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第26章 离散量的最大值和最小值问题
26.1.1** 某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？
解析 设前5场比赛的平均得分为，则前9场比赛的平均得分为
．
由题设知，
解得．所以前5场最多得分是
（分）．
再设他第10场比赛得了分，那么有
，
解得y>28．
故他第10场比赛得分≥29分．
另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意．
所以，他在第10场比赛中至少得了29分．
评注 在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题．
26.1.2* 从任意个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求的最小值．
解析 任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数．
又l，2，…，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数．
综上所述，至少需任取13个数才能满足题意．
26.1.3** 从1，2，3，…，20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍．
解析 从1，2，…，20中取7，8，…，20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍．
把1，2，…，20分成如下14组：{1，3，9}，{2，6，18}，{4，12}，{5，15}，{7}，f8}，{10}，{11}，{13}，{14}，{16}，{17}，{19}，{20}，从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍．
26.1.4** 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子．问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？
解析 取100个小伙子是这样的一种特殊情况．他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100个．
26.1.5** 代数式中，、、、、、、、、可以分别取1或者．
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（1）求证：代数式的值都是偶数；
（2）求该代数式所能取到的最大值．
解析 （1）因为
，
所以，此代数式的值为偶数．
（2）原式，要使原式取得最大值，则与取1与，与取l与．但是，若与的取值相同（1或），则与的取值也相同，有．若与的取值不同．则与的取值也不同，也有．
所以，原式的最大值为4．这时取，，，，．
26.1.6** 一个三位数除以43，商是．余数是（、都是整数），求的最大值．
解析 由带余除法可知：
一个三位数． ①
因为是余数，它必须比除数小，即≤42．根据①式．考虑到等式右边是一个三位数，为此不超过23（因为24×43>1000）．当时，因为43×23+10＝999，此时为10．当时，可取余数，此时43×22+42＝998．
故当，时，值最大，最大值22+42＝64．
从1，2，…，1001这1001个正整数中取出个数，使得这个数中任意两个数的差都不是素数，求的最大值．
解析 设正整数被取出，则，，，都不能被取出．而，，三者中至多只能有一个被取出．
所以连续8个整数，，，3，4，，，中至多有两个数被取出，而
1001＝8×125+1，所以≤2×125+1＝251．
又1，5，9，…，1001这251个数满足题设条件．所以的最大值为251．
26.1.8*** 从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数、、（），都有．
解析 首先，1，14，15，…，205这193个数，满足题设条件．
事实上，设、、（）这三个数取自1，14，15，…，205，若，则；若，则．
另一方面，考虑如下12个数组：
（2，25，2×25），（3，24，3×24），…，（13，14，13×14），
上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13×14＝1821，则
，
且．
所以，当1时，可以把逐步调整到1，这时，将增大；同样地，可以把，，…，逐步调整到1，这时将增大．于是，当，，…，均为1，时，取得最大值，即
若存在两个数、，使得，则
，
这说明在，，…，，中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l，较大的数减1，这时，将减小．
所以，当取到最小时，，，…，。中任意两个数的差都不大于1．不难算出，当，时，取得最小值，即
．
故．
26.1.11*** 从1，2，…，9中任取个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求”的最小值．
解析 当时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．
当时，设，，…，是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则，，…，中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是，
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，…，中必定有一个数是5．
若，，…，中含1，则不含9．于是不含4（4+l+5＝10），故含6；于是不含3（3+6+1＝10），故含7；于是不含2（2+1+7＝10），故含8．但是5+7+8＝20是10的倍数，矛盾．
若，，…，中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5＝20），故含4；于是不含7（7+4+9＝20），故含3；于是不含8（8+9+3＝20），故含2．但是5+3+2＝10是10的倍数，矛盾．
综上所述，的最小值为5．
26.1.12*** 把1，2，…，30这30个数分成个小组（每个数只能恰在一个小组中出现），使得每一个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数，求的最小值．
解析 首先，考虑数6，19，30，因为6+19＝，6+30＝，19+30＝，所以，这3个数必须属于3个不同的小组，于是≥3．
另一方面，可以把1，2，…，30这30个数分成如下3个小组，使得它们满足题设条件：
{3，7，11，15，19，23，27，4，8，16，24），
{1，5，9，13，17，21，25，29，6，14，18，26}，
{2，10，12，20，22，28，30}，
由于完全平方数除以4的余数只能是0或者1，容易验证、、满足题设条件．
26.1.13*** 从{1，2，3，…，2000）中最多可能取出几个数，使得任意两个取出的数的差不为质数？
解析 首先，对于任意自然数女，，{，，，…，}中至多取2个，使得它们的差不为质数．
事实上，只需考虑集合{1，2，3，4，5，6，7，8}．把它分成3组：，{1，3，6，8），{2，4，7）．集合或中任意两数之差均为质数，故、中最多只能取一个．若5取出，则中1或6可取出．对于1，5，中不能取出数了；对于5，6，中也不能再取出数了．若5不取出，则、中最多各取一个，至多为2个．
综上所述，{，，，…，}中至多取2个，它们的差不为质数．从而{1，2，3，…，2000}中至多可取500个．
又对于4，4×2，…，4×500这500个数，其中任意两个数的差为4的倍数，不是质数．
因此，最多可取500个数满足要求．
26.1.14**** 有一个正方形的纸片，用剪刀沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；取出其中一部分，再沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；又从这三部分中取其中之一，还是沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，若最后得到了34个62边形和一些多边形的纸片，则至少要剪多少刀？
解析 根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加，于是，经过忌次分割后，可得（1）个多边形，这些多边形的内角和为（．
因为这（）个多边形中有34个62边形．它们的内角和为
，
其余多边形有（个），而这些多边形的内角和不少于．所以
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，解得≥2005．
当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下一个三角形，得到一个三角形和一个五边形，再在五边形上剪下一个三角形，得到2个三角形和一个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和一个62边形．再取出33个三角形，在每个三角形上各剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个62边形和33×58个三角形．于是共剪了58+33+33×58＝2005（刀）．
评注 我们也是先估计（剪的次数）的下界，然后再说明这个下界（2005）是可以取到的，这里给了一个具体的剪法．注意，这个具体的剪法是必不可少的．另外，本题中估计女的下界，用的是“算两次”方法，即从两个不同的方面去考虑同一个量，一方面……另一方面……结合两个方面，可以得到一个等式，或者不等式，进而得到我们需要的结果．“算两次”是解最大值和最小值问题的有力工具．
26.1.15*** 某市有一些数学爱好者参加了今年的数学邀请赛，这次比赛的试题共有6道．已知每道试题恰有500名学生答对，但是任意两名学生中，至少有一道试题使得这两名学生都没有答对，问：该市至少有多少名数学爱好者参加了这次数学邀请赛？
解析 首先，易知每位学生至多答对了4道题．
事实上，由题设知，对任意一位学生来说，不可能答对6题．若有一位学生答对5题，由题意知，所有其他学生都与他答错相同的题，这也与每道试题恰有500个学生答对的题设矛盾．
若有一位学生答对了4题，不妨设答对了第l、2、3、4题，则没有一位学生同时答对第5题和第6题，否则将与题意矛盾．因为答对第5题与第6题的学生各有1500人，这样，学生人数至少为500+500+1>1000人．
若每位学生至多答对了3题，由于全部学生答对题数的总和为500×6＝3000题，所以学生人数至少有：3000÷3＝1000人．
下面的例子说明1000人是可能的．
答对下列问题的人数各有100人：（1，2，3），（1，3，4），（1，4，5），（1，5，6）．（1，2，6），（2，4，6），（2，3，5），（2，4，5），（3．4，6），（3，5，6）．
综上所述，至少有1000人参加了这次数学邀请赛．
26.1.16*** 一座大楼有4部电梯．每部电梯可停靠三层（不一定是连续三层，也不一定停最底层）．对大楼中的任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠，请问这座大楼最多有几层？
解析 设大楼有层，则楼层对有，每部电梯停3层，有个层次，所以．
所以．当时，四部电梯停靠楼层分别为（1，4，5），（2．4，5），（3，4，5），（1，2，3）．
综上所述，大楼至多有5层．
26.1.17**** 10个学生参加个课外小组．每一个小组至多5个人；每两个学生至少参加某一个小组；任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：的最小值为6．
解析 设10个学生为，…，，个课外小组为，…，．
首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其他9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．
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若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加、，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组，矛盾．
所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是个课外小组，，…，的人数之和不小于3×10＝30．
另一方面。每一课外小组的人数不超过5，所以个课外小组，，…，的人数不超过，故
，
所以≥6．
下面构造一个例子说明是可以的．
，
，
，
，
，
．
容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．
所以，的最小值为6．
26.1.18**** 2006个都不等于119的正整数，，…，排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求的最小值．
解析 首先汪明命题：对于任意119个正整数，，…，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．
事实上，考虑如下119个正整数
，，…，， ①
若①中有一个是119的倍数，则结论成立．
若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为和，于是
，
从而此命题得证．
对于，，…，
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中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为2006＝16×119+102，所以
． ②
取，其余的数都为1时，②式等号成立．
所以，的最小值为3910．
26.1.19**** 设是大于2的整数，将2，3，…，这个数任意分成两组，总可以在其中一组中找到数，，（可以相同），使得．求的最小值．
解析 当时，把2，3。…，分成如下两组：
{2，3，，+1，…，一1}和{4，5，…，－1}．
在数组{2，3。，+1，…，－1}中，由于
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