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第9章三角形
§9．1全等三角形
9．1．1★已知等腰直角三角形，是斜边．的角平分线交于，过作与垂直
且交延长线于，求证：．
解析如图，延长、，设交于．则，，得，．
又，平分，故平分，为中点，所以．
9．1．2★在中，已知，、、分别为、、的中点，、为形外两点，使，，，，若，求的长．
解析如图，连结、，则，，故．又，，故，所以，，又，所以，于是．
9．1．3★在梯形的底边上有一点，若、、的周长相等，求．
解析作平行四边形，则，若与不重合，则在（或延长线）上，但由三角形不等式易知，在上时，的周长的周长；在延长线上时，的周长周长，均与题设矛盾，故与重合，，同理，．
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9．1．4★★内，，，、分别在边、上，并且、分别是、的角平分线．求证：．
解析延长到，使，连结．易知，所以，．
因，所以，
．
于是．
9．1．5★★设等腰直角三角形中，是腰的中点，在斜边上，并且．求证：
．
解析如图，作的平分线，在上．
由于，，，故，故．
又，，于是，于是．
9．1．6★★设、都是等腰直角三角形，、是各自的斜边，是的中点，求证：也是等腰直角三角形．
解析如图，作、、、分别垂直于直线，垂足为、、、．
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由，，，故有，．同理，，所以，
．
又得，且，故．又由，故
结论成立．
9．1．7★★已知，，、在上（靠近），求证：的充要条件是．
解析如图，作，且，则，又，故，，且．
若，则，因，得，则
．
反之，若，由得．又，故，又，于是．
9．1．8★★两三角形全等且关于一直线对称，求证：可以将其中一个划分成3块，每一块通过平移、
旋转后拼成另一个三角形．
解析如图，设与关于对称，分别找到各自的内心、，分别向三边作垂线、、
与、、，于是6个四边形……均为轴对称的筝形，且四边形四边形，所以两者可通过平移、旋转后重合；同理，另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合．
9．1．9★★★已知：两个等底等高的锐角三角形，可以将每个三角形分别分成四个三角形，分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色，使得同色三角形全等．
解析如图，设，至距离等于至距离，取各自的中位线、，则
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．由、均为锐角三角形，可在、上各取一点、，使图中标相同数字的角相等，于是，，，．
评注还有一种旋转而不是对称的构造法．
9．1．10★已知与中，，，，与
是否一定全等？
解析如图，让与重合，与重合，、在同侧，若与重合，则；否则由条件知四边形为梯形和圆内接四边形，于是它是一个等腰梯形，于是，，．综上，可知与全等．
评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明．
9．1．11★★如图所示，已知、均为正三角形，、、分别为、和的中点，求证：为正三角形．
解析如图，设、中点分别为、，连结、、、．则四边形为平行四
边形，设，则，，又，，故，
，于是为正三角形．
评注注意有时在另一侧，此时，不影响最终结论．
9．1．12★★★中，，．，，是中点，、分别在、上（可落在端点），满足，求的最小值（用、、表示）．
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解析如图，延长至，使，连结、、、由于是、的中点，故，，，又垂直平分，故．
取中点（图中未画出），则，于是的最小值为，取到等号仅当即四边形为矩形时．
9．1．13★★★已知为内一点，，由作、的垂线，垂足分别是、．
设为中点，求证：．
解析如图所示，取中点，中点，连、、、．显然四边形是平行四边形，所以，．．
又由，所以，；同理，．由，所以，从而，所以．
9．1．14★★在中，已知，、分别是边、上的点，且，，，求的度数．
解析如图，延长到，使，连、．
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因为，所以，，
．
．
于是，，．
又因为，，
所以
，，
．
在和中，，，，所以，故
．
于是，．
9．1．15★★在中，、为锐角，、、分别为边、、上的点，满足，，且．求证：．
解析若，则在上取一点，使．连结并延长交于，连结．在与中，，，，故．于是有，，所以．又易知，因此．
但另一方面，由，知，所以
．
从而．矛盾，故假设不成立．
若，同法可证此假设不成立．
综上所述，于是由
知，从而．
9．1．16★★如图，为边长是1的等边三角形，为顶角是
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的等腰三角形，以为顶点作一个角，角的两边分别交、于、，连结，形成一个．
求的周长．
解析延长到，使，连结．易知在与中有，
，，从而．所以，．
于是在与中有，，
．从而，故．
所以
．
9．1．17★★★为等腰直角三角形，，点、分别为边和的中点，点在射线上，且，点在射线上，且，求证：．
解析取中点，连．
在与中，，，，故．于是有，，．
同样易知，于是有．
在与中，，，由知，所以．于是有，．
从而在与中有，，故．于是有，
．
总之，，即
．
9．1．18★★★已知，延长至，使，连结与交于，为的外心，则、、、共圆．
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解析如图连好辅助线，由于，故，设
，则，又，，故
，于是，于是，因此、、、共圆．
9．1．19★★★已知和，，且，和分别是、的中点，，问两个三角形是否必定全等？
解析如图，作出外心(及相应的、图中未画出)．
若在上，则，此时与未必全等．
若不与重合，则
，
，
．
当、、共线，则，，所以，，从而
．
当、、不共线，则，，于是（或），于是由三角形全等可得(或)，（或），故有（或）．
评注此题亦可用中线长公式证明．
9．1．20★★如果两个三角形满足“”，它们不一定全等，此时称它们是相近的，现在有一三角形，作与之“相近”，……一般有与相近，问是否存在一个，使与相做且不全等？
解析这是不可能的．因为由正弦定理，与有等大的外接圆（它们有一对内角相等或互补），从而
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推出与x有等大的外接圆，它们不可能只相似不全等．
9．1．21★★★是否存在两个全等的三角形与，可划分为两个三角形与，可划分成两个三角形与，使，与却不全等？
解析这样的两个三角形是存在的，如图(a)、(b)，设不等边三角形，其中，不妨设是各自的最长边，则、为各自的最短边．在、上分别找、，使，，则由于，故，所以，又因为，，因此，而显然不与全等．（若，还可避免相似．）
9．1．22★★★已知中，，是内心，的垂直平分线分别交、于、，、在上，，求证：．
解析如图，连结、、、．易诮与为全等之正三角形，，
．
两端延长至与，使，则，于是，同理，因此，．
而、将三等分，、将三等分，于是由平行线分线段成比例，知()．
评注读者可以考虑：如果是否有．
9．1．23★★★已知锐角三角形，，，的垂心和外心分别为和，分别与、交于、，证明：的周长为，．
解析如图，连结、、、．由可知在一侧，在一侧．
因，故，而，于是，．
又，故，为正三角形．
又，故，，又，故，．于是．
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又，做．
§9．2特殊三角形
9．2．1★在直角三角形中，是斜边，，是中点，是上一点，，求．
解析如图，连结．设，因，，，则
，．故．
9．2．2★已知中，，，，为在平分线上的射影，为中
点，求．
解析延长交于．由．知，．又，故
．
9．2．3★等腰三角形中，，为直线上一点，则
（在上），
（在外）．
解析如图，设在上且较靠近．作于，则为中点，于是
．
当在外时的结论同理可证．
评注这是斯图沃特定理在等腰三角形的特殊情形，具有十分广泛的用途（例如题9．2．1），亦可用相
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交弦定理证明．
9．2．4★★已知锐角三角形中，、是高，为垂心，，是的中点，求证：
．
解析如图，连结，则．于是
．
由于，故
．
9．2．5★已知斜边为的直角三角形中，在上的投影为．若以、、为
三边可以构成一个直角三角形，求的所有可能值．
解析显然由、、构成的直角三角形中，不是斜边，且．
若，则为斜边．设，，，则由的面积知，又，故．易知，则由前式知，得，故．
同理，若，可得．
所以的可能值为或．
9．2．6★★已知中，为高，在上，
以下哪些条件能判定：
(1)：
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(2)；
(3)．
解析设，，，则，．
先看条件(1)：．
若，则；否则不妨设，则．
得，于是，矛盾．
故．
再看见条件（2）：．则，于是，故．
最后条件（3）：．于是
．若，则
，仍有，矛盾，故．
所以三个条件都能判定．
9．2．7★已知是等腰直角三角形的斜边上任意一点，求．
解析如图，作于．
不妨设．在上，，则，
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，于是．又．故．
评注请读者考虑，若对上任一点，有为定值，是否可认为为等腰直角三角形．
9．2．8★★在中，，，，是内一点，过点向的
三边、、分别垂线、、，垂足分别为、、，且，求
的长．
解析如图，由于，于是
，此即．
而，故．所以．
9．2．9★★已知中，，是的中垂线，，，
求．
解析如图，不妨设，则，．作的平分线，由于，故．因此，，
，从而，，所以．
设，则，，因此，，，（舍）．于是，．
9．2．10★★正三角形内有一点，关于、的对称点分别为、，作平行四边形
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，求证：．
解析如图，设与交于，连结，则，垂直平分，，
为正三角形，，于是四边形为等腰梯形，的中垂线即的中垂线．
于是，．
9．2．11★★与相切于点，与相交于、，若，，，求．
解析如图，由题意可得，作于，则，又，
故，．
再作于，设，则，，．
于是．
9．2．12★已知大小相等的等边与等边有三组边分别平行，一个指向上方，一个指向
下方，相交部分是一个六边形，则这个六边形的主对角线共点．
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解析如图，设两个三角形的边的交点依次为、、、、、．设、的高为，则正的高（与的距离）正的高，于是，、互相平分，同理、互相平分，于是、、的中点为同一点，结论成立．
9．2．13★★★★求证：过正三角形的中心任作一条直线，则、、三点至的距离平方和为常数．
解析如图，不妨设与、相交，且与延长线交于(平行容易计算)．由中位线及重心性质，知．故．
连结、，作，易知，故，．
对于等腰三角形，有．因此
(定值)，这里用到了．
于是、、三点至的距离平方和为，结论得证．
§9．3三角形中的巧合点
9．3．1★已知：是内一点，、、延长后分别交对边于、、，若
，则是的垂心，
解析如图，由条件知，故，同理，，故．
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又，故，这样可得，故为之垂
心．
9．3．2★★求证：到三角形三顶点的距离平方和最小的点是三角形的重心．
解析设中，、、是中线，是重心，是任一点．由斯图沃特定理，并考虑到
结论成立．
，
得
．①
又由中线长公式，有
，
．
代入式①，得
．
结论成立．
9．3．3★★★已知，是锐角的垂心，是中点，过作的垂线，交、于、，求证：是中点．
解析设两条高为、．又不妨设在上．由于，
，故，于是，同理，
又，故．
9．3．4★★★的边、、上分别有点、、，且，求证：
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的重心与的重心是同一点．
解析在上取一点，使，则，所以，四边形为平行四边形，设与交于，又设的中点为，连结、、，与交于，于是由
，得，于是，于是，所以为与之重心．
9．3．5★★★已知，，是重心，，求证：是正三角形．
解析设三条中线分别为、、．连为中位线．于是由条件知、、、共圆，故，于是．由于，，代入，得．
在外作等腰，使，，连结，．由圆心角与圆周角的关系，，故、、三点共线，故，于是，又，故为正三角形．
9．3．6★★★已知是上一点，、、都是正三角形，、在同侧，在另一侧，求证：以这三个正三角形的中心为顶点的三角形是正三角形，且它的中心在上．又问此题如何推广？
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解析如图，设、、分别为、和的中心，则由题11．2．25知为正三角形．
过、、分别作的垂线、、，则，又，
故．又设中点为（图中未画出），于，则，且
．设与交于，则，所以为的中点．
评注此题不难推广，只需，，此时，
、、为各自对应的重心，则必有之重心位于上．
9．3．7★★★内有一点，连结、、并延长，分别与对边相交，把分成六个小三角形，若这六个小三角形中有三个面积相等，则点是否必为之重心？
解析如图，设、、交于．由对称性，可分四种情况讨论．
（1）．于是，，由梅氏定理（或添平行线），得，为中心．
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（2）．此时，故、分别为、中点，为重心．
（3）．此时有，由塞瓦定理，，于是，回到情形（1）．
（4），见题15．1．58．
综上所知，答案是肯定的．
9．3．8★★★设有一个三角形三角之比为，作两较大角的平分线，分别交对边于、．求证：这个三角形的重心在上．
解析如图(a)，设为最小角，作中线，交于，于是只要证明．分别作，、在直线上，则，故问题变成，或
．
不妨设，，，，在上找一点，使，又作，在上，则各角大小如图(b)所示．于是，故
．
9．3．9★★★不等边锐角中，、分别是其垂心和重心，求证：若，
．
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解析设的一条中线与高分别为、，则欲证结论等价于．熟知，．于是结论变为
．
设，，，则由中线长及余弦定理，知欲证式左端，
右端，整理，得，于是剩下的任务是证明这个等价条件．
，
同理有另两式，于是条件变为，
由正弦及余弦定理，知上式即，或
，化简即得．
9．3．10★★已知凸四边形中，，，是否一定为之外心？
解析当固定．由题设、固定，于是、外接圆固定，它们的交点
、固定，又若为外心时，确为的外接圆和的外接圆之异于的交点，因此，结论成立．
9．3．11★★★已知锐角的外接圆与内切圆的半径分别为、，是外心，至三边距离之和为，试用、表示．
解析易知．
设三边分别为、、，由于等，则
，于是
．①
又等，可得，故式①的右端
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．
于是．
9．3．12★★★★：已知，、分别在、上，、交于，，求证：、、、的外心四点共圆．
解析如图，设、的外心分别为、，为的外心，于是垂直平分．垂直平分．
设，则由垂径定理知，，于是．
易知过中点（由塞瓦定理或面积比），作，在上，则，又
，故．
又设，的外心分别为、（图中未画出），于是、分别在直线与上，
且，于是，于是、、、四点共圆．
9．3．13★★★已知：中，，是中点，为重心，为外心，求证：．
解析1如图，延长交于，则，．连结并延长，分别交、于、，则为重心，，，易见．
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又，，，对应边垂直，所以．
解析2为外心，故；
而由中线公式，
，，
于是，于是．
9．3．14★★★设和分别是的内心和外心，求证：的充分必要条件是．
解析延长与外接圆交于点，连结、、，则
．
由内心性质知，，结合托勒密定理得
，
所以，
所以，
故的充要条件是．
评注本题的关键是先把转换为，然后再用托勒密定理．托勒密定理是：圆内接四边形的对角线的乘积等于对边乘积的和．
9．3．15★★★设是的外接圆，是三角形重心，延长、、，分别交
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于、、，则．
解析设、、的中点分别为、、，则由中线长公式及相交弦定理，有（此处三边分别设为、、）
．
同理，有
，
．
三式相加，即得结论．
9．3．16★★在内，平分，，求证：是内心．
解析如图，作，在上，在上，则，，
．又，故
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，于是，．而，故，，所以为内心．
9．3．17★★已知：中，，是内心，与垂直于，求的值．
解析设三边长分别为、、，则．
易知若设，，则，．
，
于是．
9．3．18★★设中，最长，在其上分别找两点、，使，，又设为内心，求（用、、及其组合表示）．
解析如图，连结、、、．
易知，，同理，为的外心，因此
，
．
9．3．19★★★★的边上有一点，与的内心与、四点共圆，求证：
．
解析如图，设与的内心分别为与．
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连结、、、、，两端延长，分别交、于、，则由条件知，同理也是此值，于是．
又设与交于，则由角平分线性质知，故由梅氏定理（直线截及直线截），得（此处、分别为、延长后与、之交点），又由角平分线性质，知，于是结论成立．
9．3．20★★★已知中，，、分别为其外心与内心，在上，，求证：．
解析如图，不妨设在内，且在“之上”(在形外、之下类似处理），连结、，则，故、、、共圆，于是．这里为、直线之交点．
由于，故，于是．
9．3．21★★设为的重心，已知，且，求的面积．
解析1由题意可画出图(a)，令为中点，，垂足为点，因为重心，可知．
由勾股定理可知，
令．由①与②可得
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，
化简后可得，即，代入③得，再代入①式可得
，
解方程可得，，故
的面积=的面积．
解析2由题意可画出图(b)，令为中点，在的延长线上取点使得，因此
之面积为之面积的一半．此时因与互相平分，可知四边形为平行四边形，也因此可知，即的三边长为2、、，故可知为直角三角形，故的面积为，所以的面积的面积．
9．3．22★★★已知，为异于的任一点，求证：
．
解析如图，在外作正三角形，由于，，故四边形的内角均小于，是凸四边形．
对于中任一异于的点，将、均以点为中心顺时针旋转，至
和，则与均为正三角形．
由全等知，这是因为是一条折线，而，，、、、四点共线且仅对于满足四点共线．
评注当内角均小于时，满足条件的点称为的费马点（当有内角比如
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时，到、、距离之和最小的点正是点）．
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