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2.数 列
1.(2017·原创押题预测卷)已知Sn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，n∈N*.
(1)若{an}是等差数列，且S1＝5，S2＝18，求an；
(2)若{an}是等比数列，且S1＝3，S2＝15，求Sn.
解 (1)设{an}的公差为d，则S1＝a1＝5，S2＝2a1＋a2＝10＋a2＝18，
所以a2＝8，d＝a2－a1＝3，an＝5＋3(n－1)＝3n＋2.
(2)设{an}的公比为q，则S1＝a1＝3，S2＝2a1＋a2＝6＋a2＝15，
所以a2＝9，q＝＝3，an＝3×3n－1＝3n，
所以Sn＝n×3＋(n－1)×32＋…＋2×3n－1＋3n， ①
3Sn＝n×32＋(n－1)×33＋…＋2×3n＋3n＋1， ②
②－①，得2Sn＝－3n＋(32＋33＋…＋3n)＋3n＋1
＝－3n＋＋3n＋1＝－3n－＋＋3n＋1＝，
所以Sn＝.
2.(2017届黑龙江虎林一中月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}的前n项和为Tn，若q>0且b3＝a5，T3＝13，求Tn；
(3)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn.
解 (1)解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(2)由题意可知，b3＝a5＝9，T3＝13，所以公比q＝3，
从而b1＝1，
所以Tn＝＝＝(3n－1).
(3)由(1)知，an＝2n－1.
所以cn＝＝＝，
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn
＝＝＝.
3.(2017·广东七校联考)设数列{an}的前n项之积为Tn，且log2Tn＝，n∈N*.
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(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝λan－1(n∈N*)，数列{bn}的前n项之和为Sn.若对任意的n∈N*，总有Sn＋1>Sn，求实数λ的取值范围.
解 (1)由log2Tn＝，n∈N*，得Tn＝，
所以Tn－1＝(n∈N*，n≥2)，
所以an＝＝＝2n－1，n∈N*，n≥2.
又a1＝T1＝20＝1，所以an＝2n－1，n∈N*.
(2)由bn＝λan－1＝λ2n－1－1，
得Sn＝λ·－n＝λ－n，
所以Sn＋1>Sn⇔λ－>λ－n⇔2nλ>1⇔λ>，
因为对任意的n∈N*，≤，
故所求的λ的取值范围是.
4.(2017·湖北黄冈质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，向量a＝(Sn，n)，b＝(9n－7，2)，且a与b共线.
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Tm.
解 (1)a与b共线，Sn＝＝n2－n，a1＝1，an＝Sn－Sn－1＝9n－8，n≥2，
所以an＝9n－8，n∈N*.
(2)对m∈N*，若9m＜an＜92m，
则9m＋8＜9n＜92m＋8.
因此9m－1＋1≤n≤92m－1.
故得bm＝92m－1－9m－1.
于是Tm＝b1＋b2＋…＋bm
＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)
＝－＝.
5.(2017·原创押题预测卷)已知数列{an}的通项公式为an＝(n≥1，n∈N*).
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(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求证：对任意的自然数n∈N*，不等式a1·a2·…·an＜2·n！成立.
(1)解 将n＝1，2，3代入可得a1＝，a2＝，a3＝.
(2)证明 由an＝＝(n≥1，n∈N*)可得
a1·a2·…·an＝，因此欲证明不等式a1·a2·…·an＜2·n！成立，只需要证明对任意非零自然数n，不等式…＞恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，因为1－＝1－＝1－＞1－＝.
故只需证明对每个非零自然数，不等式…≥1－恒成立即可. (*)
下面用数学归纳法证明该不等式成立：
①显然当n＝1时，不等式(*)恒成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式(*)也成立，即不等式
…≥1－成立.
那么当n＝k＋1时，
…≥，
即…≥1－－＋，注意到＞0，
所以…≥1－，这说明当n＝k＋1时，不等式(*)也成立.
因此由数学归纳法可知，不等式(*)对任意非零自然数都成立，即
…≥1－＞恒成立，
故不等式a1·a2·…·an＜2·n！对任意非零自然数都成立.
6.(2017·北京)设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}(n＝
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1，2，3，…)，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数.
(1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；
(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，>M；或者存在正整数m，使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列.
(1)解 c1＝b1－a1＝1－1＝0，
c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，
c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2.
当n≥3时，(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n＜0，
所以bk－nak在k∈N*时单调递减.
所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n.
所以对任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1，
所以{cn}是等差数列.
(2)证明 设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，
则bk－nak＝b1＋(k－1)d2－[a1＋(k－1)d1]n＝b1－a1n＋(d2－nd1)(k－1).
所以cn＝
①当d1＞0时，
取正整数m＞，则当n≥m时，nd1＞d2，
因此，cn＝b1－a1n，
此时，cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列.
②当d1＝0时，对任意n≥1，n∈N*，
cn＝b1－a1n＋(n－1)max{d2，0}＝b1－a1＋(n－1)(max{d2，0}－a1).
此时，c1，c2，c3，…，cn，…是等差数列.
③当d1＜0时，当n＞时，有nd1＜d2，
所以＝＝n(－d1)＋d1－a1＋d2＋
≥n(－d1)＋d1－a1＋d2－|b1－d2|.
对任意正数M，
取正整数m＞max，
故当n≥m时，＞M.
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