第3课时 函数的图像与性质3
1．(2016·大庆)若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝－2x2＋4x＋2与C2：y2＝－x2＋mx＋n为“友好抛物线”．
(1)求抛物线C2的解析式；
(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ＋OQ的最大值；
(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(－1，4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．
解：(1)∵y1＝－2x2＋4x＋2＝－2(x－1)2＋4，
∴抛物线C1的顶点坐标为(1，4)．
∵抛物线C1与C2顶点相同，∴＝1，－1＋m＋n＝4.解得m＝2，n＝3.
∴抛物线C2的解析式为y2＝－x2＋2x＋3.
(2)如图1所示，设点A的坐标为(a，－a2＋2a＋3)．
∵AQ＝－a2＋2a＋3，OQ＝a，
∴AQ＋OQ＝－a2＋2a＋3＋a＝－a2＋3a＋3＝－(a－)2＋.
∴当a＝时，AQ＋OQ有最大值，最大值为.
(3)如图2所示，连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D.
∵B(－1，4)，C(1，4)，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴BC⊥CM，BC＝2.
∵∠BMB′＝90°，∴∠BMC＋∠B′MD＝90°.
∵B′D⊥MC，∴∠MB′D＋∠B′MD＝90°.
∴∠MB′D＝∠BMC.
在△BCM和△MDB′中，
∴△BCM≌△MDB′.∴BC＝MD，CM＝B′D.
设点M的坐标为(1，b)．则B′D＝CM＝4－b，MD＝CB＝2.∴点B′的坐标为(b－3，b－2)．
∴－(b－3)2＋2(b－3)＋3＝b－2.整理得b2－7b－10＝0.解得b＝2，或b＝5.
当b＝2时，M的坐标为(1，2)；
当b＝5时，M的坐标为(1，5)．
综上所述，当点M的坐标为(1，2)或(1，5)时，B′恰好落在抛物线C2上．
2．(2016·河北模拟)如图，已知二次函数y1＝x2－2tx＋2t－1(t＞1)的图像为抛物线C1.
(1)求证：无论t取何值，抛物线C1与x轴总有两个交点；
(2)已知抛物线C1与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，将抛物线C1作适当的平移，得到抛物线C2：y2＝(x－t)2，
平移后A，B的对应点分别为D(m，n)，E(m＋2，n)，求n的值；
(3)在(2)的条件下，将抛物线C2位于直线DE下方的部分沿直线DE向上翻折后，连同C2在DE上方的部分组成一个新图形，记为图形G，若直线y＝－x＋b(b＜3)与图形G有且只有两个公共点，请结合图像求b的取值范围．
解：(1)证明：令y1＝0，得Δ＝(－2t)2－4(2t－1)＝4t2－8t＋4＝4(t－1)2，
∵t＞1，∴Δ＝4(t－1)2＞0.
∴无论t取何值，方程x2－2tx＋(2t－1)＝0总有两个不相等的实数根，
∴无论t取何值，抛物线C1与x轴总有两个交点．
(2)解方程x2－2tx＋(2t－1)＝0得，x1＝1，x2＝2t－1，
∵t＞1，∴2t－1＞1，得A(1，0)，B(2t－1，0)．
∵D(m，n)，E(m＋2，n)，∴DE＝AB＝2，
即2t－1－1＝2，解得t＝2.
∴二次函数为y1＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.
∴将抛物线C1向上平移1个单位可得抛物线C2：y2＝(x－2)2，
故n＝1.
(3)由(2)得抛物线C2：y2＝(x－2)2，D(1，1)，E(3，1)，
翻折后，顶点F(2，0)的对应点为F′(2，2)，
如图，当直线y＝－x＋b经过点D(1，1)时，记为直线l3，此时b＝，图形G与l3只有一个公共点；
当直线y＝－x＋b经过点E(3，1)时，记为直线l2，此时b＝，图形G与l2有三个公共点；
当b＝3时，y＝－x＋3恰好过F′点，∴≤b＜3时，直线y＝－x＋b与圆弧G有三个交点．
∴当b＜3时，由图像可以知道，只有当直线l：y＝－x＋b位于l2与l3之间时，图形G与直线l有且只有两个公共点．
∴符合题意的b的取值范围是＜b＜.
3．(2016·承德模拟)在平面直角坐标系xOy中，过点(0，2)且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
(3)若抛物线C2：y＝ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图像，求a的取值范围．
解：(1)根据题意，过点(0，2)且平行于x轴的直线y＝2，并且与直线y＝x－1交于点A，∴将y＝2代入，得2＝x－1，解得x＝2＋1＝3，∴点A的坐标为(3，2)．∵点A关于直线x＝1的对称点为B，根据对称的性质可得，|3－1|＝|xB－1|，由题意，得2＝1－xB，解得xB＝－1，∴点B的坐标 (－1，2)．
(2)∵抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A(3，2)，B(－1，2)，将点代入抛物线，得
①－②得，4b＋8＝0，解得b＝－2，将其代入①，得2＝9－6＋c，解得c＝－1，∴原方程组的解为
∴抛物线C1的解析式为y＝x2－2x－1.则抛物线的对称轴为直线x＝1，其顶点坐标为(1，－2)．
(3)根据题意，如图所示，当抛物线C2：y＝ax2(a≠0)过A点，B点时为临界情况，将A(3，2)代入y＝ax2，得9a＝2，解得a＝，将B(－1，2)代入y＝ax2，得(－1)2a＝2，解得a＝2.由图可知抛物线过点B时不符合题意，即此时不能取等号，故≤a＜2.
4．(2016·长沙)若抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．
(1)若直线y＝mx＋1与抛物线y＝x2－2x＋n具有“一带一路”关系，求m，n的值；
(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y＝的图像上，它的“带线” l的解析式为y＝2x－4，求此“路线”L的解析式；
(3)当常数k满足≤k≤2时，求抛物线L：y＝ax2＋(3k2－2k＋1)x＋ k的“带线” l与x轴、y轴所围成的三角形面积的取值范围．
解：(1)令直线y＝mx＋1中x＝0，则y＝1，即直线与y轴的交点为(0，1)．
将(0，1)代入抛物线y＝x2－2x＋n中，得n＝1.
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2.
∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．
将点(1，0)代入到直线y＝mx＋1中，得0＝m＋1，
解得m＝－1.
∴m的值为－1，n的值为1.
(2)将y＝2x－4代入到y＝中有
2x－4＝，即2x2－4x－6＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
∴该“路线”L的顶点坐标为(－1，－6)或(3，2)．
令“带线”L：y＝2x－4中x＝0，则y＝－4，
∴“路线”L的图像过点(0，－4)．
设该“路线”L的解析式为y＝m(x＋1)2－6或y＝n(x－3)2＋2，
由题意，得－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2，
解得m＝2，n＝－.
∴此“路线”L的解析式为y＝2(x＋1)2－6或y＝－(x－3)2＋2.
(3)令抛物线L：y＝ax2＋(3k2－2k＋1)x＋k中x＝0，则y＝k，
即该抛物线与y轴的交点为(0，k)．
抛物线L：y＝ax2＋(3k2－2k＋1)x＋k的顶点坐标为(－，)，
设“带线”l的解析式为y＝px＋k，
∵点(－，)在y＝px＋k上，
∴＝－p·＋k，
解得p＝.
∴“带线”l的解析式为y＝x＋k.
∴令“带线”l：y＝x＋k中y＝0，则0＝x＋k，
解得x＝－.
即“带线”l与x轴的交点为(－，0)与y轴的交点为(0，k)．
∴“带线”l与x轴、y轴所围成的三角形面积S＝|－|×|k|，
∵≤k≤2，
∴≤≤2.∴S＝＝＝.
当＝1时，S有最大值，最大值为；
当＝2时，S有最小值，最小值为.
故抛物线L：y＝ax2＋(3k2－2k＋1)x＋k的“带线”l与x轴、y轴所围成的三角形面积的取值范围为≤S≤.
5．(2016·张家口模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，)，B(2，0)在抛物线l1：y＝ax2＋bx＋1(a，b为常数，且a≠0)上，直线l2经过抛物线l1的顶点且与y轴垂直，垂足为点D.
(1)求l1的解析式，并写出它的对称轴和顶点坐标；
(2)设l1有一动点P从点A出发，沿抛物线从左向右运动，点P的纵坐标yp，也随之以每秒2个单位长度的速度变化，设点P运动的时间为t(秒)，连接OP，以线段OP为直径作⊙F.
①求yp关于t的表达式，并写出t的取值范围；
②当点P在起点A处时，直线l2与⊙F的位置关系是相切；在点P从点A运动到点D的过程中，直线l2与⊙F是否始终保持着上述的位置关系？请说明理由．
(3)在(2)中的条件下，当点P开始从点A出发，沿抛物线从左向右运动时，直线l2同时向下平移，垂足D的纵坐标yD以每秒3个单位长的速度变化，当直线l2与⊙F相交时，求t的取值范围．
解：(1)将A(－1，)，B(2，0)代入y＝ax2＋bx＋1中，得
解得
∴l1的解析式为y＝－x2＋1.
对称轴为直线x＝0，顶点坐标为(0，1)．
(2)①当点P从点A运动到点D时，yP＝＋2t.
若点P恰好运动到点D，则＋2t＝1，∴t＝.
故点P从A运动到点D的过程中，yP＝＋2t(0≤0＜)．当点P从点D向点B的方向运动时，yP＝1－2(t－)＝－2t(t≥)．
②保持相切，理由如下：
如图，设P(x，＋2t)，则圆心F(，＋t)，圆心F到直线l2的距离是d＝1－(＋t)＝－t，
圆的半径为r2＝()2＋(＋t)2.
又∵P在抛物线l上，∴＋2t＝－x2＋1.
∴x2＝1－8t.
∴r2＝＋(＋t)2＝(t－)2.
∵0≤t＜，∴r＝－t.
∴r＝d.
∴点P从点A运动到点D的过程中，直线l2与⊙F是相切的．
(3)点P开始运动时，直线l2也同时向下平移，此时点D的纵坐标为yD＝1－3t.
①当0≤t＜时，由(2)可知，圆心F的纵坐标yF＝＋t，半径r＝－t.
此时圆心F到直线l2的距离为d＝|yF－yD|＝|＋t－(1－3t)|＝|4t－|＝－4t.
若直线l2与⊙F相交，则－4t＜－t，解得t＞0.
∴当0＜t＜时，直线l2与⊙F相交．
②当t≥时，同理可知圆心F的纵坐标yF＝－t，半径为r＝t＋.
此时⊙F到直线l2的距离为d＝|yF－yD|＝|－t－(1－3t)|＝|2t－|.
当≤t≤时，d＝－2t.
若直线l2与⊙F相交，则d＜r，即－2t＜t＋，
解得t＞0.
∴当≤t≤时，直线l2与⊙F相交．
当t＞时，d＝2t－.
若直线l2与⊙F相交，则d＜r，即2t－＜t＋，
解得t＜.
∴当＜t＜时，直线l2与⊙F相交．
综上可知，当直线l2与⊙F相交时，0＜t＜.
6．(2016·河北考试说明)如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注：不含AB线段)．已知A(－1，0)，B(1，0)，AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．
(1)求两条射线AE，BF所在直线的距离；
(2)当函数y＝x＋b的图像与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当函数y＝x＋b的图像与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；
(3)已知▱AMPQ(四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．
解：(1)分别连接AD，DB，则点D在直线AE的反向延长线上，如图1，∵点D在以AB为直径的半圆上，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AD.在Rt△DOB中，由勾股定理得BD＝＝.
∵AE∥BF，∴两条射线AE，BF所在直线的距离为.
(2)当函数y＝x＋b的图像与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b＝或－1＜b＜1；当函数y＝x＋b的图像与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜.
(3)假设存在满足题意的▱AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：
①当点M在射线AE上时，如图2.
∵A，M，P，Q四点按顺时针方向排列，
∴直线PQ必在直线AM的上方，
∴P，Q两点都在AD弧上，且不与A，D重合．
∴0＜PQ＜.
∵AM∥PQ且AM＝PQ，∴0＜AM＜.
∴－2＜x＜－1.
②当点M在(不包括点D)上时，如图3，∵A，M，P，Q四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．
③当点M在上时，设的中点为R，则OR∥BF.
当点M在(不包括点R)上时，如图4.
过点M作OR的垂线交于点Q，垂足为S，可得S是MQ的中点，连接AS并延长交BF于点P.∵O为AB的中点，可证S为AP的中点，∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形．∴0≤x＜；
当点M在RB上时，如图5，直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．
④当点M在射线BF(不包括点B)上时，如图6，直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．
∴综上所述，点M的横坐标x的取值范围是－2＜x＜－1或0≤x＜.
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