人教版初中数学《第21章不定方程》竞赛专题复习含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第21章 不定方程 ‎§21.1 二元一次不定方程 ‎21.1.1★求不定方程的正整数解．‎ 解析 因为，，，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是 其中可以取一切正整数．‎ ‎21.1.2★求的整数解．‎ 解析1 将方程变形得 ‎．‎ 因为是整数，所以应是11的倍数．由观察得，是这个方程的一组整数解，‎ 所以方程的解为 为整数．‎ 解析2 先考察，通过观察易得 ‎，‎ 所以 ‎，‎ 可取，．从而 为整数．‎ 评注 如果、是互质的整数，是整数，且方程 ‎ ①‎ 有一组整数解、．则此方程的一切整数解可以表示为 其中，±1，±2，±3，…．‎ ‎21.1.3★求方程的非负整数解．‎ 解析 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎． ①‎ 由观察知，，是方程 ‎ ②‎ 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 所以方程①的一切整数解为 因为要求的原方程的非负整数解，所以必有 由于是整数，由③、④得15≤≤16，所以只有15，16两种可能．‎ 当15时，15，；当16时，4， 3．所以原方程的非负整数解是 ‎21.1.4★求方程的所有正整数解．‎ 解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解．‎ 用方程 ‎①‎ 的最小系数7除方程①的各项，并移项得 ‎．②‎ 因为、是整数，故也是整数，于是有．再用5除此式的两边得 ‎．③‎ 令 (整数)，由此得 ‎．④‎ 由观察知，是方程④的一组解．将代入③得．代入②得=25．于 是方程①有一组解，，所以它的一切解为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由于要求方程的正整数解，所以 解不等式，得只能取0，1．因此得原方程的正整数解为 ‎21.1.5★求方程的整数解．‎ 解析 因为，，．‎ 为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得 ‎1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4‎ ‎=37-9×(37-33)=9×33-8×37‎ ‎=9×(107-2×37)-8×37=9×107-26×37‎ ‎=37×(-26)+107×9,‎ 由此可知，是方程的一组整数解．于是 ‎,‎ 是方程的一组整数解．所以原方程的一切整数解为 是整数．‎ ‎21.1.6★求方程的整数解．‎ 解析 设，即，于是．原方程可化为 用前面的方法可以求得①的解为 是整数．‎ ‎②的解为 是整数．‎ 消去，得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 是整数．‎ ‎21.1.7★求方程的整数解．‎ 解析 设，则 对于①，，是一组特解，从而①的整数解为 是整数．‎ 又，是方程②的一组特解，于是②的整数解为 是整数．‎ 所以，原方程的整数解为 ‎、是整数．‎ ‎21.1.8★求方程组的正整数解．‎ 解析 消去，得 ． ①．‎ 易知，是它的一组特解，从而①的整数解为 是整数．‎ 代入原方程组，得所有整数解为 是整数．‎ 由，，得 ‎，‎ 所以0，1，故原方程组的正整数解为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21.1.9★求方程的正整数解的组数．‎ 解析 因为，所以，是一组特解．于是方程的整数 解为 是整数．‎ 由 得.‎ 所以1，2，…，87．故原不定方程有87组正整数解．‎ ‎21.1.10★★某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法?‎ 解析 设需枚7分，枚5分恰好支付142分，于是 ‎．①‎ 所以 ‎．‎ 由于≤142，所以≤20，并且由上式知．因为(5，2)=1，所以，从而 ‎1，6，11，16．①的非负整数解为 所以，共有4种不同的支付方式．‎ 评注 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．‎ ‎21.1.11★★今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用100个钱买100只鸡，问公 鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?‎ 解析 设公鸡、母鸡、小鸡各买、、只，由题意列方程组 ‎①化简得.③‎ ‎③-②得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即 解得于是的一个特解为所以的所有整 数解为 是整数．‎ 由题意知，，，，所以，‎ 解得 故.‎ 由于是整数，故只能取26，27，28，而且、、还应满足 ‎．‎ 所以 ‎26‎ ‎4‎ ‎18‎ ‎78‎ ‎27‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎81‎ ‎28‎ ‎12‎ ‎4‎ ‎84‎ 即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．‎ ‎21.1.12★★小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套lO次共得61分，问：小鸡至少被套中几次?‎ 解析 设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，则根据题意得 我们要求这个方程组的正整数解．‎ 消去：从①中减去②×2得，于是 ‎．③‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由③可以看出．从而的值只能是1，2，3，4，5．将③写成 ‎，‎ 由于是整数，所以必须是3的倍数．从而只有2、5两个值满足这一要求．‎ 但时，，不是正整数．在时，，是本题的解．‎ 因此小鸡被套中5次．‎ 评注 本题问“小鸡至少被套中几次?”实际上却只有一个解，“至少”两字可以省去．‎ ‎21.1.13★★今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?‎ 解析 设甲、乙、丙盐水分别各取克、克、克，配成浓度为7％的盐水100克，依题意有 其中，0≤≤60，0≤≤47．‎ 解方程组可得 由 得．‎ 又，，和，，均满足题设，故甲种盐水最少可用35克，最 多可用49克．‎ ‎§21.2 勾股数 ‎21.2.1★★★满足方程的一切基本勾股数、、（为偶数)，都可表示为以下形式：‎ ‎，，，①‎ 其中、为正整数，(，)=1，，、一奇一偶．‎ 解析 设正整数、满足(，)=1，，、一奇一偶，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 所以一切形如①的正整数、、都是方程的解．下面证明这样的、、是基本勾股 数．‎ 设，由于、一奇一偶，所以是奇数，由，于是是奇数．又由，得，即，同理．因为是奇数，所以，，于是．由得，所以．这就证明了由①确定的、、是一组基本 勾股数．‎ 反过来，设、、是一组基本勾股数，且是偶数，和都是奇数，则和都是整数．‎ 设，则存在正整数和，使 ‎，，，‎ 于是，．‎ 由于，所以，即 ‎．‎ 由得 ‎．‎ 这就可推出上式中右面两个因式都是平方数．设 ‎，，‎ 这里．，于是可得 ‎．‎ 由于是奇数，所以、一奇一偶．这就证明了方程的任意一组解、、(为偶数)‎ 都可由①表示．‎ 评注 如果正整数、、满足方程，那么就称、、是一组勾股数．边长为正整数的直角三角形就称为勾股三角形．‎ 在勾股数、、中，如果这三个数的最大公约数是1，那么这样的勾股数就称为基本勾股数．如果 ‎（，，）=，那么设 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎′，′，′，‎ 则有（′，′，′）=1，并且由得 ‎，‎ 两边除以，得．所以我们只需研究基本勾股数．在基本勾股数、、中，和必定一奇一偶．这一点可以用反证法证明：假定和的奇偶性相同，那么有两种可能的情况：①和同奇，②和同偶．如果和同奇，由于奇数的平方是4的倍数加1，所以是4的倍数加2，于是是偶数，也是偶数，而偶数的平方是4的倍数，这与4的倍数加2矛盾，所以和不能都是奇数．如果和都是偶数，那么也是偶数，这与、、是基本勾股数矛盾，所以和中一奇一偶．由此也可推出是奇数．‎ ‎21.2.2★设、、是勾股数，是质数，求证：和都是完全平方数．‎ 解析 ．因为是质数，所以只有1、、三个正约数．由于，所以有 由此得，‎ ‎，‎ 所以和都是完全平方数．‎ ‎21.2.3★求证：、、(是正整数)是一组勾股数．‎ 解析 因为是正整数，，．由 ‎,‎ 所以、、是一组勾股数．‎ ‎21.2.4★若勾股数组中，弦与股的差为1，则勾股数组的形式为、、，其中 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 为正整数．‎ 解析 设弦长为，股长为，勾为．‎ 因为（，）=1，所以、、为一组基本勾股数．又为奇数，为偶数，则为奇数．‎ 设，则，得，．‎ 所以，勾股数组具有形式、、．‎ ‎21.2.5★★求证：勾股三角形的直角边的长能取任何大于2的正整数．‎ 解析 当是大于1的奇数时，和都是正整数，并且 ‎．‎ 当是大于2的偶数时，和都是正整数，并且 ‎．‎ 由以上两式可以看出，勾股三角形的一直角边可取大于2的任何正整数．‎ ‎21.2.6★★求证：在勾股三角形中，‎ ‎(1)必有一条直角边的长是3的倍数；‎ ‎(2)必有一条直角边的长是4的倍数；‎ ‎(3)必有一条边的长是5的倍数．‎ 解析 设该勾股三角形的三边的长分别为、、（是斜边)，则．只要证明、、是基本勾股数时的情况．不失一般性，设为偶数，则 ‎，，，‎ 其中、满足上述定理中的条件．‎ ‎(1)若、中至少有一个是3的倍数，则是3的倍数；若、都不是3的倍数，设 ‎，，‎ 则 是3的倍数．‎ ‎(2)由于、一奇一偶，所以是4的倍数．‎ ‎(3)若、都不是5的倍数，则的末位数是1或9；的末位数字是4或6．‎ ‎1+4=5，1+6=7，9+4=13，9+6=15，由于一个完全平方数的末位数不可能是7和3，所以 的末位数只可能是5．于是的末位数是5．‎ 评注 由此可推出，勾股三角形的面积必是6的倍数；三边之积必是60的倍数．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21.2.7★★求基本勾股数组，其中一个数是16．‎ 解析 设勾股数组、、，其中16．‎ ‎16=2×4×2=2×8×1，‎ 若，，有()-2≠1，从而只有，，，且和为一奇一偶．于是 ‎，‎ ‎．‎ 从而，只有一组基本勾股数16、63、65．‎ 评注 若不要求基本勾股数，则16=2×4×2，设，，得 ‎，．‎ 即16、12、20为一组勾股数．‎ 又，设，，得 ‎，．‎ 即16、30、34为一组勾股数．‎ ‎21.2.8★★设、、为一组勾股数，其中为奇质数，且>，>．求证：必为完全平方数．‎ 解析 因为、、为一组勾股数，，，则有．‎ ‎，．‎ 设，则有 ‎．‎ 因为，为奇质数，则(否则，若，则，矛盾)．‎ 由，得，从而是完全平方数．‎ ‎21.2.9★★直角三角形的三边的长都是正整数，其中有一条直角边的长是35，它的周长的最大值和 最小值分别是多少?‎ 解析 设直角三角形的三边长分别是35，，，则 ‎，‎ 即．‎ ‎1225的大于35的正约数可作为，其中最大的是1225，最小的是49，所以，直角三角形的周长的 最大值是 ‎35+1225=1260，‎ 最小值是 ‎35+49=84．‎ ‎21.2.10★★设为大于2的正整数．证明：存在一个边长都是整数的直角三角形，它的一条直角边长 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 恰为．‎ 解析 只需证明不定方程，有正整数解．‎ 利用，结合与具有相同的奇偶性，故当为奇数时，由（，）=（1，），可得不定方程的一组正整数解 ‎（，）=；‎ 而当为偶数时，由条件，知≥4．利用 ‎（，）=，‎ 可得不定方程的一组正整数解 ‎（，）=．‎ 综上，可知命题成立。‎ ‎21.2.11★★如果正整数、、满足．‎ 证明：数和都可以表示为两个正整数的平方和．‎ 解析 先证下述命题：如果正整数可表示为两个正整数的平方和，则也可表示为两个整数的平 方和．‎ 设，这里、、都是正整数，且．则．于是，可表为两个整数和的平方和，命题获证．‎ 注意到，由条件有 ‎．‎ 利用已证命题，可知 ‎．‎ 记，，由可知、都是正整数，并且．‎ 若、不同为偶数，则由平方数或，可知或，这是一个矛盾．所以，、都是偶数，从而，这就是要证的结论．‎ 评注 这里本质上只是恒等式的应用，在处理竞赛问题时，代数式变形能 力显得十分重要．‎ ‎21.2.12★★★矩形中，，，且，，其中、都是质数，和是正整数，，为奇数，求和的长．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 由勾股定理，得．设，则．‎ 因为为奇数，所以和必一奇一偶．‎ 若为偶数，设，，．‎ 又为偶数，为质数，则，于是．从而 ‎．‎ 设，，．则 ‎．‎ 因为是奇数，则必有，从而，此时 ‎．‎ 又，则，，．于是 ‎．‎ 因为为奇数，则，，得．从而 ‎，，‎ ‎，．‎ 若为偶数，同样解得，，不符合，所以舍去．‎ 从而 ，．‎ ‎21.2.13★★★求方程的满足条件，（，，）=1的一切正整数解．‎ 解析 显然和同奇同偶．假定和都是偶数，那么上是4的倍数，是偶数，是偶数，这与(，，)=1矛盾，所以和都是奇数，和都是偶数．设 其中、为正整数，则 由和都是奇数可知，、一奇一偶．下面证明（，）=1．设（，）=，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 为奇数，且存在整数′和′，使 ‎′，′，（′，′）=1，‎ 于是 ‎．‎ 由于（，2）=1，所以，，由于（，，）=1，所以．由此得（，）=1．于是 ‎（，）=1．‎ 由于是奇数，所以 ‎（，）=（，）=（，）=1．‎ 把，代入原方程得 ‎，‎ 即．由于（，）=1，所以、、是一组基本勾股数．‎ 所以，当为奇数时，‎ 当为偶数时，‎ 由于，所以 这里(,)=1，，、一奇一偶．‎ ‎21.2.14★★★★求证方程没有正整数解．‎ 解析 假定方程有正整数解，设在所有正整数解中最小的解是(，，)．‎ 假定是偶数，则和皆奇或皆偶．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 若，皆奇，则是4的倍数+2，不是完全平方数，更不是完全四次方数，这与矛盾．‎ 若，皆偶，设 ‎，，，‎ 则 ‎，‎ 于是 ‎，‎ 可见是偶数，设，则 ‎，‎ 所以（，，）也是方程的一组解，且，这与最小矛盾．‎ 由上述讨论可知，是奇数，此时和一奇一偶．‎ 若为奇数，由题21.2.1得 这里(,)=1，，、一奇一偶，于是 ‎，‎ ‎．‎ 所以（，，）是方程的一组正整数解，但是，这与最小矛盾．‎ 若为奇数，由题21.2.1得，‎ 这里（，）=1，，、一奇一偶．‎ 若为奇数，因(，)=1，由，可设 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，，（，）=1，‎ 由于，由21.2.1得 ‎，，，‎ 这里(，)=1，，、一奇一偶，且 由于(,)=1，所以可设，，于是，即．显然，(，，)是方程 的一组正整数解，但是，这与最小矛盾．‎ 若为偶数，同样可推出类似的结果．‎ 综上所述，方程没有正整数解．‎ ‎§21.3 其他不定方程 ‎21.3.1★求方程的整数解(，)的个数．‎ 解析 原方程可化为 ‎，‎ 因为三个连续整数的乘积是3的倍数，于是，上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．‎ ‎21.3.2★将150写成至少2个连续正整数的和，共有多少种不同的方式?‎ 解析 设，其中、都是正整数，于是 ‎．‎ 因为是奇数，所以与为一奇一偶，且1，所以 解得(，)=(49，2)，(28，4)，(3，14)，(36，3)，(7，11)．‎ 所以，共有5种不同的方式．‎ ‎21.3.3★★求满足，且的不同整数对（，）的对数．‎ 解析 因为，所以．‎ 即 ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由此可知，必具有，必具有形式，并且(，均为正整数)．‎ 又，所以．‎ 当，时，得(5，1805)；‎ 当，时，得(20，1620)；‎ 当，时，得(405，605)．‎ 因此，不同整数对的个数为9．‎ ‎21.3.4★★不定方程 的正整数解(，，，)有多少组?‎ 解析 原方程可以化为 ‎，‎ 而36表示成四个奇数的平方和只有如下两种方式：‎ ‎36=1+1+9+25，36=9+9+9+9，‎ 所以，方程的正整数解(，，，)为 ‎(1，1，3，4)、(2，2，3，4)、(1，2，3，4)、(3，3，3，3)‎ 以及它们的排列，故共有12+12+24+1=49组．‎ ‎21.3.5★★求关于、的方程的所有正整数解．‎ 解析 因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以、都是偶数．‎ 设，，则，同上可知，、都是偶数．设，，则，所以，、都是偶数．设，，则，于是 ‎，‎ 其中、都是偶数．所以 ‎．‎ 所以可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是289，从而．于是 因此，‎ ‎21.3.6★★已知、均为正整数，且，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 求的最大值．‎ 解析 原式化为，因为、均为正整数，且，所以是正整数．‎ 设(是正整数)，则，有，所以．而 ‎，‎ 所以 或 于是 或 所以的最大值是45×3=135．‎ ‎21.3.7★★设、、为整数，且，，求的值．‎ 解析 不妨设，将代入得到 ‎．‎ 因为、都是整数，所以 前两个方程组无解，后两个方程组解得；，．所以或57．‎ ‎21.3.8★★已知正整数、满足 ‎，‎ 求的最大值．‎ 解析 设，则,‎ 所以 ‎,‎ 于是是完全平方数，令(是正整数)，则 ‎,‎ 由于和同奇偶，即为偶数，所以的最大值为52×104．故的最大值为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 的最大值为104，此时．‎ ‎21.3.9★★已知三个两两互质的正整数、、满足方程组 求的值．‎ 解析 由，得 ‎,‎ 所以 ‎．‎ 因为 ‎,所以 ‎,即．‎ 所以 ‎，‎ 故，于是，．‎ 由于（，）=（，）=，所以，，，，于是．‎ ‎21.3.10★★设、、、都是质数，且>>>，．求 的所有可能值．‎ 解析 由为奇数，可知、、、不全为奇数，只能是为偶数，即．于是，．再由条件，，知 ‎，‎ 又，故 ‎，‎ 即有．结合，可知，故，进而，综合，‎ 得．进而，利用与具有相同的奇偶性及=2 (因为，为质数)，可知只能是，故（，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎） (43，11)．所以 ‎．‎ ‎21.3.11★★设是正整数，记1×2×…×为!(例如1!=1，2!=1×2，5!=1×2×3×4×5)，若存在整数、、、、满足 ‎,‎ 这里， 2，3，4，5，6．求的值．‎ 解析 在题设等式的两边乘以6！，得 ‎31×20=3×4×5×+4×5×+5×++，‎ 因为31×20除以6余2，所以除以6余2，而0≤