第15章 面积问题与面积方法2.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎15.1.43★★已知凸四边形的边、上各有一点、，满足，与交于，与交于，求证：.‎ 解析 如图，问题可转化为求证.‎ 下证此式：‎ 记，则由定比分点，在 ‎.‎ ‎15.1.44★已知：中，是角平分线，、分别在、上，且，求证：，并用三边表示.‎ 解析 如图，由∽∽，得 ‎，‎ ‎.‎ 于是，故.‎ 又设的对应边长为、、，则，，‎ ‎，同理，故 ‎.‎ ‎15.1.45★★已知，，、在上，，，求.‎ 解析 如图，设，，则.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由三角形内角和，，得.，‎ ‎.‎ 由，得 ‎.‎ ‎15.1.46★★★已知，，.点在内，使得，，，求的面积.‎ 解析 如图，作∽，由于，故相似比为，于是 ‎，.‎ ‎，‎ 结合知，，于是.‎ 所以，从而.于是 ‎，‎ 故 ‎.‎ ‎15.1.47★已知矩形，、分别在、上，，，，若 ‎，求矩形的面积.‎ 解析 如图，易知，∽.设，，则，，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由条件，知 ‎，‎ 展开得，，‎ ‎.‎ ‎15.1.48★★一个凸四边形的边长依次为、、、，两条对角线相交所成的锐角为，求该四边形的面积（用、、、和表示）.‎ 解析 如图，不妨设，，，，与交于，（），则由四边形的“余弦定理”（见题13.1.7）：‎ ‎，‎ 于是 ‎.‎ 一般地，有 ‎，‎ 当时，四边形面积不定.‎ ‎15.1.49★★若一正方形的两个相邻顶点在一三角形的某条边上，另两个顶点分别在另两条边上，则称这个正方形是该边上的内接正方形，现有一不等边三角形，、边上的内接正方形边长都是，求.‎ 解析 如图，四边形是正方形，边长为，，为高，设为，则.‎ 现在回到原题，设三对应边长为、、，对应高为、、，对于、边上的正方形，有 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ 考虑到，故有，而，，代入，有，而由题设，故，.易知，故 ‎.‎ ‎15.1.50★★中，、、分别在、、上，若、、、分别为1、2、3、4，求.‎ 解析 如图，设，，.则，，，，同理，，.‎ 于是，，故，解得.‎ 由，得，由，得，易知均符合要求.‎ 评注 读者可考虑何时具有唯一解.‎ ‎15.1.51★★梯形中，，，在上，，在上，若把梯形分成两部分的面积之比为，求的值.‎ 解析 如图，由于未讲清部分是，哪部分是，故本题可能有两解.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 不妨设，则，，.又设，.于是有 ‎（1）或（2）‎ 由（1）解得由（2）得负解，舍.‎ 故.‎ ‎15.1.52★★★中，，是的平分线，点、分别在、上，交于点，若，，，，求四边形的面积.‎ 解析 易知，，.连结，由，得，，连结.‎ 由，得，故，‎ ‎，.‎ 又，，由角平分线性质，知，于是.‎ ‎15.1.53★★中，、分别在、上，且，，为中点，为与之交点，延长交于，求.‎ 解析 如图，由梅氏定理，即，又，即.‎ 设，.由，得，即，于是.‎ ‎15.1.54★★在的边上取点，上取点，使，，再在线段上取点 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，使，今延长交于，用、、表示.‎ 解析 如图，连结、，则.‎ 又，，故.‎ ‎15.1.55★★设正方形面积是，、上分别有点、，且，，又设、分别交于、，求四边形的面积.‎ 解析 如图，延长、交于，则.而 ‎，‎ ‎.‎ 又，故 ‎.‎ ‎15.1.56★★★已知中，、分别是角平分线和中线.垂直陈于，交于，交于，求证：.‎ 解析 如图，连结、.‎ 易知，，故.于是，.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因此，，所以.‎ ‎15.1.57★★★如图，已知点、、、共圆，且，，，求证：只与、有关.‎ 解析 延长至点，使，设，，易知∽，于是，又由，因此.‎ 由于，又，故，‎ ‎，‎ 所以 ‎.‎ ‎15.1.58★★★已知的三边、、上各有一点、、，且满足、、交于一点，若、、的面积相等，求证：是的重心.‎ 解析 如图，不妨设三个三角形面积为，而、与的面积分别为、、.由塞瓦定理知.‎ ‎（1）若、、互不相等，不妨设，则，，但 ‎，‎ 矛盾.‎ ‎（2）若、、中有相等的，不妨设，则，，由得，于是，、、为各边中线，为重心.‎ ‎15.1.59★★已知中，点在边上，，，，，求；又若、、长度不变，当达到最大时，求.‎ 解析 如图，延长至，使，则，，中，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，，，，又与等高，故，所以.‎ 当面积最大时，，，作，则，于是，，，‎ ‎.‎ ‎15.1.60★★已知中，，点满足，，求证：与面积相等.‎ 解析 如图，不妨设、在两侧，作使，，于是，，这里为内心，就是的边外的旁心，且有≌.‎ 设旁切圆半径为，则，为至距离，于是与至等距，所以 ‎.‎ 评注 请读者自行验证 ‎.‎ ‎15.1.61★★已知：是锐角三角形的垂心，、、是高，求证：‎ ‎.‎ 解析 如图，由于，故 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 同理，‎ ‎，.‎ 三式相加，得 ‎，‎ 整理便是欲证式.‎ 评注 注意到等，故，此式对于钝角三角形也成立.‎ ‎15.1.62★★★在四边形中，对角线中点连线的延长线交于，求证：的面积等于整个四边形面积的一半.‎ 解析 如图，设对角线交点为，不妨设、的中点、分别在、上.‎ 连结，则.‎ ‎，，‎ 故 ‎.‎ 剩下，连结，则.‎ 于是.‎ ‎15.1.63★★已知中，在上截取，上截取，上截取，求证：的面积与的面积相等.‎ 解析 如图，不妨设，，，，，（注意、、可零可负）.问题变为证明，或证明 ‎，或 ‎.‎ 由正弦定理，上式相当于 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ 展开即知这是恒等式，故.‎ ‎15.1.64★★在直角三角形中，，，，是上一动点，在上，从点开始向运动且保持，试写出与点运动时与点距离的关系式.‎ 解析 如图，过点作，交直线于，则有∽，得 ‎.‎ 由，令，则 ‎，‎ 得 ‎，.‎ 又由，得 ‎，‎ 即 ，‎ 得 ‎.‎ 因，得，于是 ‎.‎ ‎15.1.65★★已知中，、、分别在、、上，、、交于，与交于，则 ‎.‎ 解析 如图，知只需证，即，或.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又，于是结论成立.‎ 评注 满足上述条件的点、、、即为调和点列.‎ ‎15.1.66★★★有两个锐角与，其中，、延长后交于点，点、分别是、的垂心，求证：的充要条件是.‎ 解析 必要性：若，设两线交于点，又设的两条高为、；的两条 高为、，并记.‎ 由点、、、共圆及点、、、共圆，得 ‎；‎ 同理.‎ 又由，，则，故.‎ 充分性：若，不能直接运用点了.我们还是先证明，再分别作，，、均在射线上，于是有，故与重合，因此.‎ 评注 充分性也可用四点共圆来证明.‎ ‎15.1.67★★如图，、、、是直线上依次四点，在直线外，，，试证.‎ 解析 由于，若，只需证，这等价于，即，也即，也等价于或.‎ 由于，故，由此知结论成立.‎ ‎15.1.68★★★★凸四边形对角线交于点，点、、、分别在、、、上，点在上，点、在上，且点、、、四点共线，点、、、四点共线.若，，证明：.‎ 解析 连结、、、、、，则有 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ ‎.‎ 由于，，因此知，两端减，便得.‎ ‎15.1.69★★★★ 已知、、、分别为凸四边形的边、、、的中点，、交于，、交于，求证：或重合.‎ 解析 如图，连结、，则 ‎，同理也是此值，‎ 于是，即，若、在同侧（比如与、在同一侧），则，于是；若、在直线上，则与重合.‎ 若线段与直线相交，不妨设在上或在之“上”，在之“下”，则有，矛盾，于是结论成立.‎ ‎15.1.70★★★★如图，以锐角的边为边向外作正方形、、、、、围成，而、、围成（图中未画出），求证：≌.‎ 解析 ∽很容易证明，留给读者，下证.‎ 其实只要证明为对称式即可.‎ 我们先计算.连结、.不妨记，同理分别还有两对三角形面积为与 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.于是有，分子是由于点至的距离等于点、至距离之和.‎ 同理.‎ 两式相加，并作等式变形，即可解出 ‎，‎ 同理可得和.三式相加，得 ‎，‎ 故 .‎ 这是一个对称式，同理也是此值.‎ 至此结论证毕.‎ 评注 易知有等，如果，则有 ‎.‎ ‎15.1.71★★如图，中，是高，是中线，且，求证：或.‎ 解析1 如图（a），设，，，，，则 ‎.‎ 由，得.‎ 又由，即，故.‎ ‎（1）当时，即得；‎ ‎（2）当时，有∽.由此可得.‎ 解析2 如图（b），若与重合，则；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 若与不重合，不妨设比靠近.今在上取中点，连结、，则，.‎ 于是，故、、、共圆，从而，所以.‎ ‎15.1.72★★★试说明是否在所有内部总存在一个点，使点在、、上的射影分别为点、、，满足，，？‎ 解析 当为等腰三角形时，点显然是存在的.但一般情形未必成立.试看如下反例.‎ 如图，设，，且满足要求.此时，由于 ‎≌，‎ 则 ，‎ 故点为之中点. ‎ 易知此时四边形为凸四边形，故由，得，矛盾，故点并不总是存在的.‎ ‎15.1.73★★★设点、、分别在的边、、上，且、、交于一点，若，求证：点一定在在某条中线上.‎ 解析 如图，设个小三角形面积分别为、、、、、.易知有，这是由塞瓦定理保证的.题设条件等价于.‎ 下面再证一个无条件等式 ‎，‎ 这是由于，故而 ‎.‎ 同理有 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ ‎，‎ 三式相加，即得，证毕.‎ 令，，，则对于同一个方程，有三根、、或、、，顺序上先不讲究.‎ 若有之尖，则结论已经成立了；‎ 若，则只需讨论，的情况（否则，结论必成立），此时，结论成立；‎ 若，同理只需讨论，的情况，此时，结论也成立.‎ 评注 此题亦可不用韦达定理.这个证法好处是增加一个知识，即.‎ ‎15.1.74★★★中有一点，延长、，分别交、于点、，与交于点，作，点在上，求证：平分.‎ 解析 如图，分别作、与垂直，我们的目的证明∽或.‎ 易知.‎ 又由 ‎ ‎.‎ 故，证毕.‎ ‎15.1.75★★★★设有一凸四边形，、、、上分别有两点、；、；、；、，满足，，，，若四边形是平行四边形，求证：.‎ 解析 我们先证明四边形也是平行四边形.先不妨设四边形与四边形的位置是如图（a）所示，找出、、、的中点、、、，则点、、、也分别是、、、的中点，且.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 作，点是的中点，又作，点为的中点，则易知，故≌，于是.‎ 又由中位线知，于是四边形是平行四边形，于是.‎ 又由，故四边形也是平行四边形，于是.‎ 这样，便有，从而四边形也是平行四边形.‎ 再看图（b），设中点为，连结、、、及、、、，由题15.1.63知，有 ‎，‎ ‎，‎ 由于四边形与均为平行四边形，故 ‎.‎ ‎15.1.76★★★三边长为6、8、10，求证：仅存在一条直线同时平分的周长与面积.‎ 解析 设中，，，.若此直线过三角形的某个顶点，因平分面积则必平分对边，因此不可能平分周长.所以此直线必与某两条边相交.‎ ‎（1）如图（a），若与、相交.‎ 设，则，所以 ‎，‎ 即 .‎ 由于，故无解.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）如图（b），若与、相交.‎ 设，则，由知 ‎.‎ 由 ，‎ 解得 ，‎ 不满足，无解.‎ ‎（3）如图（c），若与、相交.‎ 设，则，‎ ‎，‎ 即 ，‎ 解得 舍）‎ 综合上述，只有唯一一条直线满足条件.‎ ‎15.1.77★★已知、分别是的边、上的点，且，，，.连结和，它们相交于点.过点分别作，，它们分别与边交于点、，求的面积与的面积之比.‎ 解析 过点作，且交边于点，则 ‎，‎ 所以 .‎ 因为，所以 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 于是 .‎ 因为，，因此∽，故 ‎.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费