人教版初中《第13章正弦定理与余弦定理》竞赛专题复习含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第13章 正弦定理与余弦定理 ‎13.1.1‎‎★★ 已知点是内一点，使得.‎ 求证：.‎ 解析 如图，设的三边为、、，对应角分别为、、，，同理，.‎ 由正弦定理，，故，同理，，‎ ‎.‎ 于是.‎ ‎13.1.2‎‎★★在的及边上分别取点、，使，，，求的所有内角.‎ 解析 如图，易知，故.‎ 又由正弦定理，.‎ 于是（易见），故，.‎ 于是为正三角形，各内角均为.‎ ‎13.13 ★★★已知凸四边形，，、、、上分别有点、、、，，，，，求证：、、共点.‎ 解析 如图，设、垂心分别为、，与交于，与交于.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由正弦定理及四点共圆，有 ‎，‎ ‎，‎ 于是.‎ 同理，得与重合，即、、共点.‎ ‎13.1.4‎‎ ★★★已知，在上，、延长后交于，是的外心（在内），若、、、共圆，则.‎ 解析 如图，设，，.作，，、分别是、之中点.‎ 易知，‎ 此即，于是.‎ 又由正弦定理，于是，，≌，故.‎ ‎13.1.5‎‎★★有一个凸四边形，顶点均在一圆周上，且，，，，求的值.‎ 解析 由正弦定理知，其中、、为三边长，为外接圆半径.于是由，并考虑个三角形有共同的外接圆，故有 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ 代入数字，得，于是.‎ ‎13.1.6‎‎★★★已知凸四边形，对角线交于，，过的一条直线分别交、于、，过的另一条直线分别交、于、，、分别交于、，‎ 求证：.‎ 解析 如图，设好各角.由知，故 ‎，‎ 由正弦不定理，知止式可改为，于是 ‎，此即，两边同时除去，即得，此即，故.‎ ‎13.1.7‎‎★★证明余弦定理的一种四边形推广：即设凸四边形的对角线交于，又设，则 ‎.‎ 解析 如图，由余弦定理，，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 所以 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ 因此结论成立.‎ ‎13.1.8‎‎★★梯形，，上底，下底，，、延长后交于，，试用、、表示梯形的高.‎ 解析 如图，设，，则由，有.‎ 又在上找一点，使.则由余弦定理，，‎ 于是.‎ 设梯形的高为，则由，有，故.‎ ‎13.1.9‎‎★★锐角三角形中，为边上的高，为上一点，，，，求证：.‎ 解析 如图，由及得.因此 ‎，‎ 即 ，‎ 故 .‎ 不妨设，则，，.‎ 设，由，利用余弦定理得：‎ ‎，‎ 解得 或.‎ 当时，，故 ‎.‎ 当时，在中，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ 与为锐角三角形矛盾，故舍去.‎ ‎13.1.10‎‎★ 试用身影定理推导余弦定理.‎ 解析 如图，对于，作，注意可在外，则有（、、为的三对应边长），则理有，，三个方程联立，即解得等三个式子，这就是余弦定理.‎ ‎13.1.11‎‎★★已知关于的方程，四边形中，，，且（如图所示）.‎ ‎（1）当方程有两个相等实数根时，求及此方程的根；‎ ‎（2）若此实根等于、之和，求之长.‎ 解析 （1）因方程有两个相等实数根，故 ‎，‎ 解得或.‎ 因，故不符合题意，应舍去，从而，所以.‎ 此时原方程可化为：，解得.‎ ‎（2）因，从而 ‎.‎ 又 ，‎ 故 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ 即 .‎ 因，，故由正弦定理得.‎ ‎13.1.12‎‎★★设是正方形内部一点，到顶点、、的距离分别是、2、3，求正方形的面积.‎ 解析 如图所示，设，则在中，；在中，‎ ‎.于是，解得.注意到，故应舍去.‎ 从而，即正方形面积为.‎ ‎13.1.13‎‎★★已知中，，是高，是中点，求证：.并由此证明，若，是角平分线，在上，，则.‎ 解析 如图，‎ ‎，注意其中可取负值.‎ 又中点也是，故 ‎，‎ 而 ‎ ‎，‎ 于是 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 评注 本题亦可先用余弦定理求出.‎ ‎13.1.14‎‎★★2已知中，，延长到点，连结，若，且，求之长.‎ 解析 如图，设，，则 ‎.‎ 又由余弦定理，‎ ‎，‎ 此即 .‎ 化简并整理，得 ，‎ 解得 （舍），.‎ 所以 .‎ ‎13.1.15‎‎★★已知正方形，、分别在、上，与分别交于、，若，求证：以、、为边的三角形有一内角是.‎ 解析 设，，，则，且，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ 于是由比例及余弦定理知只需证明 ‎，‎ 即.‎ 而右式左式，证毕.‎ ‎13.1.16‎‎★★有一个等腰三角形，底边上的高是，，是上一动点，关于、的对称点分别是、，四边形是平行四边形，则至的距离.‎ 解析 如图，由于、互相平分，故、至距离之和 ‎.‎ ‎13.1.17‎‎★在中，点、分别是、的中点，点是重心，对的每一个值，有多少互不相似的，满足点、、、共圆？‎ 解析 如图，由、、、共圆，得.‎ 若设对应边为、、，对应中线为、、，则上式变为.‎ 又由中线长公式知，消去，得.又由余弦定理，，再将抵消，得 ‎.‎ 若设，则，这个方程的，于是当 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 时，方程无解；又当时，两边之比为负数，也不符合要求.‎ 除了以上两种情况，剩下来的便是时，此时有互为倒数或相同的解，因此合乎要求的三角形恰有一个.‎ ‎13.1.18‎‎★在中，，化简.‎ 解析 由余弦定理，，故 ‎.‎ 同理 ‎，‎ ‎，‎ 三式相加，即得.‎ ‎13.1.19‎‎★证明余弦定理的另一种形式；‎ ‎.‎ 解析 如图，不妨设（即），则在上取一点，使，又作于，于，则在延长线上.‎ 于是平分，且，，两式相加，得 ‎.‎ 又，由勾股定理，，此即 ‎.‎ ‎13.1.20‎‎★★已知中，的平分线、上的中线、上的高共点，且，求.‎ 解析 如图，由于中线和角平分线均在内，故与均为锐角.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设的三条对应边长为、、.由塞瓦定理，有，即，故 ‎，由余弦定理知 ‎.①‎ 由于，有，代入式①，化简有，解得，于是，.‎ ‎13.1.21‎‎★★证明斯图沃特定理：为上一点，则.‎ 解析 如图，由于，故，分别在、用余弦定理代、，整理即得斯图沃特定理.‎ 评注 斯图沃特定理的一个著名的推论是中线长公式：若为之中线，则 ‎.‎ ‎13.1.22‎‎★★★以点为旋转中心，将逆时针旋转为，设线段、、的中点分别为、、，若，且，求.‎ 解析 首先，反复利用中线长公式得，‎ ‎，由得.由∽知上式两端只能为零，否则相似比为，有，与题设矛盾.因此由可知与均为正三角形.‎ 如图，设中点为，连结、、.若设（注意可负），则，又，，故≌，于是，因此为正三角形，.‎ 评注 中线长公式正是余弦定理的推论.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎13.1.23‎‎★★★如图，在中，，是上一点，，作于，且，若，求的平分线之长.‎ 解析 设，，则，，.‎ 由于，，故 ‎.‎ 由，得 ‎，解得或.‎ 因，而，故，从而，所以应舍去，即.‎ 于是，，.‎ 由角平分线定理知.故，.‎ 由斯图沃特定理知.所以.‎ 评注 当为直角时，还有简单的表达式 ‎.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费