人教版初中数学《第27章极端原理》竞赛专题复习含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第27章 极端原理 ‎27.1.1** 两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚．使得对方无法按照规则再放，谁就获胜．问：是先放合算还是后放合算？‎ 解析 本题的极端情况是：桌面小的只能放下一枚硬币．这时当然是先放的人合算．‎ 一般情况下，先放的人把硬币放在圆桌的中心处，每当对手放下一枚硬币后，就在对方硬币关于“圆心”对称位置再放下一枚硬币，这样只要对手还能放硬币，先放的人一定也能放，所以放最后一枚硬币的人一定是先放的人，从而他必能获胜．‎ 评注 本题解法的独到之处在于考虑最极端的情况，“桌面最小”．这里的极端原理实际是一种“从特殊到一般”的思考方法，并且在极端情况下的结果提示我们解决一般问题的方法，在应用极端原理时，我们要利用如下的事实：‎ ‎1．有限个数中一定有最大数和最小数；‎ ‎2．无限个正整数中有最小数；‎ ‎3．无限个实数不一定有最大数或最小数．‎ ‎27.1.2** 在一次乒乓球循环赛中，（≥3）名选手中没有全胜的，证明：一定可以从中找出三名选手、、，使得胜，胜，胜．‎ 解析 没取胜场数最多的一名选手为，由于没有一个选手是全胜的，所以在这名选手中存在一名选手，胜．‎ 考虑击败的选手的全体，其中必有选手胜．事实上，若的手下败将也都负于，那么胜的场数比胜的场数至少要多1，这与是获胜场数最多的选手矛盾．‎ 所以，存在三名选手、、，使得胜，胜，胜．‎ ‎27.1.3** 平面上已给997个点，将连结每两点的线段中点染成红色，证明：至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点．‎ 解析 997个点中每两点都有一个距离，因而共有个距离（其中有可能有些距离是相等的），其中一定有一个最大距离．设是最大的距离．‎ 分别以、为圆心，为半径作圆，如图所示．点与除点之外的995个点的连线的中点在圆的内部或边界上；点与除点外的995个点的连线的中点在圆的内部或边界上，这样我们得到了 995+995＝1990个红点．‎ 另外，的中点是不同于上述1990个红点的，所以，至少有1991个红点．‎ 下面构造一个例子，说明恰好有1991个红点，设997个点在数轴上1，2，3，…，997的位置．这时中点为：，，，…，，，故红点恰有1991个．‎ ‎27.1.4** 证明：在任意的凸五边形中，都可以找到三条对角线，由这三条对角线可以组成一个三角形．‎ 解析 如图所示，在凸五边形中，一共有5条对角线：、、、、‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，所以其中一定有一条是最长的，不妨设最长．‎ 由于是凸四边形，设与的交点为，则 ‎．‎ 因为最长，所以，、、这三条对角线可以作为一个三角形的三条边．‎ ‎27.1.5* 平面上给定3个点。已知其中任意两点的距离不超过1，证明：这3个点被一个半径为等的圆覆盖．‎ 解析 设三点为、、，不妨设，，当≥时．易知以删为直径的圆可覆盖（此圆半径≤≤0．‎ 于是（，）也是方程①的一组正整数解．但是由 ‎，‎ 得．‎ 这与为最小相矛盾．因此愚为某个正整数的平方．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费