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第18章 整数几何
18.1.1★已知的两条高长分别是5、15，第三条高的长数，求这条高之长的所有可能值．
解析 由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件．
设第三条高为，则
解得，可取4、5、6、7这四个值．
18.1.2★已知的三边长分别为，，，且边上的高的长为，其中为正整数，且，问：满足上述条件的三角形有几个？
解析 注意为之最长边，故，设，，则，而可正可负．
由，及，得，，由勾股定理，知，展开得，由及为正整数，知，2，…，12，这样的三角形有12个．
18.1.3★已知一个直角三角形的三条边均为正整数，其中一条直角边不超过20，其外接圆半径与内切圆半径之比为，求此三角形周长的最大值．
解析 设该直角三角形直角边长为、，斜边为，则外接圆半径，内切圆半径，不妨设．
由条件知，，平方，得，即
，
，
于是，，，或，，，周长为，为正整数．
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的最大值为6，此时各边为18、24、30，周长最大值为．
18.1.4★为不等边三角形，，，其他两边长均为整数，求的面积．
解析 设，，则由余弦定理，有
．
由条件，不妨设，则为之最小边，只能取值1、2、3、4、5、6，分别代入，发现当或5时，，其余情形均无整数解．
于是或．
18.1.5★★一点与半径为15的圆的圆心距离是9，求经过且长为整数的弦的条数．
解析 如图，半径为，，过的弦长为整数，为直径，，，则，因此
．
又，故这样的弦共有条，其中与垂直的弦及各一条，其余的弦每种长度有两条（关于对称）．
18.1.6★★在直角三角形中，各边长都是整数，，为边上的高，为垂足，且（奇素数），求的值（用表示）．
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解析 由知，故设（为正整数），则，又由勾股定理，知，故．
设，代入得，易知只能有，，解得，，于是．
18.1.7★★设正三角形，、分别在、上，，两端延长，交外接圆于、，若、、长均为正整数，求的最小值．
解析 如图， 易知也是整数．设，，，则，于是由相交弦定理，得，．
设，，，，，则，由于，故，要使达到最小，得取，于是．由于，，，知．当，时取到最小值3，此时．
18.1.8★★已知凸四边形的四边长是两两不相等的整数，对边乘积之和等于四边形面积的两倍，且，求该四边形面积、对角线长度．
解析 不妨设，，，，与交于，则
，于是由托勒密定理，知、、、必共圆，且满足．又由已知条件，，．经搜索知250表为平方和只有两组：和．由对称性，不妨设，，，，则．
由余弦定理，因，得，得，于是．
18.1.9★★是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的？证明你的结论．
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解析 存在满足条件的三角形．
当的三边长分别为，，时，．
如图，当时，延长至点，使．连结，为等腰三角形．
因为为的一个外角，所以．由已知，，所以．所以为等腰三角形．
又为与的一个公共角，有，于是，即，所以．
而，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．
评注 满足条件的三角形是唯一的．
若，可得．有如下三种情形：
（ⅰ）当时，设，，（为大于1的正整数），代入，得，解得，有，，；
（ⅱ）当时，设，，（为大于1的正整数），代入，得．解得，有，，，此时不能构成三角形；
（ⅲ）当时，设，，（为大于1的正整数），代入，得，即，此方程无整数解．
所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件．
18.1.10★★三边长为连续整数、周长不大于100、且面积是有理数的三角形共有多少个？
解析 设三角形三边依次为、、，则，
，
．
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于是是平方数，令，得，则，，．
又不可能是奇数，否则，得，则，，．
又不可能是奇数，否则，将，4，6，8，10，12，14，16，18代入，发现仅当，8时满足要求．因此这样的三角形共有两个，三边长依次为3、4、5与13、14、15．
18.1.11★★某直角三角形边长均为整数，一直角边比斜边小1575，求其周长的最小值．
解析 设直角三角形直角边长、，斜边为，则
，
．
由于，设，则，设，则，于是的最小值为17，此时，，，．此时的最小周长为3808．
18.1.12★★已知，是角平分线，，，也是整数，求所有可取的值．
解析 如图，作，在上，则易知．
又，故
…，
故．
又当时，不难通过构造出，故所有可取的值为1，2，…，17．
18.1.13★面积为的正方形内接于面积为1的正三角形，其中、、是整数，且不能被任何质娄的平方整除，求的值．
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解析 设正方形的边长为，正三角形的边长为，则，由，可得
．
解得．于是
．
由题意得，，，所以
．
17.1.14★★如图，是的高，四边形是的内接正方形，若（即两位数），，，且、、、恰为从小到大的4个连续正整数，求的所有可能值．
解析 易知，于是有，或，移项，得，或，解得或5．于是有两解：
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易知这两组数据都符合要求，故或．
18.1.15★★已知中，是锐角．从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为；从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为．当和均为正整数时，是什么三角形？并证明你的结论．
解析 设，，、均为正整数，则
，
所以，，2，3．
（1）当时，，，此时．所以垂直平分，垂直平分，于是是等边三角形．
（2）当时，，，此时，，或，所以点与点重合，或点与点重合．故，或，于是是等腰直角三角形．
（3）时，，，此时，，或，．于是垂直平分，或垂直平分．故，或，于是是顶角为的等腰三角形．
18.1.6★★某直角三角形两直角边长均为整数，周长是面积的整数倍（就数字上讲），问问这样的直角三角形有多少个？
解析 设直角边分别为、，则斜边，由条件知它是有理数，故必定是整数．
设，为正整数，于是
．
由于也是正整数，故它只能为1、2或4，记作．
由，得，，时无解；时，有，{，}={3，4}；时，，{，}={5，12}或{6，8}，所以这样的直角三角形共有3个．
18.1.17★★在等腰中，已知，这里为大于1的自然数，点、依次在、上，且，与相交于，求使为有理数的最小自然数．
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解析 如图，连结，则，，．
由于四边形为等腰梯形，则由托勒密定理（或过、作垂线亦可），，又，于是，由于与互质，由题设知其必须均为平方数，，适合，这是满足要求的最小自然数．
18.1.18★★★对于某些正整数来说，只有一组解（不计顺序），这里，、、是正整数且可构成三角形的三边长，这样的共有多少个？
解析 显然，当（素数）时无解；当或时只有一组解（1，，）或（1，1，1）；当（、为不同素数）时无解；当（为大于3的素数）时也无解．剩下的数为8，12，16，18，24，27，30，32，36，40，42，45，48，50，54，56，60，63，64，66，70，72，75，78，80，81，84，88，90，96，98，99，100．
易验证，无解的有：30，42，54，56，63，66，70，78，88，99；
唯一解的有：8，12，16，18，24，27，32，40，45，48，50，75，80，81，84，90，96，98；
不止一组解的有：36，60，64，72，100．
注意：判定无解的主要依据是，，时无解，困为．
因此，有解的共有23个．
18.1.19★★面积为整数的直角三角形周长为正整数，求的最小值，并求此时这个直角三角形的两条直角边的可取值（如不止一组解，只需举了一组即可）．
解析 设该直角三角形的直角三角形周长分别为、，则，，，，故．
下令，，如有解，则可．
，
平方得
．
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取，得
因此、为方程的根，解得、为与，故的最小值是5．
18.1.20★★若的三边长、、均为整数，且，求内切圆半径．
解析 不妨设，于是．
又，故，得．
于是只可能为7或10．
时，，只可能，，，内切圆半径
．
时，，没有满足要求的解．
18.1.21★★证明：若、、是一组勾股数，则存在正整数、、、，使得，而，；或，．
解析 ，设（，，），则，，，．易知、、两两互质；与不可能同偶，否则，，；与也不会同奇，否则，矛盾．于是与必一奇一偶，不妨设奇而偶，于是为奇数．
从而，与必互质，否则有一奇素数，，得，，故（，），与（，）=1矛盾．
于是可设，，（，）=1，且、均为奇数，解得，，，令，，即得结论．
18.1.22★★★如图，、在的边、上，的延长线与的延长线交于，求证：、、、、、、、的长度不可能是1～8的排列．
解析 如果，则，得，矛盾，故，同理、、、、都不等于1．
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因此1只可能等于或之长，不失对称性，设，则
，，作，在上，四边形乃一等腰梯
形，于是为正整数．
又，故，但为等腰三角形的底角，，，为的最大内角，，矛盾，因此结论证毕．
18.1.23★★★已知梯形中，，、分别在、上，，，如果、、均为正整数，称该梯形为“整数梯形”．现对于正整数，有正整数′
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