‎ ‎…‎ 由可以得到 ‎，‎ 由②和③可推知.类似地，可以推知，所以，.同理可得.‎ 所以.‎ ‎5.4.7‎‎★★证明：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）如果是正实数，那么；‎ ‎（4）设、是非负实数，则；‎ ‎（5）.‎ 解析 （1）在的左右两边分别加上得到 ‎，‎ 这个不等式说明：如果两个正数的和是一个常数，则乘积有最大值，如果两个正数的乘积是一个常数，则和有最小值.‎ ‎（2）在的左右两边分别加上得到 ‎，‎ 这个不等式说明了两个数的和与平方和之间的不等式关系.‎ ‎（3）在（1）中令，得，这个不等式说明了一个正数与它倒数的和不小于.‎ ‎（4）由（3）可得 ‎，‎ 这个不等式说明了两个数的和与倒数和之间的不等式关系.‎ ‎（5）由，，可以得到 ‎.‎ ‎5.4.8‎‎★★设，，，求证：‎ ‎.‎ 解析 因为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，，，‎ 所以 .‎ ‎5.4.9‎‎★★★设，，，求证：‎ ‎.‎ 解析 因为 ‎，‎ 而 ‎，‎ 所以，.‎ ‎5.4.10‎‎★★若正数、、满足，求证：‎ ‎.‎ 解析 因为 ‎，‎ 而 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以 ‎.‎ ‎5.4.11‎‎★★（1）已知正数、、满足 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 求证：‎ ‎；‎ ‎（2）已知正数、满足，求证：‎ ‎；‎ ‎（3）已知正数、满足，求证：‎ ‎.‎ 解析 （1）由题设和平均不等式得 ‎.‎ ‎（2）由题设和平均不等式得 ‎.‎ ‎（3）由题设和平均不等式得 ‎.‎ ‎5.4.12‎‎★★（1）若，求的最小值；‎ ‎（2）若，求的最小值；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）若，求的最小值.‎ 解析 （1）因为，当时等号成立，所以，欲求的最小值是.‎ ‎（2）因为 ‎，‎ 当时等号成立，所以，欲求的最小值是.‎ ‎（3）因为 ‎，‎ 当时等号成立，所以，欲求的最小值是.‎ ‎5.4.13‎‎★★（1）若，求的最大值；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ 解析 （1）因为 ‎，‎ 当时等号成立，所以，欲求的最大值是.‎ ‎（2）因为 ‎，‎ 当时等号成立，所以，欲求的最大值是.‎ ‎5.4.14‎‎★★求代数式的最大值.‎ 解析 我们有 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 当时等号成立，故欲求的最大值为.‎ 评注 这里，在第一个不等式中，用了 ‎.‎ ‎5.4.15‎‎★★★设正实数、、满足 ‎，‎ 求的最小值.‎ 解析 因为 ‎，‎ 当，，时等号成立，故最小值为.‎ ‎5.4.16‎‎★★★设，求的最小值.‎ 解析 因为 ‎，‎ 所以 ‎，‎ 当，时等号成立.‎ 所以，欲求的最小值是.‎ ‎5.4.17‎‎★★设，，.‎ 求证：.‎ 解析 因为 ‎，‎ 又，所以，即.‎ ‎5.4.18‎‎★★已知、、是实数，且 ‎，.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 求证：，，.‎ 解析 因为 ‎，，‎ 而 ，‎ 所以 ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得 .‎ 同理可证：，.‎ ‎5.4.19‎‎★★★已知实数、、满足：，且 ‎，.‎ 求证： .‎ 解析 原不等式等价于 ‎.‎ 因为，，‎ 又因为，所以 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得 .‎ 若，则，由，可得.于是 ‎，‎ 矛盾！‎ 故 .‎ ‎5.4.20‎‎★★★若实数、满足，求的取值范围.‎ 解析 由题设分别消去、，得 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ 而，，所以 所以 .‎ 反之，若满足不等式，则易知存在、满足题设条件.‎ 所以，所求的的取值范围为.‎ ‎5.4.21‎‎★★★已知实数、满足，且，求的取值范围.‎ 解析1 由，相加，得，故.‎ 又 ‎ ‎，‎ 所以且.‎ 于是可知、是关于的方程 的两个实数根.‎ 由，解出.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ 解析2 由，所以.（当时等号成立）‎ 由 ‎，‎ 故，即.（当时等号成立）‎ 于是有，从而有.‎ 根据解析1，可知：.‎ 所以.‎ ‎5.4.22‎‎★★设正数、满足.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 求证：.‎ 解析 由可得 ‎，‎ 则 ‎. ①‎ 由于、是两个正数，所以，，所以，从而.‎ 另一方面，由，可得，结合①式可得，所以.‎ 因此，.‎ ‎5.4.23‎‎★★★设（、、都是实数），已知，，，求证：当时，.‎ 解析 因为 所以 于是 ‎.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5.4.24‎‎★★★证明：对任意三角形，一定存在它的两条边，它们的长、满足 ‎.‎ 解析 若结论不成立，则对于的三边长、、，不妨设，于是 ‎， ①‎ ‎. ②‎ 记，，则，，代入①得 ‎，‎ ‎，‎ 令，，则 ‎. ③‎ 由，得，即，于是.由②得 ‎， ④‎ 由③、④得 ‎，‎ 矛盾.从而命题得证.‎ ‎5.4.25‎‎★★★若正实数、、可以是一个三角形的三边长，则称（，，）是三角形数.若（，，）和均为三角形数，且.求的取值范围.‎ 解析 由题设得所以 ‎，‎ 即有，，得 ‎.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 而，所以所求的的取值范围为 ‎.‎ ‎§5.5 应用题 ‎5.5.1‎‎★某宾馆底楼客房比二楼客房少间.某旅游团有人，若全安排住在底楼，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人.又若全安排住二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人.问该宾馆底楼有多少间客房？‎ 解析 设底楼有客房间，则二楼有客房间.依题意，可得如下不等式组：‎ 解不等式组得 .‎ 因为是整数，所以，.‎ 故宾馆的底楼有10间客房.‎ ‎5.5.2‎‎★★一列客车始终作匀速运动，它通过长为米的桥时，从车头上桥到车尾下桥共用33秒；它 穿过长‎760米的隧道时，整个车身都在隧道里的时间为22秒．从客车的对面开来一列长度为米，速 度为每秒米的货车，两车交错，从车头相遇到车尾相离共用秒．‎ ‎（1）写出用、表示的函数解析式；‎ ‎（2）若货车的速度不低于每秒米，且不到每秒米，其长度为米，求两车交错所用时间的取值范围．‎ 解析 （1）设客车的速度为每秒米，客车的长度为米．依题意知 解得 所以，（，）.‎ ‎（2）当，时，由（1）得.‎ 又因为，所以，‎ ‎.‎ 故的取值范围为.‎ ‎5.5.3‎‎★★个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘人（不包括司机）．其中一辆小 汽车在距离火车站的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有分钟．这时唯一可利用的交 通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘人，且这辆车的平均速度是，人步行的平均速度是．试设计两种方案，通过计算说明这个人能够在停止检票前赶到火车站．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 【方案一】当一辆小汽车出现故障时，乘这辆车的个人下车步行，另一辆车将车内的个人送到火车站，立即返回接步行的个人到火车站．‎ 设乘出现故障汽车的个人步行的距离为，根据题意，有 ‎，‎ 解得．因此这个人全部到火车站所需时间为 ‎（小时）（分钟）（分钟）.‎ 故此方案可行，‎ ‎【方案二】当一辆小汽车出现故障时，乘这辆车的个人先下车步行，另一辆车将车内的个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接出故障汽车而步行的另外个人，使得两批人员最后同时到达车站．‎ 分析此方案可知，两批人员步行的距离相同，如图所示，为无故障汽车人员下车地点，为有故障 汽车人员再次上车地点．因此，设，根据题意，有 ‎，‎ 解得．因此这个人同时到火车站所需时间为（小时）（分钟）（分钟）.‎ 故此方案也可行．‎ ‎5.5.4‎‎★★某出租车的收费标准是：千米之内起步费是元，以后每增加千米增收元（不足千米也算一个千米）．现从地到地共支出元（不计等候时间所需费用）．如果从地到地是先 步行米，然后再乘车也是元（同样不计等候时间所需费用），求从的中点到地需多少车费．‎ 解析 设从地到地的距离为千米，由于，所以，即 ‎. ①‎ 又 ，‎ 所以 . ②‎ 由①、②便知.故．‎ 即与之间的路程在千米至千米之间，所需车费为（元）．‎ ‎5.5.5‎‎★★从站到站千米，每千米设一路标（如图），从早开始，货车每隔分钟从站发出一辆开往站，车速为每小时千米；早上由站发出一辆小轿车驶向站，车速为每小时千米．已知小轿车在某两相邻路标之间（不包括路标处）追过三辆货车，问：此时小轿车已经追过 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 多少辆货车（与小轿车同时出发的那辆货车不计算在内）？‎ 解析 因为相邻两辆货车之间的距离为（千米），所以小轿车从追上第辆货车开始，到它追上第辆货车，所需时间为（小时），所以它追上第志辆货车需要小时，‎ 设小轿车追上第、、辆货车是在两个路标之间，这两个路标分别是第、个，则我们有 由①得，；由②得，，而、都是整数，所以 ‎，，1，2，…，.‎ 于是只有，和，（舍去）．‎ 所以，小轿车追过了辆货车．‎ ‎5.5.6‎‎★★★正五边形广场的周长为米，甲、乙两人分别从、两点同时出发绕广场沿 的方向行走，甲的速度为米／分，乙的速度为米／分，那么，出发后经过多少分钟，甲、乙第一次开始行走在同一条边上？‎ 解析 设甲走完（为正整数）条边时，两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了米，乙走了米.于是 ‎，‎ 且，‎ 所以，，故，此时.即经过分钟，甲、乙第一次开始行走在同一条边上.‎ ‎5.5.7‎‎★★★如图，甲、乙两人在周长为的正方形水池相邻的两顶点上同时同向出发绕池边行走，‎ 乙在甲后，甲每分钟走，乙每分钟走，求 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）甲、乙两人自出发后经几分钟才能初次在同一边上行走（不含甲、乙两人在正方形相邻顶点时的情形）；‎ ‎（2）第一次相遇之前，两人在正方形同一边上行走了多少分钟？‎ 解析 （1）两人初次在同一边上时，甲比乙要多走边．‎ 设两人初次在同一边上时，乙已走了边，则甲走了边，也就是甲走了，乙走了.‎ 因为甲在前乙在后，所以，当甲、乙同在一边时，乙所走的距离应超过，并且当甲到了另一边 的端点时，乙肯定没到相邻的端点，所以乙走的距离又应不足.于是 ‎，‎ 解得 ．‎ 故当（边），需经过分钟时才能初次在同一边上行走．‎ ‎（2）设出发分钟后，甲、乙两人第一次相遇（即甲追上乙）．‎ 则，（分钟）．‎ 甲从出发后分钟开始，每走到一顶点，都要与乙同在一边上行走一段距离，直到乙走到顶点开始转弯，甲从第分钟开始，要走边后才能与乙在某一顶点相遇．‎ 分别讨论如下：‎ 第分钟时，，.甲、乙位置如图（1）所示，第一次同行时间为分钟.‎ 第分钟时，，.甲、乙位置如图（2）所示，第二次同行的时间为分钟．‎ 同样，不难推得后次位置如图（3）～（8）所示．‎ 所以，第一次相遇前，两人在同一边上行走的时间是：‎ ‎（分钟）.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5.5.8‎‎★★某人将一本书的页码按，，，…的顺序相加，其中有一个页码被多加了一次，结果得到 一个错误的总和为，则被多加的页码是多少？‎ 解析 设全书共页，被多加的页码为，则 ‎，. ①‎ 而 ，‎ 即 . ②‎ 由于，验算知满足②的.‎ 代入①得.‎ ‎5.5.9‎‎★★甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食．如果从甲库调袋到乙库，则乙库存粮是甲库的倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的倍．问甲库原来最少存粮多少袋？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 设甲库原来存粮袋，乙库原来存粮袋，依题意可得 ‎. ①‎ 再设乙库调袋到甲库，则甲库存粮是乙库的倍，即 ‎． ②‎ 由①式得 . ③‎ 把③代入②，并整理得．‎ 由于，又、是正整数，从而有，即；并 且整除，又因为与互素，所以整除.‎ 经检验，可知的最小值为．‎ ‎5.5.10‎‎★★一家机密文件碎纸公司有许多位雇员，这些雇员在输送带前排列成一列，分别编号为，，‎ ‎，…老板接到将一张文件撕碎的任务，他把这份文件撕成块后交给第号雇员．每当第号雇员接到前手传来的一叠纸时，都从中取块，把每块再分成块，然后再传给第号雇员．若第号雇员接到前手传来的总块数少于块，但传给下一位的总块数超过块，请问是多少？‎ 解析 第次操作完毕后为（块）；第次操作完毕后为（块）；第次操作完毕后为 ‎（块）……第次操作完毕后为块.‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 所以，.‎ ‎5.5.11‎‎★★把若干个苹果分给若干个孩子，如果每人分个，则余个；每人分个，则最后一人分得的苹果数不足个，问共有多少个孩子？多少个苹果？‎ 解析 如设有个苹果，个孩子，那么解此题的关键是理解“每人分个，则最后一人分得数不足 个”这句话的含义，此话是苹果多于个，同时又少于个.‎ 设有苹果个，小孩子人，则根据题意，得 于是 ‎ 解得，，所以小孩子数为或.‎ 当时，，当时，.‎ 所以，有个孩子，个苹果，或个孩子，个苹果．‎ ‎5.5.12‎‎★★★在黑板上从开始，写出一组连续的正整数，然后擦去其中一个数，剩下来的数的平均数是，问擦去的数是什么数？‎ 解析 设在黑板上写出来的数是，．…，，擦去的数是，则，于是 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ ‎.‎ 由题意便得 解得 .‎ 由于是正整数，且，故只能为，再由，解得，故擦 去的数是．‎ ‎5.5.13‎‎★★某工厂每天用于生产玩具小狗和小猫的全部劳动力为个工时，原料为个单位．生产 一个小狗要用个工时和个单位的原料；生产一个小猫要用个工时和个单位的原料．问每天生产玩具小狗和小猫的总数最多是多少？‎ 解析1 设生产玩具小狗和小猫的数量分别是和，由已知条件，可以得到两个不等式：‎ ‎ ①‎ 可以分别列出①的第个和第个不等式和的解，然后再找出的最大值.‎ 解析2 将①的第个不等式方程乘与第个不等式相加，得到.即有不等式 ‎，‎ ‎. ②‎ 解二元一次方程组 得到，是满足①的一组解，即可以有，‎ ‎. ③‎ 从①的第一个方程，‎ ‎， ④‎ ‎④式说明最大是，结合③，所以，．再次利用④‎ ‎.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为必须是整数，所以，.再次利用③，得到．‎ 利用②，得到 ‎.‎ 上式说明最大不超过，③式说明，可以达到.所以，每天生产玩具小狗和小猫的总数最多可以是个．‎ ‎5.5.14‎‎★★某种商品的原价为元，现有四种调价方案：‎ ‎（1）先涨价，再降价；‎ ‎（2）先涨价，再降价；‎ ‎（3）先涨价，再降价；‎ ‎（4）先涨价，再降价．‎ 其中.求调价后售价最高的方案，‎ 解析 第（1）种方案售价为 ‎；‎ 第（2）种方案售价为 ‎；‎ 第（3）种方案售价为 ‎；‎ 第（4）种方案售价为 ‎.‎ 因为，于是有 ‎，‎ ‎，‎ 两式相乘得 ‎，‎ 即.‎ 又因为，于是有 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 即.因为 ‎.‎ 显然既可以大于，又可以小于，还可以等于．‎ 所以，可能有，或.‎ 因此，调价后售价最高的方案是第（1）方案或第（3）方案，‎ ‎5.5.15‎‎★★某人乘船由甲地顺流到乙地，再从乙地逆流回到甲地，如果水流速度和船速保持不变，请你思考，在静水时用的时间多，还是在有流速时用的时间多？‎ 解析 设甲地距乙地千米，水流速度为千米／时，船的静水速度为千米／时．‎ ‎（1）静水中往返甲、乙两地，需 ‎（时）；‎ ‎（2）由甲地顺流到乙地，再逆流返回甲地，需 ‎（时），‎ 因为，所以 ‎.‎ 故在静水时用的时间少．‎ ‎5.5.16‎‎★★一队公共汽车正在行驶，甲、乙两个检查员招呼这列车队停下来．甲专门统计超载汽车在这车队中的百分数，乙专门统计超载乘客在总乘客中的百分数，他们谁的百分数大些（规定超过名乘客就算超载）？‎ 解析 乙的大.‎ 假设这个车队中超载公共汽车的辆数为，未超载的辆数为，超载的汽车上的乘客人数为，未超载汽车上的乘客人数为．‎ 那么依题意有，，两式变形为，，因此，在不等式的两端同时加上，于是就得到，两端同时取倒数并乘以，就得到 ‎.‎ 这个不等式就表明了超载乘客的百分数要大于超载汽车辆数在车队内所占的百分数．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费