上海市16区2018届中考一模数学试卷分类汇编：几何证明(含答案).docx

上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编 几何证明专题 宝山区 ‎23．（本题满分12分，每小题各6分）‎ 如图，△ABC中，AB＝AC，过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE的延长线于F，联结BF，交AC于点G．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若AH平分∠BAC，交BF于H，求证：BH是HG和HF的比例中项．‎ 长宁区 第23题图 ‎23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）‎ 如图，在ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，‎ DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且．‎ ‎ （1）求证：∽；‎ ‎（2）求证：．‎ 崇明区 ‎23．（本题满分12分，每小题各6分）‎ ‎（第23题图）‎ A B D E C G F ‎　　如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作，垂足为F，BF交边DC于点G．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）联结CF，求证：．‎ 奉贤区 C E A B D F 第23题图 已知：如图，四边形ABCD，∠DCB=90°，对角线BD⊥AD，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点F，‎ ‎（1）求证：BD平分∠ABC；‎ ‎（2）求证：.‎ 虹口区 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且．‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD的长与的值．‎ 黄浦区 ‎23．（本题满分12分）‎ ‎ 如图，BD是△ABC的角平分线，点E位于边BC上，已知BD是BA与BE的比例中项.‎ E D C B A ‎ （1）求证：∠CDE=∠ABC；‎ ‎ （2）求证：AD•CD=AB•CE.‎ 嘉定区 ‎23.‎ 如图6，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E在对角线AC上，且满足∠ADE=∠BAC。‎ （1） 求证：CD·AE=DE·BC；‎ （2） 以点A为圆心，AB长为半径画弧交边BC于点F，联结AF。‎ 求证：AF2=CE·CA。‎ 金山区 ‎23．（本题满分12分，每小题6分）‎ 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC > BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．‎ ‎（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；‎ ‎（2）在AB上取一点G，如果AE·AC=AG·AD，‎ 求证：EG·CF=ED·DF．‎ 静安区 ‎23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）‎ 第23题图 A B E F C D 已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BD ，AD⊥DB，点E是腰AD上一点，作∠EBC＝45°，联结CE，交DB于点F．‎ ‎（1）求证：△ABE∽△DBC；‎ ‎（2）如果，求的值． ‎ 闵行区 ‎23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）‎ 如图，已知在△ABC中，∠BAC =2∠B，AD平分∠BAC，‎ DF//BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E =∠C．‎ ‎（第23题图）‎ A B D C E F G ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：．‎ A ‎（第23题图）‎ D E F B C 浦东新区 ‎23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）‎ 如图，已知，在锐角△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，‎ 联结BD交CE于点F，且.‎ ‎（1）求证：BD⊥AC；‎ ‎（2）联结AF，求证：.‎ 普陀区 ‎23．（本题满分12分）‎ 已知：如图9，四边形的对角线和相交于点，，‎ E D C B 图9‎ A ‎.‎ 求证：（1）△∽△；‎ ‎（2）.‎ 青浦区 ‎23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）‎ 如图8，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且．‎ ‎（1）求证：∠CAE＝∠CBD；‎ 图8‎ ‎（2）若，求证：． ‎ 松江区 ‎23. （本题满分12分，每小题各6分）‎ 已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，.‎ ‎(1)求证：AD∥BC;‎ ‎（第23题图）‎ D A C B ‎(2) 过点A作AE∥CD交BC于点E.请完善图形并求证：.‎ 徐汇区 ‎23.（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）‎ 第23题 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．‎ ‎（1）求证：AE=AF；‎ ‎（2）若，求证：四边形EBDF是平行四边形．‎ 杨浦区 ‎23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）‎ 已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC.‎ ‎（第23题图）‎ A B C D F E ‎（1）求证：△AED∽△CFE；‎ ‎（2）当EF//DC时，求证：AE=DE.‎ 参考答案 宝山区 长宁区 ‎23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）‎ 证明：（1）∵ ∴‎ ‎∵ ∴∽ （2分）‎ ‎ ∴ （1分）‎ 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF 即∠BDF=∠CDA （2分）‎ ‎∴∽ （1分）‎ ‎（2）∵∽ ∴ （2分）‎ ‎∵ ∴ （1分）‎ ‎∵∽ ∴∴ （1分）‎ ‎∴ ∴． （2分）‎ 崇明区 ‎23、（1）∵四边形是正方形 ‎ ∴， …………………………1分 ‎ ∵ ∴‎ ‎ ∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴ ………………………………………………2分 ‎∴ ………………………………………………………1分 ‎∴ ……………………………………………1分 ‎ ∵‎ ‎∴ ……………………………………………1分 ‎（2）联结 ‎∵‎ ‎∴ ………………………………………………………1分 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴ ………………………………………………2分 ‎∴ ………………………………………………1分 ‎∵四边形是正方形，BD是对角线 ‎∴ ……………………………………1分 ‎∴ ……………………………………………………1分 奉贤区 虹口区 黄浦区 ‎23. 证：（1）∵BD是AB与BE的比例中项，‎ ‎∴，————————————————————————（1分）‎ 又BD是∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBE， ——————————（1分）‎ ‎∴△ABD∽△DBE，——————————————————————（2分）‎ ‎ ∴∠A=∠BDE. ———————————————————————（1分）‎ ‎ 又∠BDC=∠A+∠ABD，‎ ‎ ∴∠CDE=∠ABD=∠ABC，即证. ———————————————（1分）‎ ‎（2）∵∠CDE=∠CBD，∠C=∠C, ——————————————————（1分）‎ ‎ ∴△CDE∽△CBD，——————————————————————（1分）‎ ‎∴.————————————————————————（1分）‎ 又△ABD∽△DBE， ‎ ‎∴—————————————————————————（1分）‎ ‎∴，————————————————————————（1分）‎ ‎∴.———— —————————————————（1分）‎ 嘉定区 ‎23.‎ 如图6，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E在对角线AC上，且满足∠ADE=∠BAC。‎ （1） 求证：CD·AE=DE·BC；‎ （2） 以点A为圆心，AB长为半径画弧交边BC于点F，联结AF。‎ 求证：AF2=CE·CA。‎ ‎【评析】（1）因为AD∥BC，所以∠DAE=∠ACB，又因为∠ADE=∠BAC，所以△ADE∽△CAB，因此，又因为AB=CD，所以，所以CD·AE=DE·BC。‎ ‎（2）因为△ADE∽△CAB，所以∠AED=∠B，因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠B=∠DCB，即∠AED=∠DCB，又因为∠DCB+∠CDA=180°,∠AED+∠CED=180°，所以∠CDA=∠CED，又因为∠DCA=∠EDC，所以△CDA∽△CED，所以，即CD2=CE·CA，又因为半径为AB，所以AF=AB，即AF=CD，所以AF2=CE·CA ‎【解答】证明同上 ‎ 金山区 静安区 ‎23．证明：（1）∵AD＝BD ，AD⊥DB，∴∠A＝∠DBA =45°………………………（1分）‎ 又∵DC∥AB ，∴∠CDB =∠DBA＝45°, ∴∠CDB =∠A, ………………………（2分）‎ ‎∵∠EBC＝45°，∴∠EBC=∠DBA， ……………………………………………（1分）‎ ‎∴∠EBC－∠DBE =∠DBA－∠DBE，即∠DBC =∠ABE ………………………（1分）‎ ‎∴△ABE∽△DBC ……………………………………………………………………（1分）‎ ‎（2）∵△ABE∽△DBC, ∴ ………………………………………………（2分）‎ ‎∴，且∠EBC=∠DBA，∴△BCE∽△BDA ………………………………（2分）‎ 又∵，∴． ……………………………………………（2分）‎ 闵行区 ‎23．证明：（1）∵AD平分∠BAD，∴∠BAD=∠CAD．‎ ‎∵∠BAC=2∠B，∴∠BAD=∠CAD=∠B．……………………………（1分）‎ ‎∵DF∥BE，∴∠BAD=∠ADF．…………………………………………（1分）‎ ‎∴∠ADF=∠B．……………………………………………………………（1分）‎ ‎∴△ABD∽△ADF．………………………………………………………（1分）‎ ‎∴．……………………………………………………………（1分）‎ ‎∴．………………………………………………………（1分）‎ ‎（2）∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，‎ ‎∴△CDA∽△CAB．……………………………………………………（1分）‎ ‎∴．……………………………………………………………（1分）‎ ‎∵∠BAD=∠B， …………………………………………………………（1分）‎ ‎∴AD=AB．‎ 又∵∠CAD=∠B，∠E=∠C， ‎ ‎∴△CAD≌△EBD．………………………………………………………（1分）‎ ‎∴DE=DC，BE=AC．‎ ‎∴．……………………………………………………………（1分）‎ ‎∴．……………………………………………………（1分）‎ 浦东新区 ‎23．证明：（1）∵ ，‎ A ‎（第23题图）‎ D E F B C ‎∴ . ………………………（1分）‎ ‎∵ ∠EFB=∠DFC， …………………（1分）‎ ‎∴ △EFB∽△DFC. …………………（1分）‎ ‎∴ ∠FEB=∠FDC. ………………… （1分）‎ ‎∵ CE⊥AB，‎ ‎∴ ∠FEB= 90°.……………………… （1分）‎ ‎∴ ∠FDC= 90°.‎ ‎∴ BD⊥AC. ………………………… （1分）‎ ‎（2）∵ △EFB∽△DFC，‎ ‎ ∴ ∠ABD =∠ACE. …………………………………………… （1分） ‎ ‎ ∵ CE⊥AB，‎ ‎∴ ∠FEB= ∠AEC= 90°.‎ ‎ ∴ △AEC∽△FEB. ……………………………………………（1分）‎ ‎ ∴ .……………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴ . …………………………………………………（1分）‎ ‎∵ ∠AEC=∠FEB= 90°，‎ ‎ ∴ △AEF∽△CEB.………………………………………………（1分） ‎ ‎ ∴ ，∴ . ………………………（1分）‎ 普陀区 22． 证明：‎ ‎（1）∵，∴． （1分）‎ 又∵，∴△∽△． （1分）‎ ‎∴． （1分）‎ ‎∵，∴． （1分）‎ ‎∴． （1分）‎ 又∵，∴△∽△． （1分）‎ ‎（2）∵△∽△，∴． （1分）‎ ‎∴． （1分）‎ ‎∵，∴△∽△． （1分）‎ ‎∵△∽△，∴△∽△． （1分）‎ ‎∴． （1分）‎ ‎∴． （1分）‎ 青浦区 ‎23．（1）证明：∵，∴， ………………………………………（1分）‎ ‎∵∠ECA＝∠DCB，……………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴△CAE∽△CBD，……………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴∠CAE＝∠CBD．……………………………………………………………………（1分）‎ ‎（2）证明：过点C作CG//AB，交AE的延长线于点G．‎ ‎∴，…………………………………………………………………………（1分） ‎ ‎∵，∴，……………………………………………………………（1分）‎ ‎∴CG=CA， ……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴∠G＝∠CAG，………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∵∠G＝∠BAG，∴∠CAG＝∠BAG．………………………………………………（1分）‎ ‎∵∠CAE＝∠CBD，∠AFD＝∠BFE，∴∠ADF＝∠BEF．…………………………（1分）‎ ‎∴△ADF∽△AEB，……………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴，∴．…………………………………………………（1分）‎ 松江区 ‎23.证明（1）∵‎ D A C B ‎（第23题图）‎ E ‎∴……………………………2分 又 ∵∠BAD=∠BDC=90°‎ ‎∴△∽△……………………2分 ‎∴ ……………………1分 ‎∴AD∥BC…………………………………1分 ‎(2)∵AD∥BC, ∠BAD =90°，‎ ‎∴‎ 又 ∵∠BDC=90°‎ ‎∴…………………1分 ‎∵AE∥CD ‎ ‎∴……………………………1分 ‎∴△∽△………………………1分 ‎∴‎ ‎∴……………………1分 又 ∵AD∥BC AE∥CD ‎∴四边形ADCE是平行四边形 ‎∴AE=CD……………………………………1分 ‎∴…………………………1分 徐汇区 ‎23.在△ABC中，∵∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠B，‎ ‎∴ ……………………………………………………（2分）‎ ‎∴…………………………………………………………（1分）‎ 同理有, ………………………………（1分）‎ ‎∴，∴AE=AF． ……………………………………（1分）‎ ‎（2）∵ AB=AC，AE=AF，∴，∴EF∥BC．………………………………（1分）‎ ‎ 由（1）有，………………………………………（1分）‎ 有， 且； ……………………………（1分）‎ ‎∴，即 ………………………………………………（1分）‎ ‎∵，∴， ………………………………………………（1分）‎ ‎∵，∴， ……………………………………………………（1分）‎ ‎∴ DF∥AB． ………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴ 四边形EBDF是平行四边形． ‎ 杨浦区 ‎23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）‎ 证明：（1）∵∠BEC=∠BAC+∠ABD，‎ ‎∠BEC=∠BEF+∠FEC，‎ 又∵∠BEF=∠BAC，∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ （1分）‎ ‎∵AD=AB，∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- （1分）‎ ‎∴∠FEC=∠ADB. -------------------------------------------------------- （1分）‎ ‎∵AD//BC，∴∠DAE=∠ECF.--------------------------------------------------- （1分）‎ ‎∴△AED∽△CFE. --------------------------------------------------------- （1分）‎ ‎（2）∵EF//DC，∴∠FEC=∠ECD. --------------------------------------------------- （1分）‎ ‎ ∵∠ABD=∠FEC ，∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- （1分）‎ ‎ ∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB∽△DEC. ----------------------------------------------- （1分）‎ ‎ ∴.------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎ ∵AD//BC，∴.----------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎ ∴.即.-------------------------------------------（1分）‎ ‎∴ AE=DE. ----------------------------------------------------------------------------- （1分）‎