河北省2017中考专题复习练习(三)第2课时解三角形和三角形相似.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第2课时　解三角形和三角形相似 ‎1．(2016·北京)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.‎ ‎(1)求证：BM＝MN；‎ ‎(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．‎ 解：(1)证明：在△CAD中，‎ ‎∵M，N分别是AC，CD的中点，‎ ‎∴MN∥AD，且MN＝AD.‎ 在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM＝AC.‎ 又∵AC＝AD，∴MN＝BM.‎ ‎(2)∵∠BAD＝60°，且AC平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAC＝∠DAC＝30°.‎ 由(1)知BM＝AC＝AM＝MC.‎ ‎∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.‎ ‎∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°.‎ ‎∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°.‎ ‎∴BN2＝BM2＋MN2.‎ 由(1)知，MN＝BM＝AC＝×2＝1.‎ ‎∴BN＝.‎ ‎2．(2016·白银)如图，已知EC∥AB, ∠EDA＝∠ABF.‎ ‎(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；‎ ‎(2)求证：OA2＝OE·OF.‎ 证明：(1)∵EC∥AB，‎ ‎∴∠C＝∠ABF.‎ 又∵∠EDA＝∠ABF，‎ ‎∴∠C＝∠EDA.‎ ‎∴AD∥BC.‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎(2)∵EC∥AB，∴＝.‎ 又∵AD∥BC，∴＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴＝，即OA2＝OE·OF.‎ ‎3．(2015·南充)如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．‎ ‎(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)‎ ‎(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝，那么AB的长为6．‎ 解：(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.‎ ‎(2)设AP＝x，由折叠关系可得BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x，AM＝1. ‎ 由△AMP∽△BPQ，得＝，即BQ＝x2. ‎ 由△AMP∽△CQD，得＝，即CQ＝2. ‎ AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2，‎ MD＝AD－AM＝x2＋2－1＝x2＋1. ‎ 又∵在Rt△FDM中，sin∠DMF＝，‎ DF＝DC＝2x，‎ ‎∴sin∠DMF＝＝＝. ‎ 解得x＝3或x＝(不合题意，舍去)．‎ ‎∴AB＝2x＝6.‎ ‎4．(2016·唐山路北区模拟)如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是边AC的中点，点E是斜边AB上的动点，将△AED沿DE所在的直线折叠得到△A1DE.‎ ‎(1)当点A1落在边BC(含边BC的端点)上时，折痕DE的长是多少？‎ ‎(2)连接A1B，当点E在边AB上移动时，求A1B长的最小值．‎ 解：(1)∵点D到边BC的距离是DC＝DA＝1，‎ ‎∴点A1落在边BC上时，点A1与点C重合，如备用图所示．此时，DE为AC的垂直平分线，即DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴DE＝BC＝1.‎ ‎(2)连接BD.‎ 在Rt△BCD中，BD＝＝.‎ 由△A1DE≌△ADE，可得A1D＝AD＝1.‎ 由A1B＋A1D≥BD，得A1B≥BD－A1D＝－1.‎ ‎∴A1B长的最小值是－1.‎ ‎5．(2015·资阳)E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 与BC交于点Q，连接DF.‎ ‎(1)求证：△ADE≌△DCF；‎ ‎(2)若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；‎ ‎(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°.‎ ‎∵DE＝CF，‎ ‎∴△ADE≌△DCF(SAS)．‎ ‎(2)证明：∵四边形AEHG是正方形，∴∠AEH＝90°.‎ ‎∴∠AED＋∠QEC＝90°.‎ ‎∵∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°.‎ ‎∴∠QEC＝∠EAD.‎ ‎∴△ADE∽△ECQ.∴＝.‎ ‎∵＝＝，∴＝＝.‎ ‎∴点Q是CF中点．‎ ‎(3)S1＋S2＝S3成立．‎ 理由：∵△ADE∽△ECQ，∴＝.‎ 又∵DE＝CE，∴＝.‎ ‎∵∠C＝∠AEQ＝90°，∴△AEQ∽△ECQ.‎ ‎∴△AEQ∽△ECQ∽△ADE.‎ ‎∴＝()2，＝()2.‎ ‎∴＋＝()2＋()2＝.‎ 由勾股定理得EQ2＋AE2＝AQ2，‎ ‎∴＋＝1，即S1＋S2＝S3.‎ ‎6．(2015·丽水)如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连接CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交AD于点N.‎ ‎(1)当F为BE中点时，求证：AM＝CE；‎ ‎(2)若＝＝2，求的值；‎ ‎(3)若＝＝n，当n为何值时，MN∥BE.‎ 解：(1)证明：∵F为BE中点，∴BF＝EF.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵在矩形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴∠MBF＝∠CEF，∠BMF＝∠ECF.‎ ‎∴△BMF≌△ECF(AAS)．‎ ‎∴MB＝CE.‎ ‎∵AB＝CD，CE＝DE，‎ ‎∴MB＝AM.∴AM＝CE.‎ ‎(2)设MB＝a，‎ ‎∵AB∥CD，∴△BMF∽△ECF.‎ ‎∴＝＝2.∴CE＝2a.‎ ‎∴AB＝CD＝2CE＝4a，AM＝AB－MB＝3a.‎ ‎∵＝2，∴BC＝AD＝2a.‎ ‎∵MN⊥MC，∠A＝∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠AMN＋∠BMC＝90°.‎ 又∵∠AMN＋∠ANM＝90°，‎ ‎∴∠BMC＝∠ANM.‎ ‎∴△AMN∽△BCM.‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴AN＝a，ND＝AD－AN＝a.‎ ‎∴＝＝3.‎ ‎(3)设MB＝a，‎ ‎∵＝n，且△MBF∽△CEF，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴CE＝na，AB＝CD＝2na.‎ ‎∵＝n，∴BC＝2a.‎ 如图，当MN∥BE时，CM⊥BE.‎ ‎∵∠BMC＋∠BCM＝90°，∠EBC＋∠BCM＝90°，∴∠BCM＝∠EBC.‎ ‎∴△MBC∽△BCE.‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴BC＝a.‎ 又∵BC＝2a，∴a＝2a.解得n＝4.‎ ‎∴当n＝4时，MN∥BE.‎ ‎7．(2016·石家庄模拟)提出问题：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH；‎ 类比探究：‎ ‎(2)如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；‎ 综合运用：‎ ‎(3)在(2)问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE＝EC＝2，EO＝2FO，求图中阴影部分的面积．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH.‎ ‎∴∠HAO＋∠OAD＝90°.‎ ‎∵AE⊥DH，∴∠ADO＋∠OAD＝90°.‎ ‎∴∠HAO＝∠ADO.‎ ‎∴△ABE≌△DAH(ASA)．∴AE＝DH.‎ ‎(2)EF＝GH.理由：‎ 将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM＝EF.‎ 将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN＝GH.‎ ‎∵EF⊥GH，∴AM⊥DN.‎ 根据(1)的结论得AM＝DN，∴EF＝GH.‎ ‎(3)∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD.‎ ‎∴∠AHO＝∠CGO.‎ ‎∵FH∥EG，∴∠FHO＝∠EGO.‎ ‎∴∠AHF＝∠CGE.‎ ‎∴△AHF∽△CGE.∴＝＝＝.‎ 又∵EC＝2，∴AF＝1.‎ 过点F作FP⊥BC于点P，根据勾股定理得EF＝.‎ ‎∵FH∥EG，∴＝.‎ 根据(2)知EF＝GH，∴FO＝HO.‎ ‎∴S△FOH＝FO2＝×(EF)2＝，‎ S△EOG＝EO2＝×(EF)2＝.‎ ‎∴阴影部分面积为＋＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费