导数及应用
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】A
2．曲线在点处的切线的斜率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
3．曲线在点处切线的倾斜角为( )
A． B． C． D．
【答案】C
4．若，则=( )
A． 1 B． 0 C． 0或1 D．以上都不对
【答案】C
5．是( )
A． B． C． D．
【答案】A
6．由直线x=,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为( )
A． B． C． D．2ln2
【答案】D
7．函数处的切线方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
8．=( )
A．2 B．4 C．π D．2π
【答案】A
9．设点是曲线上的任意一点,点处切线倾斜角为，则角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
10．曲线在点处的切线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】C
11．曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
12．函数在点处的导数是( )
A． B． C． ( D)
【答案】D
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．______.
【答案】
14．已知一组抛物线，其中为1、3、5、7中任取的一个数，为2、4、6、8中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是 ．
【答案】
15．已知，则＝
【答案】
16．函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，则 .
【答案】6
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．定义函数．
(1)令函数的图象为曲线求与直线垂直的曲线的切线方程；
(2)令函数的图象为曲线，若存在实数b使得曲线
在处有斜率为的切线，求实数a的取值范围；
(3)当，且时，证明．
【答案】（1），
由，得． 又，由，得
，．又，切点为．
存在与直线垂直的切线，其方程为，即
(2）．
由，得．
由，得．
在上有解．
在上有解得在上有解，． 而，
当且仅当时取等号， ．
(3）证明：
．
令，则，
当时，∵，∴，单调递减，
当时，． 又当时，，
当．且时，，即．
18．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为（12－x）2万件。
(1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
(2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）。
本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．
【答案】（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：
．
(Ⅱ）
．
令得或（不合题意，舍去）．
，．
在两侧的值由正变负．
所以（1）当即时，
．
(2）当即时，
，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润
最大，最大值（万元）．
19． 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白.
(1)试确定画面的高与宽的尺寸，使宣传画所用的纸张面积最小；
(2)当时，试确定的值，使宣传画所用纸张面积最小。
【答案】设画面的高为，宽为，则，
(1)设纸张面积为，则有
当且仅当时，即时，取最小值，
此时，高，宽 .
(2)如果，则上述等号不能成立.函数S(λ)在上单调递增.
现证明如下：
设,
则
因为，
又，
所以，故在上单调递增,
因此对，当时，取得最小值.
20．已知函数在处有极大值7．
(Ⅰ)求的解析式；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)求在=1处的切线方程．
【答案】 (Ⅰ)，
,
∴．
(Ⅱ)∵，由得 解得或
由得，解得
∴的单调增区间为，
的单调减区间为．
(Ⅲ) ∵又∵f(1)=-13
∴切线方程为
21．已知函数f（x）＝ex－k－x，（x∈R）
(1）当k＝0时，若函数g（x）＝的定义域是R，求实数m的取值范围；
(2）试判断当k>1时，函数f（x）在（k,2k）内是否存在零点．
【答案】（1）当k＝0时，f（x）＝ex－x，f ′（x）＝ex－1，
令f ′（x）＝0得，x＝0，当x0，
∴f（x）在（－∞，0）上单调减，在[0，＋∞）上单调增．
∴f（x）min＝f（0）＝1，
∵对∀x∈R，f（x）≥1，∴f（x）－1≥0恒成立，
∴欲使g（x）定义域为R，应有m>－1．
∴实数m的取值范围是（－1，＋∞）．
(2）当k>1时，f（x）＝ex－k－x，f ′（x）＝ex－k－1>0在（k,2k）上恒成立．
∴f（x）在（k,2k）上单调增．
又f（k）＝ek－k－k＝1－k0，∴h（k）在k>1时单调增，
∴h（k）>e－2>0，即f（2k）>0，
∴由零点存在定理知，函数f（x）在（k,2k）内存在零点．
22．设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且
f′（x）=2x+2.
(1）求y=f（x）的表达式；
(2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
(2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.
【答案】（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2.
∴f（x）=x2+2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根，
∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.
故f（x）=x2+2x+1.
(2）依题意，有所求面积=.
(3）依题意，有，
∴，－t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，
∴2（t－1）3=－1，于是t=1－.
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