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第22章 与
22.1.1★ 求的值．
解析 因为
，
又
，
所以．
故．
22.1.2★ 若是正整数，求的值．
解析 因为
，
所以，
所以．
22.1.13★ 数的末尾有多少个连续的零?
解析 的质因数分解式中，5的最高次方幂为
，
所以的末尾有499个零．
评注 在中，质数的最高次幂是
，
其中，且．
22.1.4★★ 设，求．
解析 要求，只需证明介于两个连续的整数之间．所以需要对
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进行适当的变形，通过放大、缩小
的手段求出的范围，从而确定的取值．
由题设知，．考虑到
，2，3，4，…，2007，可以得到
，
所以．
评注 上述解题过程中，首先对进行了“放缩”，又通过“拆项”的方法使和式中前后两项能够相互抵消一部分，使和式化简，从而得到了的范围．
在对和式取整时，利用和式本身的性质进行“缩放”的方法非常重要，需要在平时的学习中多积累一
些和式的性质以及变形技巧．
22.1.5★★ 计算和式
的值．
解析 因为（23，101）=1，所以，当时，都不是整数，即都不为零．又因为
=23，
而，且是整数，所以
，
则．
从而，可以把，，…，首尾配对，共配成50对，每一对的和为22，所以
．
22.1.6★★ 已知，且满足，求的值．
解析 因为，所以，，…，
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等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以
，
，
所以，
．
故，于是，所以．
22.1.7★★ 求满足的所有实数的和．
解析 原方程可化为，所以，可得，于是101，102，…，125，从而，满足条件的实数为
，，…，，
它们的和为
．
22.1.8★★ 已知，如果要求是正整数，求满足条件所有实数的和．
解析 显然，，2003是质数，，
设，由题设，是整数，．
，1，2，3，…，2002．
和
．
22.1.9★ 解方程．
解析 原方程可改写为
，
将其代人，可得
．
解此不等式组，有
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，
即，
所以．
将代入原方程，得
．
所以，原方程的解是．
评注 若一次方程中同时出现和的一次项，可以通过以下的步骤进行求解：（1）从方程中解出或，分别代入不等式组
或，
求解后得到或的范围，从而求得的“可能取值”（注意不一定是解!）．
（2）将这些“可能值”代人原方程进行求解．
（3）检验．因为在（1）中将或代人不等式组，实际上是“放大”了的范围，所以必须验根！
22.1.10★ 解方程：．
解析 设，则为整数，且
， ①
由原方程知，即
． ②
，
即．
所以，或．
代入②，得,．
22.1.11★★ 解方程：．
解析 由原方程可化为，代入不等式组
，有
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．
整理后得到．
当时，因为，所以，即，所以，与矛盾．
当时，因为，所以，即．
又因为，所以．
所以，故．代入原方程，得．
22.1.12★★ 解方程．
解析 这是一个关于的二次方程，如果从方程中解出或，并代入不等式组将会使问题复杂化．可
以利用的性质，通过建立不等关系缩小的取值范围，从而得到的可能取值．
由原方程知，．因为，所以将和分别代入中，得到不等式组
即
所以或，2，6，7，8．
代入原方程得，得，，，．
经检验知，，，，均为原方程的解．
22.1.13★★ 已知、、满足：
对于数，表示不大于的最大整数，．求、、的值．
解析 首先注意到，对于任意有理数，，所以．①+②+③得
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，
即． ④
④－①得到，从而，；
④－②得到，从而，；
④－③得到，因此，．
故，，．
22.1.14★★ 解方程（其中表示不超过的最大整数）．
解析 若是整数，则，于是非零整数都是原方程的解．
若不是整数，则，由题设得
，
所以．
设，则，．代入上式得
．
当时，，这样的整数不存在．
当时，，只有整数满足，此时．于是
．
综上所述，原方程的解为所有非零整数和－9.9．
22.1.15★★ 证明：对于任意实数，有
．
解析 设，其中，则有，．
当时，，，所以
，，
于是．
当时，，，所以
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，
，
于是．
所以，对于任意实数，恒成立．
说明 本题中的等式有更为一般的形式：对任意实数，有
，
其中为大于l的一切正整数．
这个等式称为埃尔米特（Hermite）恒等式．
22.1.16★★ 设、为正整数，，求证：
．
解析 设为整数，且，则有
，
两边同时叠加，得到
．
所以
．
评注 对任意实数，有
（请读者自证）
22.1.17★★★ 如果是正整数，求证：
解析 任意正整数，总存在正整数，满足，不妨设，其中．
（1）当时，即．则
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． ①
又因为，所以
． ②
由①、②式，得
，所以．
另一方面，
，
，
即．
故当时，等式成立．
（2）当时，
，
，
．
则． ③
又
，，
．
因为
，
所以
．即
．
所以． ④
由③、④式，得
．
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另一方面，
，
．
所以．
故当时，等式亦成立．
综上所述，原等式成立．
22.1.18★★ 设、、是正实数，求的最小值．
解析 对于实数，有，所以
．
由于是整数，所以．
当，，时，．
故的最小值为4．
22.1.19★★ 在1，2，…，2005这2005个正整数中，有多少个可以表示成的形式，其中是正实数．（这里表示不超过的最大整数．）
解析 令，则，于是
，因为，所以，令，则可以表示数，，…，．
由于，，所以，欲求的数的个数为
．
22.1.20★★★ 将正整数中所有被4整除以及被4除余1的数全部删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列：2，3，6，7，10，11，…．数列的前项之和记为，其中1，2，3，…．求
的值．（其中表示不超过的最大整数）
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解析 易知，，，2，…，因此
，
，
所以
，
，
故，，从而，于是
．
22.1.21★★★★ 在，，，…，中，有多少个不同的整数?（其中，表示不超过的最大整数）
解析 设，则当2，3，…，1003时，
有
，
而，，，所以，从0到501的整数都能取到．
当1004，1005，…，2006时，有
，
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而
，
所以，，，…，是互不相同的整数．
从而，在，，，…，中，共有个不同的整数．
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