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第16章几何变换
§16.1对称和平移
16．1．1★设是边长为2的正三角形的边的中点．是边上的任意一点，求的最小值．
解析 作正三角形关于的对称图形．是的对称点，故是的中
点．，如图所示，则
.
连结，易知，所以．
所以，的最小值是．
16．1．2★★已知中，．试在的边、上分别找出一点、，使最小．
解析 作关于直线的对称点，关于直线的对称点，连与、分别交于点、，则、即为所求，如图所示．
事实上，对于、上的任意点，，
．
评注 因为，所以所作线段必与线段、相交．
16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．
解析 如图所示，设在直角三角形中，是斜边上的高，是它的任一内接三角形．
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将以为对称轴反射为，此时反射为，再将以为对称轴反射为，此时反射为延长交于．
易知，所以，即，且是两平行线与之间的距离．
所以
.
16．1．4★★★在内取一点使，．设，
．求.
解析 本题中为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作的高与直线交于点由对称性知，
，
所以，
从而，
因为，又
，
所以≌，
于是，
所以．
16．1．5★★在中，是高，在边上，已知，，，求的面积．
解析 作的关于的对称图形，作的关于的对称图形．分别延长和，它们相交于，如图所示．
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易知，且
，
．
所以，四边形是正方形．
设正方形的边长为，则
，．
在直角三角形中，由勾股定理知
．
．
解方程，得，即．所以
．
16．1．6★★★如图，凸四边形的四个顶点分别在边长为的正方形的四条边上，求证：的周长不小于．
解析 作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，再作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，再作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，而、、、四点的对应点如图所示．
显然，，，故
，
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所以四边形的周长
．
即四边形的周长不小于．
16．1．7★★★如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，
，现固定而将绕点在平面上旋转，试证：不论旋转到什么位置，线段上必存在点使力等腰直角三角形．
解析 如图，设为等腰直角三角形，下面证明点在线段上．
作关于的对称点，则．
因为，
所以
，
又．
所以又是关于的对称点．
同理也是关于的对称点，因此
，，
又因，
所以．
即在上（且为的中点）．
16．1．8★★★如图，矩形中，，，若在、上各取一点、，使的值最小，试求出这个最小值．
解析 作关于直线的对称线段，即、关于对称，作关于的对称点，则在上，且有于，于．
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由对称变换可知，.
欲使最小，必须共线，所以最小值为点到的距离.
在中，，，所以，则．
在中，．又，在
中，，则．从而的最小值为16．
16．1．9★★凸四边形中，，．求证：
.
解析将沿翻折，点落在点．因为，，所以必定在内部．延长线交于点，则
.
16．1．10★★设表示凸四边形的面积，证明．
解析如图，作点关于的垂直平分线的对称点，显然与关于成轴对称图形．所以
，
.
16．1．11★★在矩形内取一点，使，试求的值．
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解析 如图将沿平移至，显然，．所以，由已知条件，即、、、四点共圆，从而
．
16．1．12★★设是平行四边形内一点，使得，
证明：．
解析 如图，把平移至，则，及，，
所以．
又已知，故，从而、、、四点共圆．于是
，
又，
所以．
16．1．13★（1）如图（a）所示，在梯形中，.已知：，，
，求梯形的面积．
（2）如图（b），在梯形中，．是的中点，于．设，，求梯形的面积．
解析（1）将平移到，连结，则，．所以
．
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．
因此．
因为，
所以．
（2）将平移至，如图（b）所示，过点．由于≌，所以
．
评注 本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法．
16．1．14★★如图，在四边形中，，、分别是及中点，的
延长线与及的延长线分别交于点、．求证：．
解析1如图（a），将线段平移至．则四边形为平行四边形．由于是中
点，故、、共线．
现在是的中位线，故，所以
，．
又显然．故．
于是．
解析2如图（b），连结，取中点为，连结、，则、分别为、
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的中位线，所以，．故
，
，
且，故，
所以．
16．1．15★★如图，，、、均垂直于，垂足为、、
，，，，．求的值．
解析 将平移到，在线段上，延长交于，将平移到，在上．
因为、、均垂直于，所以四边形和都是矩形．
由，，得．又，所以，，．所以≌，，．
于是，
，
．
在中，，，也即
．
16．1．16★★在正三角形的三条边上，有三条相等的线段、、．证明：直线、、所成的三角形中，三条线段、、与包含它们的边
成比例．
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解析 如图，将平移到，连结、、．因为四边形为平行四边形，所以，，故为正三角形，．这样所得四边形为平行四边形，．
因此，由、、这三条线段构成的三角形与全等，而≌，从而命题得证．
16．1．17★★如图所示，且共点于，，
求证：．
解析 将沿方向平移长的距离，得，将沿方向平移长的距离，得．由于
，，
所以．
又因，
故与重合，且、、三点共线．在正三角形中，
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．
16．1．18★★★如图，由平行四边形的顶点引它的高和，已知，，求点到的垂心的距离．
解析 令表示的垂心．
考虑到，，有．同理有，因而四边形，为平行四边形，平移到位置，显然为上一点，所求线段即，已与位于同一直角三角形中．由于四边形为矩形，有，于是
．
16．1．19★★★已知的面积为，、、分别为、、上的点，且
，试求以、、为边的三角形的面积．
解析 如图，过点作平行且等于．连、、，则四边形为平行四边形，．
又，
所以≌，，因此.
又因，
所以．
于是四边形也为平行四边形，从而，即为、、所构成的三角形，它的面积为．
在梯形中，
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，
所以，
而，
所以，
因此
．
§16.2旋转
16．2．1★★对于边长为1的正内任一点．求证：．
解析 把绕点旋转到．则为正三角形，且
，，
因而．
16．2．2★★设是等边三角形内一点，，，．试求此等边三角形的边长．
解析 如图，把绕点逆时针旋转，到达的位置，显然，
，，．
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在中，，所以．故
.
在中，由余弦定理，得
．
所以，等边三角形的边长是．
16．2．3★★设是正三角形内一点，已知，，求以线段、、为边构成的三角形的各角．
解析 以为旋转中心，将按逆时针方向旋转，旋转至，如图所示．
连结．由于，，所以是正三角形，故．
又，故是以、、为边构成的一个三角形．
因此
，
，
从而．
所以，以线段、、为边构成的三角形的各角分别为、和．
16．2．4★★如图，两个正方形与（顶点按顺时针方向排列），求证：这两个正方形的中心以及线段、的中点是某正方形的顶点．
解析 设、分别是正方形、的中心，、分别是线段、的中点，先证是以为斜边的等腰直角三角形．
连结、，将绕逆时针旋转，则、分别到、位置，所以，．
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因为、分别是、的中点，所以．同理．所以，且．即是以为斜边的等腰直角三角形．
同理可证也是以为斜边的等腰直角三角形．故、、、是正方形的四个顶点．
16．2．5★★正方形内有一点，，．，求正方形的面积．
解析 将绕点旋转，得．连结．易知，．
于是．
在中，．所以是直角三角形，从而．
由余弦定理得
．
16．2．6★★在正方形的边和上分别取点和，使得，在线段上取点，使得．证明：是直角．
解析 如图所示，在边上取点，使，连结、、．
由于，所以、、、四点共圆，作四边形的外接圆和矩形
的外接圆，因为这两个外接圆均过、、三点，从而这两圆是相同的，所以
．
易知≌.
故以正方形的中心为旋转中心，将以逆对针方向旋转，则旋转至，从而．又，故、、三点共线，所以．
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16．2．7★★★已知凸六边形中，，，，
．求证：
（1）；
（2），，
．
解析 （1）将绕点旋转，使与重合，得到，如图所示．连结．
因为
，
所以
．
因此
.
从而≌，
≌，
所以．
（2）由（1）可知
，
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所以．
同理可证：，．
评注 本题通过旋转，把、、拼成一个与全等的新三角形.也可以采取向内部旋转的方法，把、、放在的内部，使之恰好“拼成”．
16．2．8★★★如图所示，、是边长为1的正方形内两点，使得
，求的值．
解析 将绕点顺时针旋转至，绕点逆时针旋转至，连结、，则
≌，≌．
又，所以、、三点共线，且
，
故，
所以
．
16．2．9★★在中，，点不与重合．求证.
解析 如图，将绕点旋转至的位置，使与共线．于是
．
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又因为，所以
．
故在等腰中，
．
因此，
从而.
评注 此题似乎依赖于图形，在内，事实上在其他位置照样成立，方法完全一样．
16．2．10★★★凸四边形中，点、分别是、的中点，且（是常数），求证：．
解析 如图所示，将绕点旋转得，将绕点旋转得，连，于是
，
所以与凸四边形的边不相交．故
．
16．2．11★★★如图，设为锐角内一点，且，
，求的值．
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解析 将线段绕点顺时针旋转到，连结、．
因为，，所以
，又，
则．
由，得，于是，所以，
．从而．所以，，则，即．
在中，，，故．
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