第6课时 函数建模3
1．(2015·石家庄模拟)将如图所示的长方体石块(a＞b＞c)放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为v cm3/s，直至注满水槽为止．石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图1至图3所示，在这三种情况下，水桶内的水深h cm与注水时间t s的函数关系如图4至图6所示，根据图像完成下列问题：
(1)请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图像用线连接起来；
(2)求图5中直线CD的函数关系式；
(3)求圆柱形水槽的底面积S.
解：(1)图1与图4相对应，图2与图6相对应，图3与图5相对应，连线略．
(2)由题意可知C点的坐标为(45，9)，D点的坐标为(53，10)，
设直线CD的函数关系式为h＝kt＋b，
∴解得
∴直线CD的函数关系式为h＝t＋.
(3)由图4、5和6可知水槽的高为10 cm；由图2和图6可知石块的长a＝10 cm；由图3和图5可知石块的宽b＝9 cm；由图1和图4可知石块的高c＝6 cm.
∴石块的体积为abc＝540 cm3，根据图4和图6可得解得
∴S＝160 cm2.
2．(2015·邯郸模拟)某公司经销农产品业务，以3万元/吨的价格向农户收购农产品后，以甲、乙两种方式进行销售，甲方式包装后直接销售；乙方式深加工后再销售．甲方式农产品的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，每吨平均销售价格y(单位：万元)与销售量m(单位：吨)之间的函数关系为y＝－m＋14(2≤m≤8)；乙方式农产品深加工等(不含进价)总费用S(单位：万元)与销售量n(单位：吨)之间的函数关系是S＝3n＋12，平均销售价格为9万元/吨．
参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是(－，)．
(1)该公司收购了20吨农产品，其中甲方式销售农产品x吨，其余农产品用乙方式销售，经销这20吨农产品所获得的毛利润为w万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)．
①直接写出：
甲方式购买和包装x吨农产品所需资金为4x万元；乙方式购买和加工其余农产品所需资金为(132－6x)万元；
②求出w关于x的函数关系式；
③若农产品全部销售该公司共获得了48万元毛利润，求x的值；
④若农产品全部售出，该公司的最小利润是多少．
(2)该公司现有流动资金132万元，若将现有流动资金全部用于经销农产品，
①其中甲方式经销农产品x吨，则总经销量p为(x＋20)吨(用含x的代数式表示)；
②当x为何值时，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．
解：(1)②w＝x(－x＋14)＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)]＝－x2＋7x＋48.
③令－x2＋7x＋48＝48，解得x1＝7，x2＝0(舍去)，∴x＝7.
④由w＝－x2＋7x＋48＝－(x－)2＋60.
对称轴为直线x＝，∵2≤x≤8，
∴当x＝8时，w最小值＝40.
(2) w＝－x2＋7x＋3p－12.
把p＝x＋20代入得，w＝－(x－4)2＋64，
当以方式甲销售4吨时，公司能获得最大毛利润64万元．
3．(2015·张家口模拟)王老师想骑摩托车送甲、乙两位同学去会场参加演出，由于摩托车后座只能坐一人，为了节约时间，王老师骑摩托车先带乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是5 km/h，摩托车的速度是45 km/h.
预设方案
(1)方案1：王老师将乙送到会场后，回去接甲，再将甲送到会场，图1中折线AB－BC－CD和折线AC－CD分别表示王老师、甲在上述过程中，离会场的距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系．
①学校与会场的距离为15km；
②求出点C的坐标，并说明它的实际意义；
(2)方案2：王老师骑摩托车行驶a(h)后，将乙放下，让乙步行去会场，同时王老师回去接甲并将甲送到会场，图2中折线AB－BC－CD、折线AC－CD和折线AB－BE分别表示王老师、甲、乙在上述过程中，离会场的距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系．求a的值；
(3)你能否设计一个方案，使甲、乙两位同学在最短时间内都赶到会场，请你直接写出这个最短时间，并在图3中画出这个设计方案的大致图像．(不需要写出具体的方案设计)
图3
解：(1)方法一：设王老师把乙送到会场后，再经过m h与甲相遇．
(45＋5)m＝15－5×.
解得m＝.
＋＝(h)，15－5×＝12(km)，即C(，12)．
点C的实际意义为王老师在出发h后，在距离会场12 km处接甲．
方法二：BC对应的函数关系式为y＝45x－15.
AC对应的函数关系式为y＝－5x＋15.
BC与AC的交点C的坐标为(，12)．
点C的实际意义为王老师在出发 h后，在距离会场12 km处接到甲．
(2)方法一：设王老师把乙放下后，再经过n h与甲相遇．(45＋5)n＝45a－5a.解得n＝a.由于王老师骑摩托车一共行驶 h，可得方程15－5(a＋a)＝45×[－(a＋a)]．解得a＝.
方法二：根据题意，得B(a，15－45a)，C(a，15－9a)．∴CD对应的函数关系式为y＝－45x＋72a＋15.将(，0)代入，解得a＝.
(3) h．图像如图3所示．
4．(2016·保定模拟)有甲、乙两个探测气球同时出发且匀速上升，甲气球从海拔5 m处出发，上升速度为1 m/min，乙气球从海拔15 m处出发，上升速度为0.5 m/min.设气球上升时间为x min，气球的海拔高度为y m.
(1)分别写出甲气球的海拔高度y甲、乙气球的海拔高度y乙与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；
(2)气球上升多少分钟时，两个气球位于同一高度？
(3)气球上升多少分钟时，两个气球所在位置的海拔高度相差5 m?
(4)若甲气球由于燃料消耗过快，上升40 min后，减速为0.3 m/min继续匀速上升，乙气球速度保持不变，设两个气球的海拔高度差为h，请确定当40≤x≤80时，h最多为多少米？
解：(1)y甲＝x＋5，y乙＝0.5x＋15.
(2)当y甲＝y乙时，x＋5＝0.5x＋15.解得x＝20.
∴气球上升20 min时，两个气球位于同一高度．
(3)当乙气球在上方时，y乙－y甲＝5，即0.5x＋15－(x＋5)＝5.解得x＝10.
当甲气球在上方时，y甲－y乙＝5，即x＋5－(0.5x＋15)＝5.解得x＝30.
∴气球上升10 min或30 min时，两个气球所在位置的海拔高度相差5 m.
(4)设减速后甲气球的高度为y甲减．
当x＝40时，y甲＝x＋5＝45，
∴y甲减＝0.3(x－40)＋45＝0.3x＋33(x≥40)．
由0.3x＋33＝0.5x＋15，解得x＝90，故出发90 min两气球再次位于同一高度．
∴40≤x≤80时，甲气球一直在乙气球的上方．
∴h＝y甲减－y乙＝(0.3x＋33)－(0.5x＋15)＝－0.2x＋18.
∵－0.2＜0，∴函数值h随x的增大而减少．
当x＝40时，h＝－0.2x＋18＝－0.2×40＋18＝10.
∴当40≤x≤80时，两气球的海拔高度差h最多为10 m.
5．(2015·邯郸模拟)为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送．若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4 800元；若甲、乙两车单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的2倍；已知乙车每趟运费比甲车少200元．
(1)分别求出甲、乙两车每趟的运费；
(2)若单独租用甲车运完此堆垃圾，需运多少趟；
(3)若同时租用甲、乙两车，则甲车运x趟，乙车运y趟，才能运完此堆垃圾，其中为x，y均为正整数．
①当x＝10时，y＝16；当y＝10时，x＝13；
②求y与x的函数关系式．
探究：在(3)的条件下，设总运费为w(元)．
①求w与x的函数关系式，直接写出w的最小值；
②当x≥10且y≥10时，甲车每趟的运费打7折，乙车每趟的运费打9折，直接写出w的最小值．
解：(1)设甲、乙两车每趟的运费分别为m元、n元，由题意得
解得
答：甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元．
(2)设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运a趟，由题意得
12(＋)＝1，解得a＝18.
经检验，a＝18是原方程的解．
答：单独租用甲车运完此堆垃圾，需运18趟．
(3)②由题意得＋＝1，整理，得y＝36－2x.
探究：①w＝300x＋100y＝300x＋100(36－2x)＝100x＋3 600(0≤x≤18，且x为正整数)．
∴w的最小值为3 600元．
②w＝300×0.7x＋100×0.9y
＝300×0.7x＋100×0.9(36－2x)
＝30x＋3 240.
∵x≥10且y≥10，
∴10≤x≤13，且x为正整数．
∴w的最小值为3 540元．
6．(2016·唐山二模)某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x(米)，与桌面的高度为y(米)，运行时间为t(秒)，经多次测试后，得到如下部分数据：
t(秒)
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
…
x(米)
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
…
y(米)
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
(1)当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
(2)乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
(3)乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y＝a(x－3)2＋k.
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长(1.4×2)米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．
解：以点A为原点，桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立直角坐标系．
(1)由表格中数据可知，当t＝0.4秒时，乒乓球达到最大高度．
(2)由表格中数据可判断，y是x的二次函数，且顶点为(1，0.45)，
∴设y＝a(x－1)2＋0.45.
将(0，0.25)代入，得0.25＝a(0－1)2＋0.45.
∴a＝－0.2.∴y＝－0.2(x－1)2＋0.45.
当y＝0时，－0.2(x－1)2＋0.45＝0，
解得x＝2.5或x＝－0.5(舍去)．
∴乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是2.5米．
(3)①由(2)得，乒乓球落在桌面时的坐标为(2.5，0)．
将(2.5，0)代入y＝a(x－3)2＋k，得0＝a(2.5－3)2＋k，化简整理，得k＝－a.
②由题意可知，扣杀路线在直线y＝x上，
由①，得y＝a(x－3)2－a，
令a(x－3)2－a＝x，整理，得20ax2－(120a＋2)x＋175a＝0.
当Δ＝(120a＋2)2－4×20a×175a＝0时，符合题意，解方程，得a1＝，a2＝.
当a＝时，求得x＝－，不合题意，舍去；当a＝时，求得x＝，符合题意．
∴当a＝时，可以将球沿直线扣杀到点A.
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