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2.与数列有关的压轴小题
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝13，Sm＝0，Sm＋1＝－15，其中m∈N*且m≥2，则数列的前n项和的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意可得am＝Sm－Sm－1＝－13，am＋1＝Sm＋1－Sm＝－15，d＝am＋1－am＝－2，
由Sm＝ma1＋＝0可得a1－m＝－1，
又am＝a1＋(m－1)d＝－13，可得a1－2m＝－15，a1＝13，m＝14，an＝15－2n，
故Tn＝＋＋…＋＝
＝－＝－＋，可知当n＝6时，Tn取得最大值.
2.(2017·保定模拟)已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2] C.(2，3) D.
答案 C
解析 因为{an}是递增数列，
所以解得2＜a＜3，故选C.
3.在数列{an}中，an＞0，a1＝，如果an＋1是1与的等比中项，那么a1＋＋＋＋…＋的值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意，得a＝，
所以aa＋2anan＋1＋1＝4a，(an＋1an＋1)2＝4a，
所以an＋1an＋1＝2an＋1，即an＋1＝，由a1＝，得a2＝，a3＝，…，an＝，所以＝＝－，
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a1＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝.
4.(2017·安徽淮北一中四模)已知等差数列{an}的公差d＞0，且a2，a5－1，a10成等比数列，若a1＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为( )
A.3 B.2 C. D.
答案 C
解析 由于a2，a5－1，a10成等比数列，所以(a5－1)2＝a2·a10，(a1＋4d－1)2＝(a1＋d)·(a1＋9d)，解得d＝3，所以＝＝≥，当且仅当n＝2时“＝”成立.
5.已知函数f(x)＝x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12，且f(a2－4)＝f(2a－8)，设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若Sn＝f(n)，则的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意可得a2－4＝2a－8或a2－4＋2a－8＝2×，解得a＝1或a＝－4.
当a＝1时，f(x)＝x2＋9x－10，数列{an}不是等差数列；
当a＝－4时，f(x)＝x2＋4x，Sn＝f(n)＝n2＋4n，
∴a1＝5，a2＝7，an＝5＋(7－5)(n－1)＝2n＋3，
∴＝＝×＝×≥＝＋1，
当且仅当n＋1＝，即n＝－1时取等号，
∵n为正整数，故当n＝3时原式取最小值，故选D.
6.设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是( )
A.310 B.212 C.180 D.121
答案 D
解析 设数列{an}的公差为d，
依题意得2＝＋，
因为a1＝1，
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所以2＝＋，
化简可得d＝2a1＝2，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
Sn＝n＋×2＝n2，
所以＝＝2＝2＝2≤121.
7.抛物线x2＝y在第一象限内图象上的一点(ai，2a)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，则a2＋a4＋a6等于( )
A.21 B.32 C.42 D.64
答案 C
解析 抛物线x2＝y可化为y＝2x2，y′＝4x在点(ai，2a处的切线方程为y－2a＝4ai(x－ai)，所以切线与x轴交点的横坐标为ai＋1＝ai，所以数列{a2k}是以a2＝32为首项，为公比的等比数列，所以a2＋a4＋a6＝32＋8＋2＝42，故选C.
8.(2017届天津六校联考)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*).若bn＋1＝(n－2λ)·(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( )
A.λ＞ B.λ＞ C.λ< D.λ<
答案 D
解析 ∵an＋1＝⇒＝＋1⇒＋1＝2⇒＋1＝·2n－1＝2n，
∴bn＋1＝(n－2λ)·2n，
∵数列{bn}是单调递增数列，∴当n≥2时，
bn＋1＞bn⇒(n－2λ)·2n＞(n－1－2λ)·2n－1⇒n＞2λ－1⇒2＞2λ－1⇒λ＜；
当n＝1时，b2＞b1⇒(1－2λ)·2＞－λ⇒λ＜，
因此λ＜，故选D.
9.(2017届湖南省岳阳市质量检测)执行如图所示的程序框图，则输出s的值为( )
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A.1 B. C. D.
答案 D
解析 第一次循环， n＝1，s＝，
第二次循环， n＝2，s＝＋，
直至n＝1 008，
s＝＋＋…＋，
结束循环，输出s＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－＋＋＋…＋－＝1－＝ ，故选D.
10.已知表示大于x的最小整数，例如＝4，＝－1，下列命题中正确的是( )
①函数f(x)＝－x的值域是；
②若{an}是等差数列，则也是等差数列；
③若{an}是等比数列，则也是等比数列；
④若x∈(1，2 014)，则方程－x＝有2 013个根.
A.②④ B.③④
C.①③ D.①④
答案 D
解析 当x∈Z时， ＝x＋1，f(x)＝－x＝x＋1－x＝1; 当x∉Z时，令x＝n＋a，n∈Z，a∈(0，1)，则＝n＋1，f(x)＝－x＝1－a∈(0，1)，因此f(x)＝－x的值域是；0.9，1，1.1是等差数列，但＝1，＝2，＝2不成等差数列； 0.5，1
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，2是等比数列，但＝1，＝2，＝3不成等比数列；由前分析可得当x∈Z时， f(x)＝1；当x∉Z，x＝n＋a，n∈Z，a∈(0，1)时， f(x)＝1－a＝1－(x－n)＝n＋1－x，所以f(x＋1)＝f(x) ，即f(x)＝－x是周期为1的函数，由于x∈(1，2)时f(x)＝2－x＝，x＝，即一个周期内有一个根，所以若x∈，则方程－x＝有2 013个根. ①④正确，故选D.
11.数列{an}的前n项和为Sn＝n2－6n，则a2＝________；数列的前10项和＋＋…＋＝________.
答案 －3 58
解析 当n＝1时，a1＝S1＝－5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7，
∴a2＝2×2－7＝－3，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋×7＝9＋49＝58.
12.(2016届长春外国语学校质量检测)已知数列{an}为等比数列，且a2 013＋a2 015＝ʃdx，则a2 014(a2 012＋2a2 014＋a2 016)的值为______.
答案 π2
解析 因为ʃdx＝π，
所以a2 013＋a2 015＝ʃdx＝π，
则a2 014(a2 012＋2a2 014＋a2 016)＝a2 014a2 012＋2a＋a2 014a2 016
＝a＋2a2 013a2 015＋a＝(a2 013＋a2 015)2＝π2.
13.(2017·辽宁庄河月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，且满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，数列的前n项和为Tn，若Tn
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