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第三节 分式方程及应用
河北五年中考命题规律
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2017
13
分式方程
用分式方程的形式考查分式计算
2
2
2016
12
列分式方程
以选择题的形式考查学生根据实际问题列出分式方程的能力
2
2
2015、2014年未考查
2013
7
分式方程的实际应用
以修路为背景，考查分式方程的应用
3
3
命题规律
纵观河北近五年中考，分式方程的解法考查了1次，分式方程的应用考查了2次，在分式方程及应用考点中，最多设1道题，分值2～8分．题型有选择、解答题两种，难度不大.
河北五年中考真题及模拟
解分式方程
1．(2017河北中考)若＝________＋，则________中的数是( B )
A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数
分式方程的实际应用
2．(2016河北中考)在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是( B )
A.＝－5 B.＝＋5
C.＝8x－5 D.＝8x＋5
3．(2013河北中考)甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路x m．依题意，下面所列方程正确的是( A )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．(2016邯郸二十五中模拟)端午节前夕，小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋(每个粽子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同)．已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元，花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同．粽子与咸鸭蛋的价格各是多少？
解：设咸鸭蛋的价格是x元，则粽子的价格是(x＋1.8)元．依题意，得＝.
解得x＝1.2，经检验，x＝1.2是原方程的解．
∴x＋1.8＝3.
答：粽子与咸鸭蛋的价格分别是3元和1.2元．
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,中考考点清单
分式方程的概念
1．分母中含有__未知数__的方程叫做分式方程．
【温馨提示】“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．
分式方程的解法
2．解法步骤：
(1)去分母：将方程两边都乘以__最简公分母__，把它化为整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)__检验__．
【温馨提示】找最简公分母的方法：
(1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；
(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)利用字母(或因式)的幂取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．
3．检验方法：
(1)利用方程的解的概念进行检验；
(2)将解得的整式方程的根代入__最简公分母__，看计算结果__是否为0__，不为0就是原方程的根；若为0，则为增根，必须舍去；
(3)增根：当分母的值为0时，分式方程__无解__，这样的根叫做分式方程的__增根__．
【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
分式方程的应用
4．列分式方程解应用题的六个步骤：
(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；
(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；
(3)列：根据等量关系，列出方程；
(4)解：求出所列方程的解；
(5)验：双检验．①检验是否是分式方程的解；②检验解是否符合题意；
(6)答：写出答案．
5．常见关系：
分式方程的应用题主要涉及工作量问题、行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系．
如：工作时间＝____，时间＝____．
【方法点拨】列分式方程解应用题时，要验根作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”．
,中考重难点突破
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分式方程的解法
【例1】小明解方程－＝1的过程如图．
解：方程两边同乘x，得
1－(x－2)＝1.①
去括号，得1－x－2＝1.②
合并同类项，得－x－1＝1.③
移项，得－x＝2.④
解得x＝－2.⑤
∴原方程的解为x＝－2.⑥
请指出他解答过程中的错误．并写出正确的解答过程．
【解析】本题考查了分式方程的解法，注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，注意，去分母时切勿漏乘；(2)解分式方程一定要验根．
【答案】解：小明的解法有三处错误．
步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验．
正确解法为：
方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x.
去括号，得1－x＋2＝x.
移项，得－x－x＝－1－2.
合并同类项，得－2x＝－3.
系数化为1，得x＝.
经检验，x＝是分式方程的解．
1．(2017陕西中考)分式方程＝的解是( A )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
2．分式方程＝的解是__x＝4__．
含参数的分式方程
【例2】(巴中中考)若分式方程－＝2有增根，则这个增根是________．
【解析】本题主要考查了增根的概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根，由分母x－1＝0，得x＝1，这就是方程的增根．(1)增根的求法：令最简公分母为0得到关于未知数的一元一次方程，解方程求得的解即为增根；(2)求有增根的分式方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程，求解关于参数的方程即可．
【答案】x＝1
3．(2017济宁中考)若关于x的分式方程＋＝2有增根，则m的值是( A )
A．m＝－1 B．m＝0
C．m＝3 D．m＝0或m＝3
4．(2016石家庄新华模拟)若关于x的分式方程＝1的解为正数，则m的取值范围是( D )
A．m>3 B．m≠－2
C．m>－3且m≠1 D．m>－3且m≠－2
5．已知方程＝1的解是k，求关于x的方程x2＋kx＝0的解．
解：由＝1，
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解得x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，
∴k＝2，
∴x2＋2x＝0，
解得x1＝0，x2＝－2.
6．已知是二元一次方程组的解，求方程－＝的解．
解：将代入方程组，得解得将代入所求方程，得－＝，去分母，得3－2x＝x－2，解得x＝，经检验，x＝是原分式方程的解．
分式方程的应用
【例3】(2017丹东中考)从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180 km，乘坐普通列车的路程为240 km.高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍．高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2 h．高速列车的平均速度是每小时多少千米？
【解析】抓住等量关系t高速＝t普－2用代数式表达好相应的量即可．
【答案】解：设高速列车平均速度为3x km/h，普通列车平均速度为x km/h.
依题意，得－2＝，
去分母，得240－2x＝60，
解得x＝90，
∴3x＝90×3＝270.
答：高速列车的平均速度是每小时270 km.
7．(2016石家庄四十三中一模)甲种污水处理器处理25 t的污水与乙种污水处理器处理35 t的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20 t的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x t/h，依题意列方程正确的是( B )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
8．(2017沧州中考模拟)甲、乙两人做某种机器零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做多少个．设甲每小时做x个零件，则列出的方程为__＝__．
9．甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，甲、乙每小时各做多少面彩旗？
解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做(x＋5)面彩旗．
依题意，得＝，解得x＝25.
经检验，x＝25是原方程的解．
x＋5＝25＋5＝30.
答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗．
10．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元．
解：设第一批盒装花的进价是每盒x元．则
2×＝，解得x＝30.
经检验，x＝30是原方程的解．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
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