2018年江苏省高考数学预测试题(三)含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2018年江苏高考预测试题(三)‎ ‎(对应学生用书第137页)‎ ‎(限时：120分钟)‎ 参考公式 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝xi.‎ 棱柱的体积V＝Sh，其中S是棱柱的底面积，h是高．‎ 棱锥的体积V＝Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．‎ 数学Ⅰ试题 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中模线上)‎ ‎1．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B＝________.‎ ‎{－2，－1}　[因为集合A＝{x|x＞－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，‎ 则(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}‎ ‎＝{－2，－1}．]‎ ‎2．若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模等于________．‎ ‎5　[因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以x＋yi＝＝＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.]‎ ‎3．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：‎ 不喜欢戏剧 喜欢戏剧 男性青年观众 ‎40‎ ‎10‎ 女性青年观众 ‎40‎ ‎60‎ 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为________．‎ ‎30　[由题意＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得n＝30.]‎ ‎4．如图1所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．‎ 图1‎ ‎1－　[设OA＝OB＝2，如图，由题意得S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，‎ 所以S空白＝S△OAB＝×2×2＝2.‎ 又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，所以S阴影＝π－2.‎ 所以P＝＝＝1－.]‎ ‎5．在同一直角坐标系中，函数y＝sin(x∈[0,2π))的图象和直线y＝的交点的个数是________. ‎ ‎【导学号：56394125】‎ ‎2　[令y＝sin＝，解得x＋＝＋2kπ，或x＋＝＋2kπ，k∈Z；‎ 即x＝－＋2kπ，或x＝＋2kπ，k∈Z；‎ ‎∴同一直角坐标系中，函数y的图象和直线y＝ 在x∈[0,2π)内的交点为和，共2个．]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6．如下是一个算法的伪代码，则输出的结果是________．‎ ‎7．现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为‎10 cm，最下面的三节长度之和为‎114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.‎ ‎16　[设对应的数列为{an}，公差为d(d＞0)．由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an，由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38，又(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16.]‎ ‎8．设α为锐角，若sin＝，则cos＝________.‎ 　[∵0＜α＜，∴＜α＋＜，－＜α－＜.‎ ‎∵sin＝＜，故α＋＜，∴α＜.‎ ‎∴cos＝；‎ 又∵－＜α－＜，sin ‎＝cos＝cos＝，‎ ‎∴sin＝－.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 cos＝cos ‎＝coscos－sinsin ‎＝×＋×＝.]‎ ‎9．已知实数x，y满足不等式则的取值范围是________．‎ 　[ω＝＝＋.‎ 令t＝，由图可知≤t≤2，‎ 则ω＝t2＋，t∈，‎ 令ω′＝2t－＝0，则t＝1.‎ ω在t∈上为减函数，在t∈[1,2]上为增函数，‎ t＝1时，ω有最小值3，t＝时，ω有最大值，故t的范围为.]‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，过双曲线E的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则双曲线E的离心率为________．‎ ‎2　[如图，由题意得∠BAC＝90°，∠BAF＝∠FAC＝45°，从而AF＝BF.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 将x＝c代入双曲线方程得yB＝，AF＝a＋c，从而＝a＋c，即b2＝a2＋ac，则c2－ac－‎2a2＝0，即e2－e－2＝0，从而e＝2.]‎ 图2‎ ‎11．如图2，三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：‎ ‎①异面直线SB与AC所成的角为90°；‎ ‎②直线SB⊥平面ABC；‎ ‎③平面SBC⊥平面SAC；‎ ‎④点C到平面SAB的距离是a.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ ‎①②③④　[由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度a即为C到平面SAB的距离，④正确．]‎ ‎12．在△ABC中，A＝30°，AB＝3，AC＝2，且＋2＝0，则·＝________.‎ ‎－6　[如图所示，‎ ‎△ABC中，A＝30°，AB＝3，AC＝2，‎ ‎∴cos 30°＝＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠ABC＝90°，‎ ‎∴BC＝；‎ 又＋2＝0，‎ ‎∴A(0,3)，D(0,1)，C(，0)；‎ ‎∴＝(，－3)，＝(－，1)，‎ ‎∴·＝×(－)－3×1＝－6.]‎ ‎13．已知a，b为正实数，函数f (x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f (x)在[－1,0]上的最小值为________．‎ ‎－　[由a，b为正实数，可得函数y＝ax3＋bx的导函数y′＝3ax2＋b＞0，即可得函数y＝ax3＋bx在R上是增函数，由此可得函数f (x)＝ax3＋bx＋2x在R上是增函数，又由函数f (x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为f (1)＝a＋b＋2＝4，可得a＋b＝2，∴函数f (x)在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－a－b＋＝－2＋＝－.]‎ ‎14．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)‎ ‎1,1,3,3　[假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，‎ 则∴ 又s＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝1，‎ ‎∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2.‎ 同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.‎ 由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x－2)2＋(y－2)2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝2上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3.]‎ 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15．(本小题满分14分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足a＝3bcos C.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若a＝3，tan A＝3，求△ABC的面积．‎ ‎[解]　(1)由正弦定理＝＝＝2R及a＝3bcos C可得2Rsin A＝3×2Rsin Bcos C，即sin A＝3sin Bcos C.‎ ‎∵A＋B＋C＝π，∴sin A＝sin(B＋C)＝3sin Bcos C，‎ ‎∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝3sin Bcos C，‎ ‎∴cos Bsin C＝2sin Bcos C，∴＝2，故＝2. 6分 ‎(2)法一：由A＋B＋C＝π，得tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－3，‎ 即＝－3，将tan C＝2tan B代入得 ＝－3，解得tan B＝1或tan B＝－.‎ 根据tan C＝2tan B，得tan C，tan B同号，‎ 又tan C，tan B同时为负数不合题意，‎ ‎∴tan B＝1，tan C＝2，‎ ‎∴sin B＝，sin C＝，sin A＝，‎ 由正弦定理可得＝，∴b＝，‎ ‎∴S△ABC＝absin C＝×3××＝3.‎ 法二：由A＋B＋C＝π，得tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－3，‎ 即＝－3，将tan C＝2tan B代入得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ＝－3，‎ 解得tan B＝1或tan B＝－.根据tan C＝2tan B得tan C，tan B同号，又tan C，tan B同时为负数不合题意，‎ ‎∴tan B＝1，tan C＝2.‎ 又∵a＝3bcos C＝3，∴bcos C＝1，‎ ‎∴abcos C＝3，‎ ‎∴abcos Ctan C＝6，‎ ‎∴S△ABC＝absin C＝×6＝3. 14分 ‎16．(本小题满分14分)如图3，四棱锥E－ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD.‎ 图3‎ ‎(1)求证：AB⊥ED；‎ ‎(2)线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. ‎ ‎【导学号：56394126】‎ ‎[解]　(1)证明：取AB中点O，连接EO，DO、‎ ‎∵EA＝EB，∴EO⊥AB.‎ ‎∵AB∥CD，AB＝2CD，‎ ‎∴BO∥CD，BO＝CD.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又AB⊥BC，∴四边形OBCD为矩形，∴AB⊥DO.‎ ‎∵EO∩DO＝O，∴AB⊥平面EOD.‎ ‎∴AB⊥ED.6分 ‎(2)存在点F，当F满足＝，即F为EA中点时，有DF∥平面BCE.‎ 理由如下：取EB中点G，连接CG，FG，DF.‎ ‎∵F为EA中点，∴FG∥AB，FG＝AB.‎ ‎∵AB∥CD，CD＝AB，∴FG∥CD，FG＝CD.‎ ‎∴四边形CDFG是平行四边形，∴DF∥CG.‎ ‎∵DF⊄平面BCE，CG⊂平面BCE，‎ ‎∴DF∥平面BCE. 14分 ‎17．(本小题满分14分)如图4，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在圆周上．‎ 图4‎ ‎(1)设∠BOC＝θ，征地面积记为f (θ)，求f (θ)的表达式；‎ ‎(2)当θ为何值时，征地面积最大？‎ ‎[解]　(1)连接OE，OC，可得OE＝R，OB＝Rcos θ，BC＝Rsin θ，θ∈，‎ ‎∴f (θ)＝2S梯形OBCE＝R2(sin θcos θ＋cos θ)，θ∈. 6分 ‎(2)求导数可得f ′(θ)＝－R2(2sin θ－1)(sin θ＋1)，‎ 令f ′(θ)＝0，则sin θ＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵θ∈，‎ ‎∴θ∈时，f ′(θ)＞0，θ∈时，f ′(θ)＜0，‎ ‎∴θ＝时，f (θ)取得最大，即θ＝时，征地面积最大. 14分 ‎18．(本小题满分16分)已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，q≠±1，正整数组E＝(m，p，r)(m＜p＜r)．‎ ‎(1)若a1＋b2＝a2＋b3＝a3＋b1，求q的值；‎ ‎(2)若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且am＋bp＝ap＋br＝ar＋bm，求q的最大值．‎ ‎(3)若bn＝n－1，am＋bm＝ap＋bp＝ar＋br＝0，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式an.(注：本小问不必写出解答过程)‎ ‎[解]　(1)∵a1＋b2＝a2＋b3＝a3＋b1，∴a1＋b1q＝a1＋d＋b1q2＝a1＋2d＋b1，化为：2q2－q－1＝0，q≠±1.‎ 解得q＝－. 4分 ‎(2)am＋bp＝ap＋br＝ar＋bm，即ap－am＝bp－br，∴(p－m)d＝bm(qp－m－qr－m)，‎ 同理可得：(r－p)d＝bm(qr－m－1)．‎ ‎∵m，p，r成等差数列，∴p－m＝r－p＝(r－m)，记qp－m＝t，则2t2－t－1＝0，‎ ‎∵q≠±1，t≠±1，解得t＝－，即qp－m＝－，∴－1＜q＜0，‎ 记p－m＝α，α为奇数，由公差大于1，∴α≥3.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(3)满足题意的数组为E＝(m，m＋2，m＋3)，此时通项公式为：an＝m－1·，m∈N*.‎ 例如E＝(1,3,4)，an＝n－. 16分 ‎19．(本小题满分16分)已知函数f (x)＝x3－ax＋1.‎ ‎(1)若x＝1时，f (x)取得极值，求a的值；‎ ‎(2)求f (x)在[0,1]上的最小值；‎ ‎(3)若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线 y＝f (x)的切线，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)因为f ′(x)＝x2－a，‎ 当x＝1时，f (x)取得极值，所以f ′(1)＝1－a＝0，a＝1.‎ 又当x∈(－1,1)时，f ′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，‎ 所以f (x)在x＝1处取得极小值，即a＝1符合题意. 4分 ‎(2)当a≤0时，f ′(x)＞0对x∈(0,1)成立，‎ 所以f (x)在[0,1]上单调递增，f (x)在x＝0处取最小值f (0)＝1，‎ 当a＞0时，令f ′(x)＝x2－a＝0，x1＝－，x2＝，‎ 当0＜a＜1时，＜1，‎ x∈(0，)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，‎ x∈(，1)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，‎ 所以f (x)在x＝处取得最小值f ()＝1－.‎ 当a≥1时，≥1，‎ x∈[0,1]时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以f (x)在x＝1处取得最小值f (1)＝－a.‎ 综上所述，‎ 当a≤0时，f (x)在x＝0处取最小值f (0)＝1；‎ 当0＜a＜1时，f (x)在x＝处取得最小值f ()＝1－；‎ 当a≥1时，f (x)在x＝1处取得最小值f (1)＝－a.10分 ‎(3)因为∀m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f (x)的切线，所以f ′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，‎ 只要f ′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，‎ 而f ′(x)＝x2－a的最小值为f (0)＝－a，‎ 所以－a＞－1，即a＜1.‎ 所以a的取值范围是(－∞，1). 16分 ‎20．(本小题满分16分)已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m＜3)与椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)有一个公共点A(3,1)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．‎ ‎(1)求m的值与椭圆E的方程；‎ ‎(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围．‎ 图5‎ ‎[解]　(1)点A代入圆C方程，得(3－m)2＋1＝5.‎ ‎∵m＜3，∴m＝1.‎ 圆C：(x－1)2＋y2＝5.‎ 设直线PF1的斜率为k，‎ 则PF1：y＝k(x－4)＋4，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即kx－y－4k＋4＝0.‎ ‎∵直线PF1与圆C相切，‎ ‎∴＝.‎ 解得k＝或k＝.当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．‎ 当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，‎ ‎∴c＝4.F1(－4,0)，F2(4,0)．‎ ‎2a‎＝AF1＋AF2＝5＋＝6，a＝3，a2＝18，b2＝2.‎ 椭圆E的方程为＋＝1. 10分 ‎(2)＝(1,3)，设Q(x，y)，＝(x－3，y－1)，‎ ·＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.‎ ‎∵＋＝1，即x2＋(3y)2＝18，‎ 而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，‎ ‎∴－18≤6xy≤18.‎ 则(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36]．‎ x＋3y的取值范围是[－6,6]．‎ ‎∴·＝x＋3y－6的取值范围是[－12,0]. 16分 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．[选做题](本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ 图6‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)‎ 如图6，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.若设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径. ‎ ‎【导学号：56394127】‎ ‎[解]　如图，连接DE，交BC于点G.‎ 由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.‎ 又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.‎ 由勾股定理可得DB＝DC.‎ 因为∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，‎ 故DG是BC边的中垂线，所以BG＝.‎ 设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，‎ 故Rt△BCF外接圆的半径等于. 10分 B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知矩阵A＝，B＝.‎ 求满足条件AM＝B的矩阵M及曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M对应变换下的曲线方程C′.‎ ‎[解]　设M＝，‎ AM＝＝＝，‎ 得∴a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.‎ ‎∴M＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′，y′)，‎ 则M＝＝＝，‎ ‎∴即 代入曲线C：x2＋y2＝1，‎ 得2＋2＝1.‎ ‎∴曲线C′的方程是＋＝1. 10分 C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 在极坐标系中，已知点A，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ≤2π)上，当线段AB最短时，求点B的极坐标．‎ ‎[解]　以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，‎ 则点A的直角坐标为(0,2)，直线l的直角坐标方程为x＋y＝0.‎ AB最短时，点B为直线x－y＋2＝0与直线l的交点，‎ 联立得所以点B的直角坐标为(－1,1)．‎ 所以点B的极坐标为. 10分 D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)‎ 设函数f (x)＝＋|x－a|(a＞0)．‎ 若f (3)＜5，求a的取值范围．‎ ‎[解]　f (3)＝＋|3－a|.‎ 当a＞3时，f (3)＝a＋，由f (3)＜5，得3＜a＜.‎ 当0＜a≤3时，f (3)＝6－a＋，‎ 由f (3)＜5，得＜a≤3.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 综上，a的取值范围是. 10分 ‎[必做题](第22题，第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎22．(本小题满分10分)已知正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AB＝2，AA1＝，点D为AC的中点，点E在线段AA1上．‎ 图7‎ ‎(1)当AE∶EA1＝1∶2时，求证：DE⊥BC1；‎ ‎(2)是否存在点E，使二面角D－BE－A等于60°，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)证明：连接DC1，因为ABC－A1B‎1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，‎ 又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，‎ 又平面ABC⊥平面ACC‎1A1，所以BD⊥平面ACC‎1A1，所以BD⊥DE.‎ 因为AE∶EA1＝1∶2，AB＝2，AA1＝，所以AE＝，AD＝1，‎ 所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，在Rt△DCC1中，∠C1DC＝60°，所以∠EDC1＝90°，即ED⊥DC1，‎ 所以ED⊥平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以ED⊥BC1. 4分 ‎(2)假设存在点E满足条件，设AE＝h.‎ 取A‎1C1的中点D1，连接DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 分别以DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，‎ E(1,0，h)，‎ 所以＝(0，，0)，＝(1,0，h)，＝(－1，，0)，＝(0,0，h)，‎ 设平面DBE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 则 即令z1＝1，‎ 得n1＝(－h,0,1)，‎ 同理，平面ABE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，‎ 则即令y2＝1，得 n2＝(，1,0)．‎ 所以cos〈n1，n2〉＝＝cos 60°＝.‎ 解得h＝＜，‎ 故存在点E，当AE＝时，二面角D－BE－A等于60°. 10分 ‎23．(本小题满分10分)已知(x＋2)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n(n∈N*)．‎ ‎(1)求a0及Sn＝ai；‎ ‎(2)试比较Sn与(n－2)3n＋2n2的大小，并说明理由．‎ ‎[解]　(1)令x＝1，则a0＝3n，令x＝2，则ai＝4n，所以Sn＝ai＝4n－3n.‎ ‎ 2分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)要比较Sn与(n－2)3n＋2n2的大小，只要比较4n与(n－1)3n＋2n2的大小．‎ 当n＝1时，4n＞(n－1)3n＋2n2，当n＝2或3时，4n＜(n－1)3n＋2n2，‎ 当n＝4时，4n＜(n－1)3n＋2n2，‎ 当n＝5时，4n＞(n－1)3n＋2n2.‎ 猜想：当n≥5时，4n＞(n－1)3n＋2n2.下面用数学归纳法证明：‎ ‎①由上述过程可知，当n＝5时，结论成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时结论成立，即4k＞(k－1)3k＋2k2，‎ 两边同乘以4，得4k＋1＞4[(k－1)3k＋2k2]＝k3k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－4)3k＋6k2－4k－2]，‎ 而(k－4)3k＋6k2－4k－2＝(k－4)3k＋6(k2－k－2)＋2k＋10＝(k－4)3k＋6(k－2)(k＋1)＋2k＋10＞0，‎ 所以4k＋1＞[(k＋1)－1]3k＋1＋2(k＋1)2，‎ 即n＝k＋1时结论也成立. 8分 由①②可知，当n≥5时，4n＞(n－1)3n＋2n2成立．‎ 综上所述，当n＝1时，Sn＞(n－2)3n＋2n2；当n＝2或3或4时，4n＜(n－1)3n＋2n2，Sn＜(n－2)3n＋2n2；‎ 当n≥5时，Sn＞(n－2)3n＋2n2. 10分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费