河北省唐山市2018届高三上学期期末考试数学理试卷（含答案）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 唐山市2017-2018学年度第三年级第一学期期末考试 理科数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为( )‎ A.8 B.9 C.10 D.12‎ ‎3.已知复数，则关于的四个命题：‎ 的虚部为； ‎ 的共轭复数为 在复平面内对应的点在第四象限.‎ 其中的真命题为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知为等差数列的前项和，若，，则的公差为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎5.已知偶函数在单调递减，若，则满足的的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6.的展开式中的常数项为( )‎ A.12 B. C. D.‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示，则其体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，直线与双曲线的一条渐近线平行，，则( )‎ A. B. C. D.5‎ ‎9.已知函数在上单调递减，在上单调递增，则( )‎ A.1 B.2 C. D.‎ ‎10.下图是一个程序框图，其中，，且，执行此程序，当输入时，输出的值为( )‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A.19 B.49 C.51 D.55‎ ‎11.在三棱椎中，底面是等边三角形，侧面是直角三角形，且，当三棱椎表面积最大时，该三棱椎外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设，，，则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若满足约束条件，则的最大值是 .‎ ‎14.平行四边形中，，，，则 .‎ ‎15.已知椭圆的焦距为，圆与椭圆交于两点，若(为坐标原点)，则椭圆的离心率为 .‎ ‎16.在数列中，，，，为数列的前项和，若为等比数列，则 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.的内角的对边分别为，已知.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)求；‎ ‎(2)若，成等差数列，求的面积.‎ ‎18.如图，在四棱椎中，底面是边长为4的正方形，平面平面，二面角为，.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎19.高铁、购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力，某移动支付公司在我市随机抽取了100名移动支付用户进行调查，得到如下数据：‎ 每周移动支付次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 ‎6次及以上 男 ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎30‎ 女 ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎20‎ 合计 ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎50‎ (1) 如果认为每周使用移动支付超过3次的用户“喜欢使用移动支付”，能否在犯错误概率不超过的前提下，认为是否“喜欢使用移动支付”与性别有关？‎ (2) 每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户，‎ (i) 求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；‎ (ii) 为了鼓励女性用户使用移动支付，对抽出的女“移动支付达人”每人奖励500元，记奖励总金额为，求的数学期望.‎ 附表及公式：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20.已知为抛物线：的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.‎ ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2)设线段的中点分别为点，求证：为钝角.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2)若在区间上恒成立，求的取值范围. ‎ ‎22.在直角坐标系中，椭圆关于坐标轴对称，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，，为椭圆上两点.‎ ‎(1)求直线的直角坐标方程与椭圆的参数方程；‎ ‎(2)若点在椭圆上，且点在第一象限内，求四边形面积的最大值.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式的解集包含，求的取值范围.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 唐山市2017—2018学年度高三年级第一学期期末考试 理科数学参考答案 一．选择题：‎ A卷：DBCBA CDAAC AB B卷：DBCCA BDAAC AB 二．填空题：‎ ‎（13）1 （14）9 （15） （16）或3‎ 三．解答题：‎ ‎（17）解：（Ⅰ）由ccosB－a＝bsinC及正弦定理得，‎ sinCcosB－sinA＝sinBsinC，‎ 因为sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，‎ 所以－sinBcosC＝sinBsinC．‎ 因为sinB≠0，所以tanC＝－，‎ 因为C∈(0，π)，所以C＝． ‎ ‎（Ⅱ）由a，b，c成等差数列得2b＝a＋c，‎ 又c＝7，所以a＝2b－7．‎ 由余弦定理得c2＝a2＋b2＋ab，‎ 所以(2b－7)2＋b2＋(2b－7)b＝49，整理得b2－5b＝0，解得b＝5．‎ 所以a＝3，‎ 故S△ABC＝×3×5×＝． …‎ ‎（18）解：（Ⅰ）因为平面PCD⊥平面ABCD，‎ 且平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，‎ 所以AD⊥平面PCD，又PDÌ平面PCD，‎ 则PD⊥AD，‎ 所以∠PDC即为二面角P-AD-C的平面角，‎ ‎∠PDC＝30°，‎ 在△PDC中，由余弦定理可得PD＝2，‎ 所以PD2＋PC2＝CD2，从而有PD⊥PC，‎ 又因为PD⊥AD，AD∥BC，‎ 所以PD⊥BC．‎ 又因为PC∩BC＝C，‎ 所以PD⊥平面PBC． ‎ ‎（Ⅱ）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，P(0，3，)，‎ ＝(0，3，)，＝(－4，3，)，＝(0，4，0)．‎ 由（Ⅰ）可知，是平面PBC的一个法向量． ‎ 设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由·n＝0，·n＝0得：‎ 令x＝，得n＝(，0，4) ‎ cosán，ñ＝＝，‎ 又因为二面角A-PB-C为钝二面角，‎ 所以二面角A-PB-C的余弦值为－． ‎ ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）由图中表格可得列联表 不喜欢移动支付 喜欢移动支付 合计 男 ‎10‎ ‎45‎ ‎55‎ 女 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算得 k＝＝≈3.03＜3.841， ‎ 所以，在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用移动支付”与性别有关． ‎ ‎（Ⅱ）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为．‎ ‎（ⅰ）抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率P＝1－()4－(‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 )4＝； ‎ ‎（ⅱ）记抽出的女“移动支付达人”人数为Y，则Y~B(4,)，E(Y)＝，‎ 所以X的数学期望E(X)＝500E(Y)＝800元． ‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）由题可知k≠0，设直线m的方程为y＝k(x－2)，与x2＝4y联立，‎ 整理得x2－4kx＋8k＝0， ‎ 由Δ＝16k2－32k＞0，解得k＜0，或k＞2． ‎ 设直线n的方程为y＝t(x－2)，与x2＝4y联立，‎ 同理可得，t＜0，或t＞2．‎ 因为m⊥n，所以kt＝－1，得－＜0，或－＞2，‎ 解得k＞0或－＜k＜0． ‎ 故k的取值范围为{k|－＜k＜0或k＞2}． ‎ ‎（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．‎ 由①得，x1＋x2＝4k，则x0＝2k，y0＝2k2－2k，则M(2k，2k2－2k)．‎ 同理可得N(2t，2t2－2t)，又F(0，1)，‎ 所以＝(2k，2k2－2k－1)，＝(2t，2t2－2t－1)，‎ ·＝4kt＋(2k2－2k－1)(2t2－2t－1)，将kt＝－1代入得，‎ ·＝－2k2－2t2＋6(k＋t)－3‎ ‎＝－2(k＋t)2＋6(k＋t)－7‎ ‎＝－2(k＋t－)2－＜0‎ 因为2k(2t2－2t－1)－2t(2k2－2k－1)＝2(＋k)≠0，所以与不共线．‎ 综上，∠MFN为钝角． ‎ ‎（21）解：（Ⅰ）由f(x)＝exsinx－ax2，得f(0)＝0．‎ 由f¢(x)＝ex(cosx＋sinx)－2ax，得f¢(0)＝1，则切线斜率为1．‎ 所以切线方程为y＝x． ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（ⅰ）当x＝0时，f(0)＝0，所以a∈R． ‎ ‎（ⅱ）当0＜x≤时，a≤．‎ 令g(x)＝，x∈(0，]，则g¢(x)＝．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 令G(x)＝x(sinx＋cosx)－2sinx，x∈(0，]，则G¢(x)＝(cosx－sinx)(x－1)，‎ ①当0＜x＜时，G¢(x)＜0，G(x)单调递减；‎ ②当＜x＜1时，G¢(x)＞0，G(x)单调递增；‎ ③当1＜x≤时，G¢(x)＜0，G(x)单调递减，‎ 又G(0)＝0，G(1)＝cos1－sin1＜0，‎ 所以G(x)＜0，即g¢(x)＜0，‎ 所以g(x)在(0，]上单调递减，g(x)≥g()＝，‎ 故a≤． ‎ ‎（22）解：（Ⅰ）由A(，)得直线OA的倾斜角为，‎ 所以直线OA斜率为tan＝－1，即OA：x＋y＝0．‎ 由x＝ρcosα，y＝ρsinα可得A的直角坐标为(－，)，‎ 因为椭圆C关于坐标轴对称，且B(2，0)，‎ 所以可设C：＋＝1，其中t＞0且t≠12，‎ 将A(－，)代入C，可得t＝4，故椭圆C的方程为＋＝1，‎ 所以椭圆C的参数方程为（α为参数）． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得M(2cosα，2sinα)，0＜α＜．‎ 点M到直线OA的距离d＝cosα＋sinα．‎ 所以S＝S△MOA＋S△MOB＝(3cosα＋sinα)＋2sinα ‎＝3cosα＋3sinα ＝6sin(α＋)，‎ 所以当α＝时，四边形OAMB面积S取得最大值6． ‎ ‎（23）解：（Ⅰ）不等式|x＋1|－|x－1|≥x2＋3x－2等价于 或或 解得 Æ，或－1≤x≤1，或－3≤x＜－1．‎ 所以不等式f(x)≥g(x)的解集是{x|－3≤x≤1}． ‎ ‎（Ⅱ）x∈[－1，1]，令F(x)＝g(x)－f(x)＝x2＋(a－2)x－2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]等价于 解得1≤a≤3，‎ 所以a的取值范围为[1，3]. ‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费