考前三个月高考理科总复习中档大题规范练5：坐标系与参数方程.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5.坐标系与参数方程 ‎1.(2017·江苏)在平面直角坐标系中xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为 (s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.‎ 解　直线l的普通方程为x－2y＋8＝0，‎ 因为点P在曲线C上，设P(2s2，2s)，‎ 从而点P到直线的距离 d＝＝，‎ 当s＝时，dmin＝.‎ 因此当点P的坐标为(4，4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.‎ ‎2.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(1，2)，求＋的最小值.‎ 解　 (1)由ρ＝6sin θ，得ρ2＝6ρsin θ，‎ 化为直角坐标方程为x2＋y2＝6y，‎ 即x2＋(y－3)2＝9.‎ ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得t2＋2(cos α－sin α)t－7＝0，‎ 由Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0，‎ 故可设t1，t2是上述方程的两根，‎ 所以 又直线l过点，‎ 故结合t的几何意义得 ＋＝＝ ‎＝＝≥＝2，‎ 所以＋的最小值为2.‎ ‎3.在直角坐标系xOy中，已知点P，曲线C的参数方程为(φ为参数).以原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)判断点P与直线l的位置关系并说明理由；‎ ‎(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A， B，求＋的值.‎ 解　 (1)点P在直线上，理由如下：‎ 直线l：ρ＝，‎ 即2ρcos＝，‎ 即ρcos θ＋ρsin θ＝，‎ 所以直线的直角坐标方程为x＋y＝，易知点P在直线上.‎ ‎(2)由题意，可得直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 曲线C的普通方程为＋＝1，‎ 将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，‎ 得22＋2＝4，‎ ‎∴5t2＋12t－4＝0，两根为t1， t2，‎ ‎∴t1＋t2＝－，t1t2＝－＜0，‎ 故t1与t2异号，‎ ‎∴＋＝＝＝，‎ ‎∴＝|t1||t2|＝－t1t2＝，‎ ‎∴＋＝＝.‎ ‎4.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数).以原点O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R)，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A， B均异于原点O，且＝4，求α的值.‎ 解　 (1)由消去参数φ可得C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎∵ρ＝4sin θ，‎ ‎∴ρ2＝4ρsin θ，‎ 由 得曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)由(1)得曲线C1：(x－2)2＋y2＝4，‎ 其极坐标方程为ρ＝4cos θ，‎ 由题意设A(ρ1，α)， B(ρ2，α)，‎ 则＝＝4 ‎＝4＝4，‎ ‎∴ sin＝±1，‎ ‎∴ α－＝＋kπ(k∈Z)，‎ 又 0＜α＜π，‎ ‎∴ α＝.‎ ‎5.已知曲线C1：(θ为参数)，‎ C2：(t为参数).‎ ‎(1)曲线C1，C2的交点为A，B，求；‎ ‎(2)以原点O为极点， x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，过极点的直线l1与曲线C1交于O， C两点，与直线ρsin θ＝2交于点D，求的最大值.‎ 解　(1)方法一　曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，‎ 将C2的参数方程代入，得2＋2＝1，‎ 化简得，t2＋t＋＝0，‎ 所以＝＝＝.‎ 方法二　曲线C2的直角坐标方程为y＝－x＋，‎ 过点， C1过点，不妨令A，‎ 则∠OBA＝90°， ∠OAB＝30°，‎ 所以＝2×＝.‎ ‎(2)C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，‎ 令l1的极角为α，‎ 则＝ρ1＝，＝ρ2＝2cos α，‎ ＝sin αcos α＝sin 2α≤，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当α＝时取得最大值.‎ ‎6.(2017·四川大联盟三诊)已知α∈，在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程是ρcos＝2sin.‎ ‎(1)求证：l1⊥l2；‎ ‎(2)设点A的极坐标为， P为直线l1， l2的交点，求·的最大值.‎ ‎(1)证明　易知直线l1的普通方程为xsin α－ycos α＝0.‎ 又ρcos＝2sin可变形为 ρcos θcos α＋ρsin θsin α ＝2sin，‎ 即直线l2的直角坐标方程为 xcos α＋ysin α－2sin＝0.‎ 因为sin α·cos α＋sin α＝0，‎ 根据两直线垂直的条件可知， l1⊥l2.‎ ‎(2)解　当ρ＝2， θ＝时， ‎ ρcos＝2cos＝2sin，‎ 所以点A在直线ρcos＝2sin上.‎ 设点P到直线OA的距离为d，由l1⊥l2可知， d的最大值为＝1.‎ 于是·＝d ·＝2d≤2，‎ 所以·的最大值为2.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费