第四章 单元检测卷
(考试时间：120分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1．若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是( )
A．14 B．10 C．3 D．2
2．如图，已知直线a∥b，AC⊥AB，AC与直线a，b分别交于A，C两点，若∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A．30° B．35° C．45° D．50°
3．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线．则对应作法错误的是( )
A．① B．② C．③ D．④
4．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图2.则下列说法正确的是( )
A．点M在AB上
B．点M在BC的中点处
C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远
D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远
5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
6．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上．若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．20° B．30° C．45° D．50°
7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )
A．4 B．6 C．16 D．55
8．如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以AB为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是( )
A．CD⊥l
B．点A，B关于直线CD对称
C．点C，D关于直线l对称
D．CD平分∠ACB
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )
A. B.－1 C．2－ D.
10．如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G.下列结论：
①△ABE≌△ACF；②BC＝DF；③S△ABC＝S△ACF＋S△DCF；④若BD＝2DC，则GF＝2EG.
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：__________________________________________________，该逆命题是______命题(填“真”或“假”)．
12．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D.若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是________．
13．在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tan∠A－1|＋(cos∠B－)2＝0，那么∠C＝__________．
14．如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为 5 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.
15．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限．△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是____________；翻滚2 017次后AB的中点M经过的路径长为__________．
三、解答题(本大题共5个小题，共55分)
16．(本题满分9分)
如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.
(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
(2)求线段BD的长．
17．(本题满分10分)
如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过A作AH⊥CD于点H，交BE于点F.
求证：(1)△ABC ≌△ADE；
(2)BF＝EF.
18．(本题满分11分)
今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截住可疑船只，此时D点与B点的距离为75 海里．
(1)求B点到直线CA的距离；
(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)
19．(本题满分12分)
我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点．过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．
(1)等边三角形“内似线”的条数为________；
(2)如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.
求证：BD是△ABC的“内似线”；
(3)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别在边AC，BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长．
20．(本题满分13分)
如图，在△ABC中，BC＞AC，点E在BC上，CE＝CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，作CH⊥AB，垂足为H.
(1)如图1，当∠ACB＝90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F.
①求证：FA＝DE；
②请猜想三条线段DE，AD，CH之间的数量关系，直接写出结论；
(2)如图2，当∠ACB＝120°时，三条线段DE，AD，CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．
参考答案
1．B 2.A 3.C 4.C 5.C 6.D 7.C 8.C 9.A 10.D
11．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 假
12．15 13.75° 14.13
15．(5，) (＋896)π
16．解：(1)AC⊥BD.证明如下：
∵△DCE由△ABC平移而成，
∴BE＝2BC＝6，DE＝AC＝3，
∠E＝∠DCE＝∠ACB＝60°.
∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB.
又∵∠DCE＝∠CBD＋∠CDB＝60°，
∴∠CBD＝30°，∴∠BDE＝90°，
∴BD⊥DE.
又∵∠E＝∠ACB＝60°，
∴AC∥DE，∴AC⊥BD.
(2)由(1)知，BD⊥DE，
∴△BED是直角三角形．
∵BE＝6，DE＝3，
∴BD＝＝＝3.
17．证明：(1)∵AB⊥AD，AE⊥AC，
∴∠BAD＝90°，∠CAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠CAD＋∠DAE，
∴∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE.
(2)由(1)知，△ABC≌△ADE，
∴∠AEC＝∠ACB.
在Rt△ACE中，∠ACE＋∠AEC＝90°，
∴∠BCE＝90°.
∵AH⊥CD，AE＝AC，∴CH＝HE.
∵∠AHE＝∠BCE＝90°，∴BC∥FH，
∴＝＝1，∴BF＝EF.
18．解：(1)如图，过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，
∵∠MBC＝60°，∴∠CBA＝30°，
∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°.
∴∠BCA＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°.
∴BH＝BC·sin∠BCA＝150×＝75.
答：B点到直线CA的距离为75海里．
(2)∵BD＝75，BH＝75，
∴DH＝＝75.
∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，
在Rt△ABH中，tan∠BAH＝＝，
∴AH＝25，
∴AD＝DH－AH＝75－25.
答：执法船从A到D航行了(75－25)海里．
19．(1)3
(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD＝BC＝AD，
∴∠BAD＝∠ABD，∠BDC＝∠C.
设∠A＝x，则∠ABD＝x，
∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∠C＝2x，∠ABC＝2x.
又∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，
∴∠A＝∠DBC＝36°，∠C＝∠BDC＝72°.
∴△ABC∽△BDC.
又∵∠DBC＝180°－72°－72°＝36°，
∴BD平分∠ABC，∴BD过△ABC的内心，
∴BD是△ABC的“内似线”．
(3)解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，
作△ABC内接圆⊙O，
∵⊙O到各边距离相等设为r，
则S△ABC＝r·(3＋4＋5)．
又∵S△ABC＝AC·BC＝×3×4＝6，∴r＝1.
第一种情况，△CEF∽△CAB，如图1，过O作直线EF∥AB分别交边AC，BC于E，F，EF是△ABC的“内似线”，过O作OM⊥AC于M，作ON⊥BC于N，∴OM＝ON＝1，且ON∥AC，OM∥BC，
易证△EOM∽△ABC∽△OFN.
∴＝，OE＝，＝，∴OF＝，
∴EF＝＋＝.
第二种情况，△CEF∽△CBA.如图2，同理可得
OE＝，OF＝，EF＝.综上，EF＝.
20．(1)①证明：∵CF⊥CD，∴∠FCD＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCE，
∴∠FCA＝∠DCE.
∵∠FAC＝90°＋∠B，∠CED＝90°＋∠B，
∴∠FAC＝∠CED.
∵AC＝EC，∴△AFC≌△EDC，∴FA＝DE.
②DE＋AD＝2CH.
(2)解：AD＋DE＝2CH.理由如下：
如图，连接CD，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于点F，
∵∠FCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，
∴∠FCA＝∠BCD.
∵∠EDA＝60°，∴∠EDB＝120°.
∵∠FAC＝120°＋∠B，∠DEC＝120°＋∠B，
∴∠FAC＝∠DEC.
∵AC＝EC，∴△FAC≌△DEC，
∴AF＝DE，FC＝DC.∵CH⊥FD，
∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°.
在Rt△CHD中，tan 60°＝，
∴DH＝CH.
∵AD＋DE＝AD＋AF＝2DH＝2CH，
即AD＋DE＝2CH
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